Μετάβαση στο περιεχόμενο

Κύκλος του Κάρλαϊλ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στα μαθηματικά, ο κύκλος του Κάρλαϊλ είναι ένας ορισμένος κύκλος σε ένα επίπεδο συντεταγμένων που συνδέεται με μια δευτεροβάθμια εξίσωση- πήρε το όνομά του από τον Τόμας Κάρλαϊλ. Ο κύκλος έχει την ιδιότητα ότι οι λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι οι οριζόντιες συντεταγμένες των τομών του κύκλου με τον οριζόντιο άξονα. Οι κύκλοι του Κάρλαϊλ χρησιμοποιήθηκαν για την ανάπτυξη κατασκευών κανονικών πολυγώνων με χάρακα και πυξίδα.

Ορισμός

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Ο κύκλος του Κάρλαϊλ της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x2 − sx + p = 0.

Με δεδομένη την τετραγωνική εξίσωση

x2 − sx + p = 0

ο κύκλος στο επίπεδο συντεταγμένων που έχει ως διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα σημεία A(0, 1) και B(s, p) ονομάζεται κύκλος του Κάρλαϊλ της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. [1][2][3]

Ορισμός ιδιότητας

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η καθοριστική ιδιότητα του κύκλου Κάρλαϊλ μπορεί να οριστεί ως εξής: η εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι

x(x − s) + (y − 1)(y − p) = 0.

Οι τετμημένες των σημείων όπου ο κύκλος τέμνει τον άξονα x είναι οι ρίζες της εξίσωσης (που προκύπτουν θέτοντας y= 0 στην εξίσωση του κύκλου).

x2 − sx + p = 0.

Κατασκευή κανονικών πολυγώνων

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κανονικό πεντάγωνο

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Κατασκευή κανονικού πενταγώνου με κύκλους Κάρλαϊλ
Κατασκευή ενός κανονικού επταδεκάγωνου με χρήση κύκλων Κάρλαϊλ
Κατασκευή ενός κανονικού 257-gon χρησιμοποιώντας κύκλους Κάρλαϊλ

Το πρόβλημα της κατασκευής ενός κανονικού πενταγώνου είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα της κατασκευής των ριζών της εξίσωσης

z5 − 1 = 0.

Μια ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι z0 = 1 που αντιστοιχεί στο σημείο P0(1, 0). Αφαιρώντας τον παράγοντα που αντιστοιχεί σε αυτή τη ρίζα, οι άλλες ρίζες αποδεικνύονται ρίζες της εξίσωσης

z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0.

Οι ρίζες αυτές μπορούν να παρασταθούν με τη μορφή ω, ω2, ω3, ω4 όπου ω = exp (2iπ/5). Έστω ότι αυτές αντιστοιχούν στα σημεία P1, P2, P3, P4. Αφήνοντας

p1 = ω + ω4, p2 = ω2 + ω3

έχουμε

p1 + p2 = −1, p1p2 = −1. (Αυτά μπορούν να αποδειχθούν γρήγορα ότι ισχύουν με άμεση αντικατάσταση στο παραπάνω τεταρτοκύκλιο και σημειώνοντας ότι ω6 = ω, and ω7 = ω2.)

Έτσι p1 και p2 είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

x2 + x − 1 = 0.

Ο κύκλος του Κάρλαϊλ που σχετίζεται με αυτή την δευτεροβάθμια έχει διάμετρο με ακραία σημεία τα (0, 1) και (−1, −1) και κέντρο το  (-1/2, 0). Οι κύκλοι του Κάρλαϊλ χρησιμοποιούνται για την κατασκευή των p1 και p2. Από τους ορισμούς των p1 και p2 προκύπτει επίσης ότι

p1 = 2 cos(2π/5), p2 = 2 cos(4π/5).

Αυτά χρησιμοποιούνται στη συνέχεια για την κατασκευή των σημείων P1, P2, P3, P4.

Αυτή η λεπτομερής διαδικασία που περιλαμβάνει κύκλους του Κάρλαϊλ για την κατασκευή κανονικών πενταγώνων δίνεται παρακάτω[3].

  1. Σχεδιάστε έναν κύκλο στον οποίο θα χαράξετε το πεντάγωνο και σημειώστε το κεντρικό σημείο Ο'.
  2. Σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή στο κέντρο του κύκλου. Σημειώστε ένα σημείο τομής με τον κύκλο ως σημείο B.
  3. Κατασκευάστε μια κατακόρυφη γραμμή που διέρχεται από το κέντρο. Σημειώστε μια τομή με τον κύκλο ως σημείο Α.
  4. Κατασκευάστε το σημείο Μ ως το μέσο των σημείων Ο και Β.
  5. Σχεδιάστε έναν κύκλο με κέντρο το M μέσω του σημείου A. Αυτός είναι ο κύκλος του Κάρλαϊλ για x2 + x − 1 = 0.

