Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)

Στη γραμμική άλγεβρα, ο ελάσσων ενός πίνακα Α είναι η Ορίζουσα ενός μικρότερου τετραγωνικού πίνακα, ο οποίος κόβεται από τον Α αφαιρώντας μία ή περισσότερες από τις γραμμές και τις στήλες του. Οι ελάσσονες που προκύπτουν με την αφαίρεση μόνο μιας γραμμής και μιας στήλης από τους τετραγωνικούς πίνακες (πρώτοι ελάσσονες) χρειάζονται για τον υπολογισμό των συμπαράγοντων των πινάκων, οι οποίοι με τη σειρά τους είναι χρήσιμοι για τον υπολογισμό του προσδιοριστή και του αντιστρόφου των τετραγωνικών πινάκων. Η συνθήκη ότι ο τετραγωνικός πίνακας πρέπει να είναι μικρότερος από τον αρχικό πίνακα συχνά παραλείπεται από τον ορισμό.

Ορισμός και απεικόνιση

Πρώτοι ελάσσονες

Αν ο Α είναι τετραγωνικός πίνακας, τότε το ελάσσον της εγγραφής στην i th γραμμή και j th στήλη (που ονομάζεται επίσης (i, j) ελάσσον ή πρώτο ελάσσον) είναι η ορίζουσα του υποπίνακα που σχηματίζεται με τη διαγραφή της i th γραμμής και της j th στήλης. Ο αριθμός αυτός συμβολίζεται συχνά ως M_i,j. Ο (i, j) συντελεστής προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό του δευτερεύοντος επί $(-1)^{i+j}$.

Για να παρουσιάσουμε αυτούς τους ορισμούς, ας θεωρήσουμε τον ακόλουθο πίνακα 3 επί 3,

${\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}$

Για τον υπολογισμό του δευτερεύοντος M_2,3 και του συμπαράγοντα C_2,3, βρίσκουμε την ορίζουσα του παραπάνω πίνακα με την αφαίρεση της γραμμής 2 και της στήλης 3.

$M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13$

Έτσι, ο συμπαράγοντας της εισόδου (2,3) είναι

$\ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.$

Γενικός ορισμός

Έστω A ένας m × n πίνακας και k ένας ακέραιος αριθμός με 0 < k ≤ m και k ≤ n. Ένας k × k ελάσσων του A, που ονομάζεται επίσης Ελάσσονα ορίζουσα της τάξης k του A ή, αν m = n, (n−k)th Ελάσσονα ορίζουσα του A (η λέξη "ορίζουσα" συχνά παραλείπεται και η λέξη "βαθμός" χρησιμοποιείται μερικές φορές αντί της "τάξης") είναι η ορίζουσα ενός k × k πίνακα που λαμβάνεται από τον A με τη διαγραφή n−k γραμμών και n−k στηλών. Μερικές φορές ο όρος χρησιμοποιείται για να αναφερθεί στον k × k πίνακα που λαμβάνεται από τον Α όπως παραπάνω (διαγράφοντας n−k γραμμές και n−k στήλες), αλλά αυτός ο πίνακας πρέπει να αναφέρεται ως ένας (τετραγωνικός) υποπίνακας του Α, αφήνοντας τον όρο " ελάσσων" να αναφέρεται στην ορίζουσα αυτού του πίνακα. Για έναν πίνακα A όπως παραπάνω, υπάρχουν συνολικά ${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$ ελάσσονες μεγέθους k × k. Ο ελάσσων μηδενικής τάξης ορίζεται συχνά ως 1. Για έναν τετραγωνικό πίνακα, ο μηδενικός δευτερεύων είναι απλώς η ορίζουσα του πίνακα.

Έστω $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m$ και $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n$ να είναι διατεταγμένες ακολουθίες (σε φυσική σειρά, όπως υποτίθεται πάντα όταν μιλάμε για ελάσσονες, εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά) δεικτών, ονομάστε τις I και J, αντίστοιχα. Το ελάσσον ${\textstyle \det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$ που αντιστοιχεί σε αυτές τις επιλογές δεικτών συμβολίζεται $\det _{I,J}A$ ή $\det A_{I,J}$ ή $[A]_{I,J}$ or $M_{I,J}$ ή $M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}$ or $M_{(i),(j)}$ (όπου το $(i)$ δηλώνει την ακολουθία των δεικτών I, κ.λπ.), ανάλογα με την πηγή. Επίσης, υπάρχουν δύο τύποι ονομασιών που χρησιμοποιούνται στη βιβλιογραφία: με το δευτερεύον που σχετίζεται με διατεταγμένες ακολουθίες δεικτών I και J, ορισμένοι συγγραφείς εννοούν την ορίζουσα του πίνακα που σχηματίζεται όπως παραπάνω, παίρνοντας τα στοιχεία του αρχικού πίνακα από τις γραμμές των οποίων οι δείκτες βρίσκονται στο I και τις στήλες των οποίων οι δείκτες βρίσκονται στο J, ενώ κάποιοι άλλοι συγγραφείς εννοούν με τον μικρό που συνδέεται με τα I και J την ορίζουσα του πίνακα που σχηματίζεται από τον αρχικό πίνακα διαγράφοντας τις γραμμές στο I και τις στήλες στο J. Ποιος συμβολισμός χρησιμοποιείται θα πρέπει πάντα να ελέγχεται από την εκάστοτε πηγή. Σε αυτό το άρθρο, χρησιμοποιούμε τον περιεκτικό ορισμό της επιλογής των στοιχείων από τις γραμμές του I και τις στήλες του J. Η εξαιρετική περίπτωση είναι η περίπτωση της πρώτης ελάσσονος ή της (i, j)-ελάσσονος που περιγράφηκε παραπάνω- στην περίπτωση αυτή, η αποκλειστική έννοια ${\textstyle M_{i,j}=\det \left(\left(A_{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)}$ είναι συνηθισμένη παντού στη βιβλιογραφία και χρησιμοποιείται και σε αυτό το άρθρο.

Συμπλήρωμα

Το συμπλήρωμα, B_{ijk...,pqr...}, ενός ελάσσονος, M_{ijk...,pqr...}, από έναν τετραγωνικό πίνακα, A, σχηματίζεται από τον προσδιοριστή του πίνακα A από τον οποίο έχουν αφαιρεθεί όλες οι γραμμές (ijk...) και οι στήλες (pqr...) που σχετίζονται με τον M_{ijk...,pqr...} Το συμπλήρωμα της πρώτης ελάσσονος ενός στοιχείου aij είναι απλώς το στοιχείο αυτό.

Εφαρμογές των μειζόνων και των συμπαράγοντων

Συντελεστής επέκτασης της ορίζουσας

Οι συντελεστές έχουν εξέχουσα θέση στον τύπο του Λαπλάς για το ανάπτυγμα των οριζουσών, που είναι μια μέθοδος υπολογισμού μεγαλύτερων οριζουσών ως προς τις μικρότερες. Δεδομένου ενός n × n πίνακα $A=(a_{ij})$, ο προσδιοριστής του A, που συμβολίζεται με det(A), μπορεί να γραφεί ως το άθροισμα των συντελεστών κάθε γραμμής ή στήλης του πίνακα πολλαπλασιασμένο με τις εγγραφές που τις δημιούργησαν. Με άλλα λόγια, ορίζοντας $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ τότε το ανάπτυγμα του συμπαράγοντα κατά μήκος της j-th στήλης δίνει:

$\ \det(\mathbf {A} )=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$

Το ανάπτυγμα του συντελεστή κατά μήκος της ith γραμμής δίνει:

$\ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$

Αντιστρέψιμος πίνακας

Κύριο άρθρο : Αντιστρέψιμος πίνακας

Μπορεί κανείς να γράψει τον αντίστροφο ενός αντιστρέψιμου πίνακα υπολογίζοντας τους συντελεστές του χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Κραμέρ, ως εξής. Ο πίνακας που σχηματίζεται από όλους τους συντελεστές ενός τετραγωνικού πίνακα A ονομάζεται πίνακας συντελεστών (επίσης ονομάζεται πίνακας συντελεστών ή, μερικές φορές, πίνακας comatrix):

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}$

Τότε ο αντίστροφος του Α' είναι ο μεταθετικός πίνακας του συμπαράγοντα επί το αντίστροφο του προσδιοριστή του Α:

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.$

Ο αντιμεταθετικός πίνακας του συμπαράγοντα ονομάζεται συγγενής πίνακας (επίσης ονομάζεται κλασικός συγγενής) του A.

Ο παραπάνω τύπος μπορεί να γενικευτεί ως εξής: Έστω $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n$ και $1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n$ διατεταγμένες ακολουθίες (με φυσική σειρά) δεικτών (εδώ A είναι ένας n × n πίνακας). Τότε

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},$

όπου I′, J′ συμβολίζουν τις διατεταγμένες ακολουθίες δεικτών (οι δείκτες είναι σε φυσική σειρά μεγέθους, όπως παραπάνω) συμπληρωματικές των I, J, έτσι ώστε κάθε δείκτης 1, ... , n εμφανίζεται ακριβώς μία φορά είτε στο I είτε στο I′, αλλά όχι και στα δύο (ομοίως για τα J και J′) και $[\mathbf {A} ]_{I,J}$ συμβολίζει τον προσδιοριστή του υποπίνακα του A' που σχηματίζεται επιλέγοντας τις γραμμές του συνόλου δεικτών I και τις στήλες του συνόλου δεικτών J. Επίσης, $[\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)$. Μια απλή απόδειξη μπορεί να δοθεί χρησιμοποιώντας το σφηνοειδές γινόμενο. Πράγματι,

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},$

όπου $e_{1},\ldots ,e_{n}$ είναι τα διανύσματα βάσης. Ενεργώντας με το A και στις δύο πλευρές, έχουμε

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).$

Το πρόσημο μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$, οπότε το πρόσημο καθορίζεται από τα αθροίσματα των στοιχείων στα I και J.

Άλλες εφαρμογές

Δεδομένου ενός m × n πίνακα με καταχωρήσεις πραγματικός αριθμός (ή καταχωρήσεις από οποιοδήποτε άλλο πεδίο (μαθηματικά) και βαθμό (θεωρία πινάκων) r, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας μη μηδενικός r × r δευτερεύων, ενώ όλοι οι μεγαλύτεροι δευτερεύοντες είναι μηδενικοί.

Θα χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο συμβολισμό για τις ελάσσονες: αν ο Α είναι ένας πίνακας m × n, το Ι είναι ένα υποσύνολο του {1,...,m} με k στοιχεία, και το J είναι ένα υποσύνολο του {1,...,n} με k στοιχεία, τότε γράφουμε [A]_I,J για την k × k ελάσσονη του Α που αντιστοιχεί στις γραμμές με δείκτη στο Ι και στις στήλες με δείκτη στο J.

• Αν I = J, τότε [A]_I,J ονομάζεται κύρια ελάσσονα.
• Εάν ο πίνακας που αντιστοιχεί σε ένα κύριο δευτερεύον είναι ένας τετραγωνικός άνω αριστερός υποπίνακας του μεγαλύτερου πίνακα (δηλαδή, αποτελείται από στοιχεία του πίνακα σε γραμμές και στήλες από το 1 έως το k, επίσης γνωστός ως κορυφαίος κύριος υποπίνακας), τότε ο κύριος δευτερεύων ονομάζεται κορυφαίος κύριος δευτερεύων (τάξης k) ή γωνιακός (κύριος) δευτερεύων (τάξης k). Για έναν n × n τετραγωνικό πίνακα, υπάρχουν n κορυφαία κύρια ελάσσονες.
• Ένα βασικό ελάσσων ενός πίνακα είναι ο προσδιοριστής ενός τετραγωνικού υποπίνακα μέγιστου μεγέθους με μη μηδενικό προσδιοριστή.
• Για τους Ερμιτιανούς πίνακες, τα κορυφαία κύρια ελάχιστα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον έλεγχο της θετικής οριστικότητας και τα κύρια ελάχιστα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον έλεγχο της θετικής ημι-οριστικότητας. Δείτε το κριτήριο του Σιλβέστερ για περισσότερες λεπτομέρειες.

