Κύλινδρος (γεωμετρία)

γενική έννοια του κυλίνδρου

Κύλινδρος ονομάζεται το τριδιάστατο γεωμετρικό σχήμα που προκύπτει από την παράλληλη μετατόπιση μιας ευθείας κατά μήκος μια κλειστής επίπεδης καμπύλης. Γενικά έχει επικρατήσει ο όρος να αναφέρεται συγκεκριμένα σε τμήμα κυλίνδρου που προκύπτει από κύκλο οριοθετημένο από δύο παράλληλα κάθετα στον κύλινδρο επίπεδα συμπεριλαμβανομένων των δύο τμημάτων των επιπέδων που οριοθετούν τα όρια του κυλίνδρου. Ωστόσο η αυστηρή έννοια του ορισμού του κυλίνδρου είναι πολύ γενικότερη.

Μαθηματική περιγραφή του κυλίνδρου

Έστω $\Gamma$ ένα τυχαίο σημείο της κλειστής καμπύλης και και ${\vec {\delta }}$ διάνυσμα παράλληλο στη μεταβλητή ευθεία. Τότε ένα σημείο $\Pi$ ανήκει στον κύλινδρο αν και μόνο αν υπάρχει σημείο $\Gamma$ τέτοιο ώστε:

$(\Pi -\Gamma )\times {\vec {\delta }}={\vec {0}}$

Κυκλικός καθημερινός κύλινδρος.

Ο κυκλικός κύλινδρος μπορεί να θεωρηθεί ως σχήμα εκ περιστροφής ενός ευθύγραμμου τμήματος παράλληλου στον άξονα περιστροφής ή ενός ορθογωγνίου που περιστρέφεται γύρω από μία μεσοπαράλληλο του. Αυτός ο άξονας ονομάζεται και άξονας του κυλίνδρου και είναι ταυτόχρονα άξονας συμμετρίας του.

Η παραμετρική εξίσωση περιγραφής κυκλικού κυλίνδρου ακτίνας ρ σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με άξονα συμμετρίας τον άξονα z οριοθετημένο από τα επίπεδα z=z1 και z=z2 είναι:

${\begin{Bmatrix}x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}\\z1\geq z\geq z2\end{Bmatrix}}$

ενώ σε πολικό σύστημα συντεταγμένων (ο άξονας z είναι γραμμικός και άξονας συμμετρίας, ενώ το επίπεδο Οxy έγινε πολικό):

${\begin{Bmatrix}x=\rho \sigma \upsilon \nu \phi \\y=\rho \eta \mu \phi \\z1\geq z\geq z2\end{Bmatrix}}$

Γενικά αν η κλειστή καμπύλη έχει παραμετρική εξίσωση το σύστημα ${\begin{Bmatrix}x=f(\phi )\\y=g(\phi )\\z=z_{0}\end{Bmatrix}}$, τότε ο αντίστοιχος κύλινδρος περιγράφεται από το παραμετρικό σύστημα: ${\begin{Bmatrix}x=f(\phi )\\y=g(\phi )\\(z=\omega )\end{Bmatrix}}$, όπου φ και ω δύο ελεύθερες μεταβλητές στο $\mathbb {R}$.

Ο κύλινδρος στο παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων

$X(u,v)=a*\sin(v)*(\arcsin(\sin(u))+\arcsin(\cos(u)))$

$Y(u,v)=a*\cos(v)*(\arcsin(\sin(u))+\arcsin(\cos(u)))$

$Z(u,v)=b*(\arcsin(\sin(u))+\arccos(\cos(u)))$

0≤$u$≤2π
0≤$v$≤π

$a,b,c$ σταθερές

Η ακτίνα του κυλίνδρου είναι $R=a*$(π/2)
Το ύψος του κυλίνδρου είναι $h=b*$π

Παραπομπή:commons:file:parametric system of coordinates.pdf

Μεγέθη του κυλίνδρου

Σημαντικό μέγεθος ενός κυλίνδρου είναι τα χαρακτηριστικά της κλειστής καμπύλης από την οποία προήλθε, όπως το εμβαδόν που περικλείει, το οποίο είναι το εμβαδόν διατομής του κυλίνδρου, ή η ακτίνα του κύκλου στους κυκλικούς κυλίνδρους. Αν αναφερόμαστε σε οριοθετημένο κύλινδρο ή ορθότερα σε κυλινδρικό τμήμα, τότε είναι χρήσιμο και το ύψος του κυλίνδρου, η απόσταση δηλαδή των δύο βάσεών του.

σχηματική απεικόνιση του αναπτύγματος του κυλίνδρου

Στον κυκλικό κατά τα γνωστά κύλινδρο οι βάσεις είναι κυκλικοί δίσκοι, άρα επίπεδες με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν διατομής του κυλίνδρου δηλαδή $\pi \rho ^{2}$. Ο όγκος του κυλίνδρου είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού διατομής του επί το ύψος του, δηλαδή στη συγκεκριμένη περίπτωση $h\pi \rho ^{2}$, όπως συμβαίνει με τα πρίσματα, αφού ο κύλινδρος είναι το όριο πρισματικών προσεγγίσεων, όπως ο κύκλος είναι το όριο πολυγωνικών προσεγγίσεων.

Το ανάπτυγμα ενός κυλίνδρου είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλάτος όσο το μήκςο της περιφέρειας της κλειστής καμπύλης από την οποία προήλθε ο κύλινδρος και μήκος όσο το ύψος του κυλίνδρου.