Συνάρτηση μάζας πιθανότητας

Στην στατιστική και στην θεωρία πιθανοτήτων, η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας τυχαίας μεταβλητής είναι η συνάρτηση που προσδιορίζει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να λάβει ακριβώς μια τιμή από το πεδίο ορισμού της.

Πιο συγκεκριμένα, θεωρούμε την διακριτή τυχαία μεταβλητή $X$ και το αριθμήσιμο σύνολο τιμών της ${\mathcal {X}}$. Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι η συνάρτηση $p_{X}:{\mathcal {X}}\to [0,1]$ που ορίζεται ως:

$p_{X}(x)=\Pr(X=x)$,

όπου $x\in {\mathcal {X}}$ είναι μια εκ των πιθανών τιμών που μπορεί να λάβει η τυχαία μεταβλητή $X$ και $\Pr$ είναι μέτρο πιθανότητας.

Η γνώση της συνάρτησης μάζας πιθανότητας ορίζει πλήρως την τυχαία μεταβλητή την οποία περιγράφει και ορίζεται τόσο για βαθμωτές τυχαίες μεταβλητές όσο και για πολυδιάστατες (τυχαία διανύσματα).

Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας ορίζεται μόνον για διακριτές τυχαίες μεταβλητές και αυτή είναι μια από τις διαφορές της με την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που ορίζεται στις συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.

Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής λαμβάνει την μέγιστη τιμή της στην διάμεσο της κατανομής.

Ορισμός

Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας είναι η κατανομή πιθανότητας μιας διακριτή τυχαίας μεταβλητής. Το πεδίο ορισμού της είναι όλες οι πιθανές τιμές που μπορεί να λάβει η τυχαία μεταβλητή ενώ η εικόνα του πεδίου ορισμού είναι οι πιθανότητες που το πεδίο ορισμού της.

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής $X$ με σύνολο τιμών ${\mathcal {X}}$ είναι η συνάρτηση $p_{X}:{\mathcal {X}}\to [0,1]$ που ορίζεται ως:

$p_{X}(x)=\Pr(X=x)$,

όπου $x\in {\mathcal {X}}$ είναι μια εκ των πιθανών τιμών που μπορεί να λάβει η τυχαία μεταβλητή $X$ και $\Pr$ είναι μέτρο πιθανότητας.

Με άλλα λόγια η συνάρτηση μάζας πιθανότητας $p_{X}$ με όρισμα την πιθανή τιμή $x$ που μπορεί να πάρει η τυχαία μεταβλητή $X$ συμβολίζεται με $p_{X}(x)$ και δηλώνει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή $X=x$ δηλαδή να λάβει ακριβώς την τιμή $x$.

Ιδιότητες

Σύμφωνα με τα αξιώματα των πιθανοτήτων (Αξιώματα κατά Κολμογκόροφ) μια πιθανότητα είναι πάντα μη-μηδενική και ως εκ τούτου η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μπορεί να πάρει μόνον μη μηδενικές τιμές. Επιπλέον το άθροισμα (εν δυνάμει αριθμήσιμα απείρων όρων) όλων των τιμών της συνάρτησης μάζας πιθανότητας πρέπει να είναι 1 δηλαδή:

$\sum _{x\in {\mathcal {X}}}p_{X}(x)=1$

και

$p_{X}(x)\geq 0.\quad \forall x\in {\mathcal {X}}$

Παραδείγματα

Κατανομή Μπερνούλι

Mία τυχαία μεταβλητή $X$ που ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλι ${\mathsf {Ber}}(p)$ (για $p\in [0,1]$) έχει συνάρτηση μάζας πιθανότητας

$\Pr(X=x)={\begin{cases}p&{\text{αν }}X=0,\\1-p&{\text{αν }}X=1.\end{cases}}$.

Διωνυμική κατανομή

Mία τυχαία μεταβλητή $X$ που ακολουθεί την διωνυμική κατανομή ${\mathsf {Bin}}(n,p)$ (για $p\in [0,1]$) έχει συνάρτηση μάζας πιθανότητας

$\Pr(X=x)={\binom {n}{x}}\cdot p^{x}\cdot (1-p)^{n-x}$.

Γεωμετρική κατανομή

Mία τυχαία μεταβλητή $X$ που ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή ${\mathsf {Geom}}(p)$ (για $p\in [0,1]$) έχει συνάρτηση μάζας πιθανότητας

$\Pr(X=x)=p\cdot (1-p)^{x-1}$.

Δείτε επίσης

• Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας