Πρότυπο (άλγεβρα)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω δακτύλιος R.Μια αβελιανή ομάδα Μ εφοδιασμένη με μία απεικόνιση

\ \circ:R \times M\rightarrow M :(r,m) \mapsto r\circ m

την οποία θα ονομάζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό ή R-δράση επί του Μ, καλείται R-πρότυπο (R-module) αν ισχύουν τα εξής:

  •  (r+s)\circ m =r \circ m +r \circ s
  •  r \circ (m+n)=r \circ m+r \circ n
  •  r\circ (s\circ n) =(r \circ s) \circ n
  •  1\circ m=m

για κάθε r,s \in R και m,n \in M

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Αν ο R είναι σώμα ,τότε ένα R-πρότυπο Μ είναι ένας διανυσματικός χώρος επί του R.Υπο αυτή την έννοια μπορούμε να σκεφτόμαστε τα πρότυπα ως γενίκευση της έννοιας του διανυσματικού χώρου.
  • Κάθε αβελιανή ομάδα Μ είναι \mathbb{Z} πρότυπο εφοδιασμένη με τον εξωτερικό πολλαπλασιασμό που ορίζεται ως εξής :

 r\circ m=\begin{cases} r\cdot m,r>0 \\0,r=0\\(-r)\cdot m ,r<0 \end{cases}

όπου με \cdot συμβολίζεται ο συνήθης πολαπλασιασμός.