Ορθογώνιο τρίγωνο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία την Α. Η πλευρά ονομάζεται υποτείνουσα και οι πλευρές και είναι οι δύο κάθετες.

Στην γεωμετρία, ορθογώνιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο του οποίου μία γωνία είναι ορθή. Οι πλευρές που περιέχουν την ορθή γωνία λέγονται κάθετες πλευρές και η απέναντί της λέγεται υποτείνουσα του ορθογώνιου τριγώνου.[1]:62[2]:55[3][4]

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ξεκινάμε με κάποιες βασικές ιδιότητες των ορθογωνίων τριγώνων:

  • Οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές.
  • Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου των κάθετων πλευρών, δηλαδή
  • Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που άγεται από την κορυφή της ορθής γωνίας ισούται με το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.
  • Από αυτή την ιδιότητα προκύπτει ότι το μέσο της υποτείνουσας είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, που έχει ακίνα .
  • Το ορθόκεντρο του τριγώνου ταυτίζεται με την κορυφή .
  • Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου έχει ακτίνα και έγκεντρο του τριγώνου έχει συντεταγμένες στο ορθοκανονικό σύστημα με αρχή το και άξονες παράλληλους στις πλευρές και .


Περιγεγραμμένος κύκλος ορθογωνίου τριγώνου
Εγγεγραμμένος κύκλος ορθογωνίου τριγώνου
Ο περιγεγραμμένος και ο εγγεγραμμένος κύκλος ορθογωνίου τριγώνου.


Μετρικές σχέσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή την και το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτή.

Τότε, ισχύουν οι εξής μετρικές σχέσεις:[1]: 192-197 [2]: 69-71 [3]: 109-113 [4]: 363-369 

  • και . Ισχύει και το αντίστροφο αν επιπλέον και .
  • (Πυθαγόρειο Θεώρημα) (ή αντίστοιχα ). Ισχύει και το αντίστροφο.
  • . Ισχύει και το αντίστροφο αν επιπλέον και .
  • . Ισχύει και το αντίστροφο αν επιπλέον και .
  • . Ισχύει και το αντίστροφο αν επιπλέον και .


Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ακολουθούν τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων:[1]: 62-63 

  • Κριτήριο πλευράς-πλευράς: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα.
  • Κριτήριο πλευράς-προσκείμενης οξείας: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία πλευρά και την προσκείμενη οξεία γωνία ίσα τότε είναι ίσα.


Ειδικά ορθογώνια τρίγωνα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Με γωνίες 30° και 60°[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τρίγωνο με γωνίες 30° και 60°. Το είναι το μέσο της υποτείνουσας.

Το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 30° και 60°, έχει τις εξής ιδιότητες:

  • Η κάθετη πλευρά που αντιστοιχεί στην γωνία 60° είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.
  • Το τρίγωνο ειναι ισόπλευρο.
  • Τα μήκη των πλευρών είναι ανάλογα στα , και .

Ορθογώνιο και ισοσκελές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ.

Το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:

  • Οι προσκείμενες γωνίες είναι 45°.
  • Η υποτείνουσα έχει μήκος αν το μήκος των δύο κάθετων πλευρών.
  • Το εμβαδόν του είναι .
  • Προκύπτει ως το μισό ενός τετραγώνου (το στο σχήμα).

Τρίγωνο Κέπλερ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Τρίγωνο του Κέπλερ
Τρίγωνο Κέπλερ με τα τετράγωνα των πλευρών.

Το Τρίγωνο του Κέπλερ είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου τα μήκη των πλευρών είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Προκύπτει ότι τα μήκη των πλευρών του είναι ανάλογα ως προς τα , και , όπου είναι ο χρυσός λόγος.

Περαιτέρω θέματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τριγωνομετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία .

Το ορθογώνιο τρίγωνο χρησιμοποιείται στον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων της γωνίας . Πιο συγκεκριμένα, για την γωνία , ισχύει ότι

και .

Σπείρα Θεόδωρου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Σπείρα Θεόδωρου
Η σπείρα του Θεόδορου.

Η σπείρα του Θεόδορου είναι μία σπείρα που κατασκευάζεται από ορθογώνια τρίγωνα. Το πρώτο τρίγωνο είναι ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κάθετη πλευρά μήκους (και υποτείνουσας μήκους ). Το επόμενο τρίγωνο έχει μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του πρώτου τριγώνου και άλλη κάθετη πλευρά μήκους . Επομένως, έχει υποτεινουσα μήκους . Στην γενική περίπτωση, το -οστό τρίγωνο έχει μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του προηγούμενου τριγώνου και μία άλλη μήκους . Επαγωγικά προκύπτει ότι το μήκος της υποτείνουσάς του είναι

.

Πλακοστρώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τμήμα της πλακόστρωσης pinwheel.

Τα ορθογώνια τρίγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε πλακοστρώσεις του επιπέδου. Για παράδειγμα, η πλακόστρωση pinwheel δίνει έναν μη-περιοδικό τρόπο να πλακοστρωθεί το επίπεδο.

Πυθαγόρειες τριάδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Πυθαγόρεια τριάδα

Πυθαγόρειες τριάδες ονομάζονται οι τριάδες ακεραίων αριθμών τέτοιες ώστε

.

Περαιτέρω ανάγνωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ελληνικά άρθρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ξενόγλωσσα άρθρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 1,2 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
  2. 2,0 2,1 Νικολάου, Νικόλαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. 1973: Οργανισμός εκδόσεως διδακτικών βιβλίων. 
  3. 3,0 3,1 Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. 
  4. 4,0 4,1 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.