Σημειώστε την τομή του με την οριζόντια γραμμή (εντός του αρχικού κύκλου) ως το σημείο W και την τομή του εκτός του κύκλου ως το σημείο V. Αυτά είναι τα σημεία p1 και p2 που αναφέρθηκαν παραπάνω.

  1. Σχεδιάστε έναν κύκλο ακτίνας OA και κέντρου W. Τέμνει τον αρχικό κύκλο σε δύο από τις κορυφές του πενταγώνου.
  2. Σχεδιάστε έναν κύκλο ακτίνας OA και κέντρου V. Τέμνει τον αρχικό κύκλο σε δύο από τις κορυφές του πενταγώνου.
  3. Η πέμπτη κορυφή είναι η τομή του οριζόντιου άξονα με τον αρχικό κύκλο.

Κανονικό επτάγωνο

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχει μια παρόμοια μέθοδος που περιλαμβάνει κύκλους Κάρλαϊλ για την κατασκευή κανονικών επταεδρικών.[3] Το σχήμα στα δεξιά απεικονίζει τη διαδικασία.

Κανονικό 257-γωνο

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για να κατασκευάσετε ένα κανονικό 257-γωνο χρησιμοποιώντας κύκλους του Κάρλαϊλ, πρέπει να κατασκευάσετε 24 κύκλους του Κάρλαϊλ. Ένας από αυτούς είναι ο κύκλος για την επίλυση της τετραγωνικής εξίσωσης x2 + x − 64 = 0.[3]

Κανονικό 65537-γωνο

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχει μια διαδικασία που περιλαμβάνει κύκλους Κάρλαϊλ για την κατασκευή ενός κανονικού 65537-γωνου. Ωστόσο, υπάρχουν πρακτικά προβλήματα για την εφαρμογή της διαδικασίας- παραδείγματος χάριν, απαιτεί την κατασκευή του κύκλου Κάρλαϊλ για τη λύση της τετραγωνικής εξίσωσης x2 + x − 214 = 0.[3]

Ιστορία

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Η λύση του Κάρλαϊλ στο πρόβλημα της Λέσλι. Το τμήμα της μαύρης γραμμής χωρίζεται σε δύο τμήματα με τέτοιο τρόπο ώστε τα δύο τμήματα να σχηματίζουν ένα ορθογώνιο (πράσινο) ίσου εμβαδού με ένα άλλο δεδομένο ορθογώνιο (κόκκινο).

Σύμφωνα με τον Χάουαρντ Έιβς (1911-2004), ο μαθηματικός Τζον Λέσλι (1766-1832) περιέγραψε τη γεωμετρική κατασκευή των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης με έναν κύκλο στο βιβλίο του Στοιχεία Γεωμετρίας και σημείωσε ότι η ιδέα αυτή δόθηκε από τον πρώην μαθητή του Τόμας Κάρλαϊλ (1795-1881)[4]. Ωστόσο, ενώ η περιγραφή στο βιβλίο του Λέσλι περιέχει μια ανάλογη κατασκευή κύκλου, παρουσιάστηκε αποκλειστικά με στοιχειώδεις γεωμετρικούς όρους χωρίς την έννοια του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων ή μιας τετραγωνικής συνάρτησης και των ριζών της:[5]

Να διαιρέσετε μια ευθεία γραμμή, είτε εσωτερικά είτε εξωτερικά, έτσι ώστε το ορθογώνιο κάτω από τα τμήματά της να είναι ισοδύναμο με ένα δεδομένο παραλληλόγραμμο..

— Τζον Λέσλι, Στοιχεία Γεωμετρίας, prop. XVII, p. 176[5]

Το 1867 ο Αυστριακός μηχανικός Έντουαρντ Λιλ δημοσίευσε μια γραφική μέθοδο για τον προσδιορισμό των ριζών ενός πολυωνύμου (μέθοδος του Λιλ)[6]. Αν εφαρμοστεί σε μια τετραγωνική συνάρτηση, τότε δίνει το σχήμα του τραπεζοειδούς από τη λύση του Καρλάιλ στο πρόβλημα του Λέσλι (βλ. γραφική παράσταση) με μια από τις πλευρές του να είναι η διάμετρος του κύκλου του Κάρλαϊλ. Σε ένα άρθρο του 1925 ο Γ. Α. Μίλερ επισήμανε ότι μια μικρή τροποποίηση της μεθόδου του Λιλ, εφαρμοσμένη σε μια κανονική τετραγωνική συνάρτηση, δίνει έναν κύκλο που επιτρέπει τη γεωμετρική κατασκευή των ριζών της συνάρτησης αυτής και έδωσε τον ρητό σύγχρονο ορισμό αυτού που αργότερα ονομάστηκε κύκλος Κάρλαϊλ [7]

