Ελλειπτική καμπύλη

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Ελλειπτική καμπύλη ονομάζουμε μια καμπύλη E πάνω από ένα σώμα \mathbb{F} η οποία δίνεται από την εξίσωση:

Y^2+a_1XY+a_3Y=a_0X^3+a_2X^2+a_4X+a_6,\mbox{ } a_i \in \mathbb{F}.

Κάθε ελλειπτική καμπύλη σε σώμα με χαρακτηριστική διάφορη του 2 ή του 3 μπορεί να αναχθει με κατάλληλα αλλαγη μεταβλητων στην μορφη:

\,Y^2=X^3+aX+b,\quad a,b \in \mathbb{F}.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

ECexamples01.png

Άθροιση σημείων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεωρώντας ως πράξη την πρόσθεση + και συμπεριλαμβάνοντας το σημείο στο άπειρο 0, ως ουδέτερο στοιχείο, τα σημεία της ελλειπτικής καμπύλης αποτελούν μια αβελιανή ομάδα.

Έστω δύο σημεία της καμπύλης P, Q. Φέρουμε την εύθεία που διέρχεται από αυτά και βρίσκουμε το τρίτο σημείο R που η ευθεία αυτή τέμνει την ελλειπτική καμπύλη. Το άθροισμα των P, Q ορίζεται ως το συμμετρικό του R ως προς τον άξονα X. Το σημείο αυτό ορίζεται και ως το αντίστροφο του R και συμβολίζεται με -R. Δηλαδή ισχύει: P+Q=-R.

Αν η ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία δεν τέμνει την ελλειπτική καμπύλη σε τρίτο, τότε το άθροισμά τους είναι το 0.

ECClines.svg