Οι δίδυμοι κύκλοι του Αρχιμήδη

Στη γεωμετρία, οι δίδυμοι κύκλοι του Αρχιμήδη είναι δύο κύκλοι που συνδέονται με μια άρβυλο. Η άρβυλος προσδιορίζεται από τρία συνευθειακά σημεία $A$ , $B$ , και $C$ , και είναι η καμπυλόγραμμη τριγωνική περιοχή μεταξύ των τριών ημικυκλίων που έχουν ως διάμετρο τα $AB$ , $BC$ και $AC$ . Εάν η άρβυλος χωριστεί σε δύο μικρότερες περιοχές από ένα ευθύγραμμο τμήμα που τέμνει το σημείο $B$ και είναι κάθετο στην ευθεία $ABC$ , τότε καθένας από τους δύο δίδυμους κύκλους βρίσκεται μέσα σε μία από αυτές τις δύο περιοχές, εφάπτοντας δύο ημικύκλια και το ευθύγραμμο τμήμα.

Αυτοί οι κύκλοι εμφανίστηκαν για πρώτη φορά στο Βιβλίο Λημμάτων, το οποίο έδειξε (Πρόταση 5) ότι οι δύο κύκλοι είναι όμοιοι. Ο Θαμπίτ Ιμπν Κούρρα, ο οποίος μετέφρασε αυτό το βιβλίο στα αραβικά, απέδωσε αυτή την ανακάλυψη στον Έλληνα μαθηματικό Αρχιμήδη.

Κατασκευή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κινούμενο σχέδιο δίδυμων κύκλων για διάφορες θέσεις του σημείου Β στο ευθύγραμμο τμήμα AC

Συγκεκριμένα, έστω $A$ , $B$ και $C$ τα τρία σημεία της άρβυλου, με το $B$ να είναι μεταξύ του $A$ και του $C$ . Έστω $D$ το σημείο όπου η κάθετη στο $AC$ τέμνει το μεγαλύτερο ημικύκλιο και έχει ως άκρο το σημείο $B$ . Το ευθύγραμμο τμήμα $BD$ χωρίζει την άρβυλο σε δύο μέρη. Οι δίδυμοι κύκλοι είναι οι δύο κύκλοι που είναι εγγεγραμμένοι σε αυτά τα μέρη, καθένας από τους οποίους εφάπτεται σε ένα από τα δύο μικρότερα ημικύκλια, στο ευθύγραμμο τμήμα $BD$ και στο μεγαλύτερο ημικύκλιο.^[1]

Καθένας από τους δύο κύκλους καθορίζεται μοναδικά από τις τρεις εφαπτομένες του. Η κατασκευή τους αποτελεί ειδική περίπτωση του Απολλώνιου προβλήματος.

Έχουν επίσης βρεθεί εναλλακτικές προσεγγίσεις για την κατασκευή δύο κύκλων που είναι όμοιοι με τους δίδυμους κύκλους.^[2]^[3]

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω a και b οι διάμετροι δύο εσωτερικών ημικυκλίων, τέτοιοι ώστε το εξωτερικό ημικύκλιο να έχει διάμετρο a+b. Τότε, η διάμετρος κάθε δίδυμου κύκλου είναι^[1]

d={\frac {ab}{a+b}}.

Εναλλακτικά, εάν το εξωτερικό ημικύκλιο έχει μοναδιαία διάμετρο (δηλαδή a+b=1) και οι εσωτερικοί ημικύκλιοι έχουν διαμέτρους $s$ και $1-s$ αντίστοιχα, τότε η διάμετρος κάθε δίδυμου κύκλου είναι^[1]