Τόσο ο τύπος για τον συνηθισμένο πολλαπλασιασμό πινάκων όσο και ο τύπος των Κωσύ-Μπινέ για τον προσδιοριστή του γινομένου δύο πινάκων είναι ειδικές περιπτώσεις της ακόλουθης γενικής δήλωσης για τα ελάσσονες ενός γινομένου δύο πινάκων. Ας υποθέσουμε ότι A είναι ένας m × n πίνακας, B είναι ένας n × p πίνακας, I είναι ένα υποσύνολο του {1,. ..,m} με k στοιχεία και J είναι ένα υποσύνολο του {1,...,p} με k στοιχεία. Τότε

$[\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,$

όπου το άθροισμα επεκτείνεται σε όλα τα υποσύνολα K του {1,...,n} με k στοιχεία. Ο τύπος αυτός είναι μια απλή επέκταση του τύπου Κωσύ-Μπινέ.

Προσέγγιση πολυγραμμικής άλγεβρας

Μια πιο συστηματική, αλγεβρική αντιμετώπιση των ελάσσονων δίνεται στην πολυγραμμική άλγεβρα, χρησιμοποιώντας το προϊόν της σφήνας: οι k-ελάσσονες ενός πίνακα είναι οι καταχωρήσεις στον k-οστό εξωτερικό χάρτη δύναμης.

Αν οι στήλες ενός πίνακα σφηνωθούν k κάθε φορά, τα k × k-μείοντα εμφανίζονται ως οι συνιστώσες των k-διανυσμάτων που προκύπτουν. Παραδείγματος χάριν, τα 2 × 2 minors του πίνακα

${\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}$

είναι -13 (από τις δύο πρώτες σειρές), -7 (από την πρώτη και την τελευταία σειρά) και 5 (από τις δύο τελευταίες σειρές). Τώρα εξετάστε το σφηνοειδές γινόμενο

$(\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})$

όπου οι δύο εκφράσεις αντιστοιχούν στις δύο στήλες του πίνακα μας. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του σφηνοειδούς γινομένου, δηλαδή ότι είναι διγραμμικός και αλλακτικός,

$\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,$

και αντισυμμετρικότητα,

$\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},$

μπορούμε να απλοποιήσουμε αυτή την έκφραση ως εξής

$-13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}$

όπου οι συντελεστές συμφωνούν με τους ελάσσονες που υπολογίστηκαν προηγουμένως.

Μια παρατήρηση σχετικά με τη διαφορετική σημειογραφία

Σε ορισμένα βιβλία, αντί του όρου συμπαράγοντας χρησιμοποιείται ο όρος συμπλήρωμα. Επιπλέον, συμβολίζεται ως A'_ij και ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως ο συμπαράγοντας:

$\mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}$

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον συμβολισμό ο αντίστροφος πίνακας γράφεται ως εξής:

$\mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}$

Λάβετε υπόψιν ότι το συζυγής δεν είναι ρυθμίσιμος ή προσαρμόσιμος. Στη σύγχρονη ορολογία, το "προσκείμενο" ενός πίνακα αναφέρεται συχνότερα στον αντίστοιχο προσκείμενο τελεστή.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• PlanetMath entry of Cofactors Αρχειοθετήθηκε 2012-04-08 στο Wayback Machine.
• Springer Encyclopedia of Mathematics entry for Minor

Δείτε επίσης

• Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Ταυτοτικός πίνακας