Ο Έιβς χρησιμοποίησε τον κύκλο με τη σύγχρονη έννοια σε μια από τις ασκήσεις του βιβλίου του Εισαγωγή στην ιστορία των μαθηματικών (1953) και επισήμανε τη σύνδεση με τον Λέσλι και τον Κάρλαϊλ.[4] Αργότερα οι δημοσιεύσεις άρχισαν να υιοθετούν τις ονομασίες κύκλος του Κάρλαϊλ, μέθοδος Κάρλαϊλ ή αλγόριθμος Κάρλαϊλ, αν και στις γερμανόφωνες χώρες χρησιμοποιείται και ο όρος κύκλος Λιλ (Lill-Kreis).[8] Ο ΝτεΤέμπλ χρησιμοποίησε το 1989 και το 1991 τους κύκλους Κάρλαϊλ για την επινόηση κατασκευών με χάρακα και πυξίδα σε κανονικά πολύγωνα, ιδίως το πεντάγωνο, το επτάγωνο, το 257-γωνο και το 65537-γωνο. Ο Λαντισλάβ Μπεράν περιέγραψε το 1999 πώς ο κύκλος Κάρλαϊλ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή των μιγαδικών ριζών μιας κανονικοποιημένης τετραγωνικής συνάρτησης[9].

Δημοσιεύσεις

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  • Olivier Faugeras and Q.T. Luong (2001). The Geometry of Multiple Images. MIT Press. ISBN 978-0-262-06220-6. 
  • Richard I. Hartley (1997). «In Defense of the Eight-Point Algorithm». IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 19 (6): 580–593. doi:10.1109/34.601246. 
  • Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), When less is more: Visualizing basic inequalities, The Dolciani Mathematical Expositions, 36, Mathematical Association of America, Washington, DC, ISBN 978-0-88385-342-9 

Δείτε επίσης

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  1. ↑ E. John Hornsby, Jr.: Geometrical and Graphical Solutions of Quadratic Equations. The College Mathematics Journal, Vol. 21, No. 5 (Nov., 1990), pp. 362–369 (JSTOR)
  2. ↑ Weisstein, Eric W. «Carlyle Circle». From MathWorld—A Wolfram Web Resource. Ανακτήθηκε στις 21 Μαΐου 2013. 
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 DeTemple, Duane W. (Feb 1991). «Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions». The American Mathematical Monthly 98 (2): 97–208. doi:10.2307/2323939. http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/1.pdf. Ανακτήθηκε στις 6 November 2011.  (JSTOR)
  4. ↑ 4,0 4,1 See for instance Hornsby, DeTemple or Howard Eves: An Introduction into the History of Mathematics. Holt, Rinehart and Winston, 3rd edition, 1969, p. 73
  5. ↑ 5,0 5,1 John Leslie: Elements of geometry and plane trigonometry: With an appendix, and copious notes and illustrations. Archibald Constable & Co, 3. Ausgabe, 1817, pp. 176, 340 (online copy (Google)). Note that the comment about Carlyle is not contained in earlier editions of the book (1809, 1811).
  6. ↑ Lill, E. (1867). «Résolution graphique des équations numériques de tous degrés à une seule inconnue, et description d'un instrument inventé dans ce but» (στα French). Nouvelles Annales de Mathématiques. 2nd series 6: 359–362. https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.$b416525&view=1up&seq=361. 
  7. ↑ G. A. Miller: Geometric Solution of the Quadratic Equation. The Mathematical Gazette, Vol. 12, No. 179 (Dec., 1925), pp. 500–501 (JSTOR)
  8. ↑ Rainer Kaenders (ed.), Reinhard Schmidt (ed.): Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen. Springer Spektrum, 2nd edition, 2014, (ISBN 978-3-658-04222-6), pp. 68-71 (German)
  9. ↑ Ladislav Beran: The Complex Roots of a Quadratic from a Circle. The Mathematical Gazette, Vol. 83, No. 497 (Jul., 1999), pp. 287–291 (JSTOR)


Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/w/index.php?title=Κύκλος_του_Κάρλαϊλ&oldid=10809635"