Ανισότητα Γένσεν
![]() |
Αυτό το λήμμα χρειάζεται μορφοποίηση ώστε να ανταποκρίνεται στις προδιαγραφές μορφοποίησης της Βικιπαίδειας. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/el/thumb/2/2f/%CE%91%CE%BD%CE%B9%CF%83%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1_%CE%93%CE%AD%CE%BD%CF%83%CE%B5%CE%BD.svg/400px-%CE%91%CE%BD%CE%B9%CF%83%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1_%CE%93%CE%AD%CE%BD%CF%83%CE%B5%CE%BD.svg.png)
Στα μαθηματικά, η ανισότητα Γένσεν (αναφέρεται και ως ανισότητα Jensen) λέει ότι για κάθε κυρτή συνάρτηση και πραγματικούς αριθμούς , ισχύει ότι[1][2][3]:206
Πιο γενικά, για κάθε με , ισχύει ότι
Για κοίλες συναρτήσεις, οι ανισότητες ισχύουν με την αντίθετη φορά.
Απόδειξη
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Μία συνάρτηση είναι κυρτή αν για κάθε και , ισχύει ότι
(
)
Αυτός ο ορισμός μας δίνει κατευθείαν την ανισότητα Γένσεν για , θέτοντας και . Τώρα θα αποδείξουμε την ανισότητα για κάθε με την χρήση της μαθηματικής επαγωγής. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει για και κάθε και κάθε με , δηλαδή
Θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για κάθε και με . Ξεκινάμε γράφοντας το αριστερό μέλος με την εξής ισοδύναμη μορφή,
χρησιμοποιώντας ότι .
Από την (1) για , και , έχουμε ότι
- .
Από την επαγωγική υπόθεση, για (καθώς ) έχουμε ότι
- ,
που ολοκληρώνει την απόδειξη για μεταβλητές.
Εφαρμογές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Η ανισότητα Γένσεν βρίσκει εφαρμογές σε διάφορους τομείς των θεωρητικών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένων:
- της θεωρίας πληροφορίας (π.χ. η ανισότητα Γκιμπς)
- της θεωρίας πολυπλοκότητας (π.χ. για την ανάλυση πιθανοτικών και προσεγγιστικών αλγορίθμων)
- της θεωρίας πιθανοτήτων (συνήθως με την μορφή για την αναμενόμενη τιμή )
Αποδείξεις άλλων ανισοτήτων
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Η ανισότητα Γένσεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη αρκετών κλασσικών ανισοτήτων στα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένων των εξής:
- της ανισότητας αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου
- της ανισότητας Γιανγκ για το γινόμενο
- της ανισότητας Κωσύ-Σβαρτς
- της ανισότητας Νέσμπιττ
Ιστορία
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Γιόχαν Γένσεν που την δημοσίευσε στην εργασία του το 1906.[1] Η ανισότητα είχε δημοσιευτεί προγενέστερα το 1889 από τον Όττο Χέλντερ.[2]
Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ 1,0 1,1 Jensen, J. L. W. V. (1906). «Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes». Acta Mathematica 30 (0): 175–193. doi:. https://projecteuclid.org/journals/acta-mathematica/volume-30/issue-none/Sur-les-fonctions-convexes-et-les-in%c3%a9galit%c3%a9s-entre-les-valeurs/10.1007/BF02418571.full.
- ↑ 2,0 2,1 Hölder, O. (1889). «Ueber einen Mittelwerthabsatz». Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen: 38-47. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN00252421X.
- ↑ Παπαδημητράκης, Μιχαήλ (2015). Ανάλυση: Πραγματικές συναρτήσεις μίας μεταβλητής. Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. ISBN 978-960-603-403-9.
![]() |
Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |