Πρότυπο (άλγεβρα)

Στα μαθηματικά, ένα πρότυπο ή μόδιος (module) είναι μια γενίκευση της έννοιας του διανυσματικού χώρου, στην οποία το σωμα των βαθμωτών αντικαθίσταται από ένα (όχι απαραίτητα αντιμεταθετικό) δακτύλιο. Η έννοια του προτύπου ή μοδίου γενικεύει επίσης την έννοια της αβελιανής ομάδας, καθώς οι αβελιανές ομάδες είναι ακριβώς τα πρότυπα πάνω στον δακτύλιο των ακεραίων.

Όπως και ο διανυσματικός χώρος, ένα πρότυπο ή μόδιος είναι μια αβελιανή ομάδα, και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης μεταξύ των στοιχείων του δακτυλίου ή του προτύπου ή μοδίου και είναι συμβατός με τον πολλαπλασιασμό του δακτυλίου.

Τα πρότυπα σχετίζονται στενά με τη θεωρία αναπαράστασης των ομάδων. Είναι επίσης μία από τις κεντρικές έννοιες της αντιμεταθετικής άλγεβρας και της ομολογικής άλγεβρας, και χρησιμοποιούνται ευρέως στην αλγεβρική γεωμετρία και την αλγεβρική τοπολογία.

Εισαγωγή και ορισμός

Κίνητρα

Σε έναν διανυσματικό χώρο, το σύνολο των βαθμωτών είναι ένα σώμα και δρα στα διανύσματα με βαθμωτό πολλαπλασιασμό, με την επιφύλαξη ορισμένων αξιωμάτων, όπως ο νόμος της επιμεριστικής ιδιότητας . Σε ένα πρότυπο, αρκεί τα βαθμωτά να είναι δακτύλιος, οπότε η έννοια του προτύπου αποτελεί μια σημαντική γενίκευση. Στην αντιμεταθετική άλγεβρα, τόσο τα ιδεώδη όσο και οι πηλίκα δακτύλιοι είναι πρότυπα, έτσι ώστε πολλά επιχειρήματα σχετικά με τα ιδεώδη ή τους πηλίκα δακτυλίους μπορούν να συνδυαστούν σε ένα μόνο επιχείρημα σχετικά με τα πρότυπα. Στη μη αντιμεταθετική άλγεβρα, η διάκριση μεταξύ αριστερών ιδεωδών, και ιδεωδών προτύπων γίνεται πιο έντονη, αν και ορισμένες δακτυλιοθεωρητικές συνθήκες μπορούν να εκφραστούν είτε για αριστερά ιδεώδη είτε για αριστερά πρότυπα.

Μεγάλο μέρος της θεωρίας των προτύπων συνίσταται στην επέκταση όσο το δυνατόν περισσότερων από τις επιθυμητές ιδιότητες των διανυσματικών χώρων στη σφαίρα των προτύπων πάνω από έναν «καλά συμπεριφερόμενο» δακτύλιο, όπως είναι ένας τομέας κύριων ιδεωδών. Ωστόσο, τα πρότυπα μπορεί να είναι αρκετά πιο περίπλοκα από τους διανυσματικούς χώρους- λόγου χάριν, δεν έχουν όλα τα πρότυπα μια βάση, και, ακόμη και για εκείνα που έχουν (ελεύθερα πρότυπα), ο αριθμός των στοιχείων μιας βάσης δεν χρειάζεται να είναι ο ίδιος για όλες τις βάσεις (δηλαδή μπορεί να μην έχουν μοναδικό βαθμό), αν ο υποκείμενος δακτύλιος δεν ικανοποιεί τη συνθήκη αναλλοίωτου αριθμού βάσης, σε αντίθεση με τους διανυσματικούς χώρους, οι οποίοι έχουν πάντα μια (ενδεχομένως άπειρη) βάση, της οποίας η πληθικότητα είναι τότε μοναδική. (Αυτοί οι δύο τελευταίοι ισχυρισμοί απαιτούν το αξίωμα της επιλογής γενικά, αλλά όχι στην περίπτωση των διανυσματικών χώρων πεπερασμένων διαστάσεων ή ορισμένων καλά συμπεριφερόμενων διανυσματικών χώρων άπειρων διαστάσεων, όπως οι χώροι L^p).-

Επίσημος ορισμός

Έστω δακτύλιος R.Μια αβελιανή ομάδα (μαθηματικά) Μ εφοδιασμένη με μία απεικόνιση

$\ \circ :R\times M\rightarrow M:(r,m)\mapsto r\circ m$

την οποία θα ονομάζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό ή R-δράση επί του Μ, καλείται R-πρότυπο (R-module) αν ισχύουν τα εξής:

• $(r+s)\circ m=r\circ m+s\circ m$

• $r\circ (m+n)=r\circ m+r\circ n$

• $r\circ (s\circ n)=(r\circ s)\circ n$

• $1\circ m=m$

για κάθε $r,s\in R$ και $m,n\in M$

Παραδείγματα

• Αν ο R είναι σώμα ,τότε ένα R-πρότυπο Μ είναι ένας διανυσματικός χώρος επί του R.Υπο αυτή την έννοια μπορούμε να σκεφτόμαστε τα πρότυπα ως γενίκευση της έννοιας του διανυσματικού χώρου.

• Κάθε αβελιανή ομάδα Μ είναι $\mathbb {Z}$ πρότυπο εφοδιασμένη με τον εξωτερικό πολλαπλασιασμό που ορίζεται ως εξής :

$r\circ m={\begin{cases}r\cdot m,r>0\\0,r=0\\(-r)\cdot m,r<0\end{cases}}$

όπου με $\cdot$ συμβολίζεται ο συνήθης πολαπλασιασμός.

Δείτε επίσης

• Μοδιακή αριθμητική

Βιβλιογραφία

• Smarandache, Florentin (15 Ιανουαρίου 2022). Collected Papers. Volume VI: On Neutrosophic Theory and Applications. Infinite Study. 
• Sriraman, Bharath· Freiman, Viktor (1 Νοεμβρίου 2010). Interdisciplinarity for the 21st Century: Proceedings of the 3rd International Symposium on Mathematics and its connections to the Arts and Sciences, Moncton 2009. IAP. ISBN 978-1-61735-220-1. 
• Hazewinkel, M. (11 Νοεμβρίου 2013). Encyclopaedia of Mathematics: Volume 3 Heaps and Semi-Heaps — Moments, Method of (in Probability Theory). Springer. ISBN 978-1-4899-3793-3. 
• Tabatabaian, Mehrzad (24 Ιουλίου 2015). COMSOL5 for Engineers. Mercury Learning and Information. ISBN 978-1-942270-45-4. 
• Katz, Victor J.· Michalowiz, Karen Dee (2 Μαρτίου 2020). Historical Modules for the Teaching and Learning of Mathematics. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-5711-2. 
• Russell, Dick· Beales, Juli (2002). AS Level Mathematics Through Diagrams. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-914838-7. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων