Ελλειπτική καμπύλη

Ελλειπτική καμπύλη ονομάζουμε μια καμπύλη $E$ πάνω από ένα σώμα $\mathbb{F}$ η οποία δίνεται από την εξίσωση:

$Y^2+a_1XY+a_3Y=a_0X^3+a_2X^2+a_4X+a_6,\mbox{ } a_i \in \mathbb{F}.$

Κάθε ελλειπτική καμπύλη σε σώμα με χαρακτηριστική διάφορη του 2 ή του 3 μπορεί να αναχθει με κατάλληλα αλλαγη μεταβλητων στην μορφη:

$\,Y^2=X^3+aX+b,\quad a,b \in \mathbb{F}.$

Παραδείγματα

Άθροιση σημείων

Θεωρώντας ως πράξη την πρόσθεση + και συμπεριλαμβάνοντας το σημείο στο άπειρο 0, ως ουδέτερο στοιχείο, τα σημεία της ελλειπτικής καμπύλης αποτελούν μια αβελιανή ομάδα.

Έστω δύο σημεία της καμπύλης $P, Q$. Φέρουμε την εύθεία που διέρχεται από αυτά και βρίσκουμε το τρίτο σημείο $R$ που η ευθεία αυτή τέμνει την ελλειπτική καμπύλη. Το άθροισμα των $P, Q$ ορίζεται ως το συμμετρικό του $R$ ως προς τον άξονα $X$. Το σημείο αυτό ορίζεται και ως το αντίστροφο του $R$ και συμβολίζεται με $-R$. Δηλαδή ισχύει: $P+Q=-R$.

Αν η ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία δεν τέμνει την ελλειπτική καμπύλη σε τρίτο, τότε το άθροισμά τους είναι το 0.