Διακύμανση

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Διακύμανση
Ταξινόμηση
Dewey 519
MSC2010 97Kxx

Η διακύμανση ή διασπορά μίας τυχαίας μεταβλητής \, X συμβολίζεται συνήθως με \,Var[X] και δηλώνει πόσο συγκεντρωμένες γύρω από τη μέση τιμή είναι οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω μία τυχαία μεταβλητή \, X με μέση τιμή \,\mu =E[X] και συνάρτηση κατανομής \,F. Η διακύμανση ορίζεται ως:

Var[X]=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2dF(x)=E[(X-\mu)^2],

όταν το ολοκλήρωμα συγκλίνει.

Η θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης ονομάζεται τυπική απόκλιση και συμβολίζεται με \,\sigma.

Διακριτές τυχαίες μεταβλητές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω \,X μία διακριτή τυχαία μεταβλητή που παίρνει τις τιμές x_i, i \in N, N \sub \N με αντίστοιχες πιθανότητες \,p_i=P(X=x_i). Η διακύμανσή της είναι:

Var(X)=\sum_{i \in N}(x_i-\mu)^2p_i.

Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω \,X μία συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας \,f(x) η διακύμανσή της είναι:

Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x)dx\,.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • \,Var[X]= E[X^2]-(E[X])^2
  • \,Var[aX+b]=a^2Var[X]
  • \,Var[aX+bY]=a^2Var[X]+b^2Var[Y]+2ab\,Cov[X,Y]

όπου \,X,Y τυχαίες μεταβλητές,\,a,b\in\R και \,Cov η συνδιασπορά.

Εκτίμηση διακύμανσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω ένα τυχαίο δείγμα \,x=(x_1,\dots,x_n).

Όταν η μέση τιμή \,\mu του πληθυσμού είναι γνωστή, τοτε η εκτιμήτρια \,s^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της διακύμανσης.

Όταν η μέση τιμή είναι άγνωστη, τοτε η αμερόληπτη εκτιμήτρια της διακύμανσης είναι \,s^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2 με \,\bar{x}=\frac1n\sum_{i=1}^nx_i .