Συνάρτηση κατανομής

Έστω ένας χώρος πιθανότητας $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ και μια πραγματική τυχαία μεταβλητή $X:\Omega \to \mathbb {R}$ πάνω σε αυτόν. Η συνάρτηση $F_{X}:\mathbb {R} \to [0,1]$ με

$F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=P\left(\lbrace \omega \in \Omega \mid X(\omega )\leq x\rbrace \right)$

ονομάζεται συνάρτηση κατανομής (σ.κ., ή αθροιστική συνάρτηση κατανομής, α.σ.κ.) της τυχαίας μεταβλητής.

Παραδείγματα συναρτήσεων κατανομής.

Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που παίρνει τιμές x₁, x₂, ... με πιθανότητα p(x_i) = P(Χ=x_i) η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής ισούται με

$F(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}\operatorname {P} (X=x_{i})=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i}).$

Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής ισούται με

$F(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,\operatorname {d} t$

Ιδιότητες

Μια συνάρτηση κατανομής είναι αύξουσα και δεξιά συνεχής. Επίσης ισχύει

$\lim _{x\to -\infty }F(x)=0,\quad \lim _{x\to +\infty }F(x)=1.$

Η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να παίρνει τιμές σε ένα διάστημα είναι

$P(a<X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)=F(b)-F(a)$