Πυθαγόρεια τριάδα

Το πυθαγόρειο θεώρημα: a² + b² = c²

Μια πυθαγόρεια τριάδα αποτελείται από τρεις θετικούς ακέραιους αριθμούς α, β, και γ, τέτοιοι ώστε να ισχύει η σχέση α² + β² = γ², ευρέως γνωστή ως πυθαγόρειο θεώρημα. Μια τέτοια τριάδα συνήθως γράφεται (α, β, γ), και ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελούν οι αριθμοί (3, 4, 5) εφόσον ισχύει $3^{2}+4^{2}=5^{2}$. Εάν (α, β, γ) είναι πυθαγόρεια τριάδα, τότε ομοίως θα είναι και η (κα, κβ, κγ) για οποιοδήποτε θετικό ακέραιο κ.

Μια πρωτογενής πυθαγόρεια τριάδα είναι αυτή για την οποία οι α,β,γ είναι πρώτοι μεταξύ τους (δηλαδή ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των α,β,γ είναι 1).

Παράδειγμα

Αν θεωρήσουμε ως πρωτογενή Πυθαγόρεια τριάδα τους αριθμούς ( 3, 4, 5 )

προκύπτουν οι Πυθαγόρειες τριάδες ( 6, 8, 10 ) , ( 9, 12, 15 ) , ( 12, 16, 20 ) , κ.λ.π.

όπου οι αριθμοί που τις αποτελούν είναι πολλαπλάσια των αριθμών ( 3, 4, 5 )

Τύπος για εύρεση πυθαγόρειων τριάδων

Οι πυθαγόρειες τριάδες είναι άπειρες και δίνονται από τον τύπο:

Αν $k,m$ είναι τυχαίοι ακέραιοι τότε ισχύει:

$(k^{2}-m^{2})^{2}+(2km)^{2}=(k^{2}+m^{2})^{2}$

Άρα:

$x=(k^{2}-m^{2}),y=(2km),z=(k^{2}+m^{2})$

ώστε

$x^{2}+y^{2}=z^{2}$

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• Μάρκας, Στράτος (Αύγουστος 2010). «Πυθαγόρειες τριάδες ακεραίων». Εκθέτης: Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (6): 1-3. http://ekthetis.gr/Ekthetis006.pdf. 
• Τσιαλιακός, Λευτέρης (Ιανουαρίου 2021). «Πυθαγόρειες τριάδες στο χώρο». Ευκλείδης Β΄ (119): 54-55. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_B_119_EYKLEIDHS_2021.pdf. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Ellis, L. E. (Οκτωβρίου 1975). «59.11. More properties of Pythagorean triplets». The Mathematical Gazette 59 (409): 186–189. doi:10.2307/3617705. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1975-10_59_409/page/186. 
• Hancock, S. F. (Οκτωβρίου 1970). «Pythagorean Triples». The Mathematical Gazette 54 (389): 289–289. doi:10.1017/S0025557200196330. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1970-10_54_389/page/289. 
• Jackson, Margaret (Ιουνίου 1987). «71.15 Complex numbers and Pythagorean triples». The Mathematical Gazette 71 (456): 127–127. doi:10.2307/3616500. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1987-06_71_456/page/127. 
• Dye, R. H.; Nickalls, R. W. D. (Ιουλίου 1998). «82.9 A new algorithm for generating Pythagorean triples». The Mathematical Gazette 82 (493): 86–91. doi:10.2307/3620161. 
• Evans, Chris (Οκτωβρίου 1991). «75.23 Pythagorean triples». The Mathematical Gazette 75 (473): 317–317. doi:10.2307/3619493. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1991-10_75_473/page/317. 
• Mills, J. T. S. (Νοεμβρίου 1996). «80.39 Another family tree of Pythagorean triples». The Mathematical Gazette 80 (489): 545–548. doi:10.2307/3618521. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1996-11_80_489/page/545. 
• Vella, Alfred (Μαρτίου 2003). «87.04 When is n a member of a Pythagorean triple?». The Mathematical Gazette 87 (508): 102–105. doi:10.1017/S0025557200172183. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2003-03_87_508/page/102. 
• Pla, Juan (2008). «92.60 Linear recurrences which produce Pythagorean triples». The Mathematical Gazette 92 (525): 482-485. https://www.jstor.org/stable/27821835. 
• Shah Ali, Hassan A. (Ιουλίου 2001). «85.26 Another method for Pythagorean triples». The Mathematical Gazette 85 (503): 273–273. doi:10.2307/3622016. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2001-07_85_503/page/273. 
• Mitchell, Douglas W. (Ιουλίου 2001). «85.27 An alternative characterisation of all primitive Pythagorean triples». The Mathematical Gazette 85 (503): 273–275. doi:10.2307/3622017. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2001-07_85_503/page/273. 

Δείτε επίσης

• Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά