Μαθηματική ορολογία στο Βυζάντιο κατά τον 15ο αιώνα

Προγενέστεροι αιώνες

Γνωρίζουμε ότι οι εποχές ακμής των μαθηματικών στο Βυζάντιο υπήρξαν ο Ε', ΣΤ', Θ', Ι', ΙΓ' και ΙΔ' αιώνας. Οι μαθηματικοί των πρώτων βυζαντινών χρόνων ήκμασαν στην Αλεξάνδρεια. Επί Ιουστινιανού όμως, λόγω της μεγάλης τότε οικοδομικής δραστηριότητας το κέντρο βάρους μετατοπίστηκε στην Κωνσταντινούπολη. Το 726 μ.Χ. ενώ το Πανδιδακτήριο της Κωνσταντινούπολης είχε πλέον παρακμάσει δίδασκαν ακόμα λογιστική και γεωδαισία, η οποία θεωρείτο κλάδος της λογιστικής. Σημειωτέον, ότι στην αρχαία Ελλάδα ο όρος "αριθμητική" σήμαινε τη σημερινή "θεωρία αριθμών". Στη λογιστική όμως οι τύποι χρησιμοποιούνταν χωρίς αποδείξεις και οι γνώσεις των μαθηματικών και της μηχανικής μεταδίδονταν από γενιά σε γενιά στα μέλη των ομάδων των οικοδόμων, των εμπόρων και των βιοτεχνών. Αυτό βέβαια δεν σήμαινε κατ' ανάγκην, ότι οι διδάσκαλοι της λογιστικής αγνοούσαν τα θεωρήματα στα οποία στηρίζονταν οι πρακτικοί κανόνες. Μάλιστα ορισμένοι από αυτούς πρέπει να ήταν καλοί γνώστες της θεωρίας, καθὼς έδιναν λύσεις πρωτότυπες και διαφορετικές από τους συγχρόνους τους. Επιπλέον είναι γνωστό ότι οι Βυζαντινοί έδειχναν προσήλωση στα αρχαιοελληνικά πρότυπα. Διαφύλαξαν όλα όσο είχαν επιτευχθεί, τα οποία και τα παρέδωσαν προκειμένου να συνεχισθεί η πρόοδος στις θετικές επιστήμες. Οι Βυζαντινοί όμως δεν διακρίθηκαν για τις γνώσεις τους στη θεωρία αλλά μάλλον για την πρακτική χρήση και εφαρμογή των επιστημονικών γνώσεων στην καθημερινή ζωή.

Κατά τον 9ο αιώνα ο Λέων ο μαθηματικός ήταν αυτός που επανέφερε την παράδοση της ανώτατης κρατικής εκπαίδευσης και ο Πατριάρχης Φώτιος ο οποίος ήταν λάτρης της αρχαίας ελληνικής παιδείας "οδήγησε το Βυζάντιο στον αυθεντικό ελληνισμό", με περιορισμένη όμως την παρουσία των θετικών επιστημών. Σε αυτή την περίοδο, η παιδεία και η τέχνη είχαν πλέον σκοπό την απόκτηση εκείνης της νοοτροπίας, η οποία θα "απομάκρυνε τον πολίτη από κάθε τι το ανθρώπινο, ώστε να πραγματοποιηθεί η επιθυμητή στροφή προς το υπεράνθρωπο".

Μετά το 1000 μ.Χ.

Αργότερα (1008 μ.Χ.) εκδόθηκε μία μαθηματική τετρακτύς αγνώστου συντάκτη, η οποία αν και δεν ήταν υψηλού επιπέδου μας προσέφερε εντούτοις σημαντικές πληροφορίες σχετικά με κάποια είδη κειμένων, τα οποία παραδίδονταν στα πλαίσια της εκπαιδευτικής πορείας που ακολουθείτο. Μεταξύ όσων παρέλαβε από την αρχαιότητα το Βυζάντιο, περιλαμβάνονταν γνώσεις τεχνολογίας στους τομείς της μηχανικής, της πολεμικής τέχνης, της φαρμακευτικής, και της χημικής τεχνολογίας. Στα αλχημικά κείμενα μάλιστα σώζονται συνταγές που παραδίδονταν από γενιά σε γενιά στους μεταλλουργούς και στους χρυσοτεχνίτες, και οι οποίες περιλάμβαναν οδηγίες σχετικά με τη συγκόλληση μετάλλων, τη βαφή, την παρασκευή κραμάτων και τον ποιοτικό τους έλεγχο, ο οποίος γινόταν από κρατικούς υπαλλήλους. Από την εποχή των Παλαιολόγων έχουν σωθεί η πραγματεία "περί χρυσοποιΐας" του Νικολάου Βλεμμύδη, και η "ερμηνεία της επιστήμης της χρυσοχοΐας" ενός μοναχού Κοσμά. Όσο καλά οι χρυσοτεχνίτες γνώριζαν ότι δεν υπήρχε μέθοδος μετατροπής αγενούς μετάλλου σε χρυσό, άλλο τόσο γνώριζαν μεθόδους επαργύρωσης και επιχρύσωσης, με τις οποίες έδιναν όψη αργυρού ή χρυσού σε άλλα μέταλλα ή σε κράματά τους. Επειδή δε τα κράματα των μετάλλων χρησιμοποιούνται τόσο στην αργυροχρυσοχοΐα όσο και τη νομισματοκοπία, είναι αναγκαία η γνώση τρόπων υπολογισμού των αναλογιών, υπό τις οποίες βρίσκονται τα μέταλλα σε κράματα. Τέτοιου είδους υπολογισμοί και όσοι άλλοι σχετίζονταν με τη σημερινή πρακτική αριθμητική περιλαμβάνονταν στην καλουμένη "λογιστική".

Μαθηματικά & Αστρονομία

Τα μαθηματικά και η αστρονομία, από την εποχή που ο Κωνσταντίνος ο Θ΄ (1042-1055) αναδιοργάνωσε το Πανδιδακτήριο της Κωνσταντινούπολης, είναι οι επιστήμες που καλλιεργήθηκαν εντατικά . Επί της βασιλείας του Μανουήλ Α΄ Κομνηνού (1143-1180), το Βυζάντιο ήταν πιο προηγμένο σε σχέση με τη Δύση στον τομέα των μαθηματικών. Περί το 1300 μ.Χ. γίνεται πλέον ο διαχωρισμός των "εμπορικών" (πρακτικών) από τα "ακαδημαϊκά" (τα διδασκόμενα στις ανώτερες σχολές) μαθηματικά. Μάλιστα από τον 14ο αι. τα πρακτικά μαθηματικά όχι μόνον δεν περιλαμβάνονταν στη διδακτέα ύλη των ανωτάτων σχολών αλλά κατά την άποψη ορισμένων, βρίσκονταν σε συνεχή ανταγωνισμό με την ύλη που διδασκόταν σ' αυτές, αφού τα πρακτικά μαθηματικά ενδιέφεραν πλήθος ανθρώπων, καθὼς εφαρμόζονταν σε προβλήματα καθημερινής ζωής, και ήταν χρήσιμα σε πολλά επαγγέλματα.

Μολονότι οι τελευταίες δεκαετίες πριν την άλωση της Κωνσταντινούπολης θεωρούνται ασήμαντες σε προσφορά στα μαθηματικά, η ύπαρξη μεγάλου πλήθους χειρογράφων δείχνει αυξημένο ενδιαφέρον τόσο για τις τέσσερις μαθηματικές επιστήμες (αριθμητική, γεωμετρία, αστρονομία, μουσική), όσο και για τη λογιστική και τη γεωδαισία, οι οποίες ήταν κλάδοι των κατ' εξοχήν "εμπορικών μαθηματικών" .

Πρακτικές επιστήμες

Η βυζαντινή εποχή τελειώνει με έργα προορισμένα για πρακτική χρήση. Αυτά είναι ως επί το πλείστον βιβλία αριθμητικής, δηλαδή συλλογές προβλημάτων που αποτελούνται από ποικίλες και επιλεκτικές δημιουργίες κληροδοτημένες από την παράδοση πολλών χρόνων και λαών. Ο προσδιορισμός των επιρροών που δέχθηκαν οι συγγραφείς αυτών των έργων αποτελεί εξαιρετικά επίπονη διαδικασία, ιδιαιτέρως, όταν στις περισσότερες περιπτώσεις διαπιστώνονται αλληλεπιδράσεις μεταξύ Κινέζων, Περσών, Ινδών, Δυτικών και Βυζαντινών. Αυτές οι συλλογές περιλαμβάνουν εκτός των άλλων και στοιχεία πολύτιμα για την εξέλιξη του πολιτισμού και της γλώσσας, διότι αναφέρονται σε ζητήματα της καθημερινής ζωής των ανθρώπων της εποχής εκείνης (μετατροπές νομισμάτων, προβλήματα κληρονομιών, φορολογικό καθεστώς, κ.ά.).

Τα σχολεία στον 15ο αιώνα

Τα σχολεία κατά τους βυζαντινούς χρόνους λειτουργούσαν κυρίως σε χώρους εκκλησιαστικούς. Οι μαθητές έμεναν συνήθως μέσα σε αυτά και έτσι είχαν την δυνατότητα να αναπτύξουν στενές σχέσεις μεταξύ τους, οι οποίες συνέβαλλαν στη δημιουργία κλίματος που ευνοούσε τις επιστημονικές συζητήσεις και την πολύωρη ενασχόληση με τα γράμματα. Βέβαια, όπως προκύπτει από τον βιενναίο ελλ. φιλ. κώδ. 65 (15ος αι.), φαίνεται να υπήρχαν και μαθητές, οι οποίοι για να σπουδάσουν μετακινούνταν σε άλλη πόλη, όπου κατοικούσαν πολλοί μαζί στον ίδιο χώρο πληρώνοντας ενοίκιο. Σχετικά με το είδος των μαθητών γνωρίζουμε ότι παλαιότερα υπήρχαν μαθητές κάθε ηλικίας, οι οποίοι μπορεί να ήταν κληρικοί, δημόσιοι υπάλληλοι, ακόμα και αξιωματούχοι μαζί με τα παιδιά τους. Η ύπαρξη αυτού του είδους του ακροατηρίου καθόριζε ως ἕνα βαθμό και το περιεχόμενο της διδακτέας ύλης, η οποία όσον αφορά στα μαθηματικά τις περισσότερες φορές περιλάμβανε όχι μόνο κεφάλαια πρακτικής αριθμητικής και γεωδαισίας, αλλά και άλγεβρας. Επειδή αυτά τα κεφάλαια περιλαμβάνονται στο περιεχόμενο του βιενναίου ελλ. φιλ. κώδ. 65, τίθενται ερωτήματα σχετικά με τη σύσταση του ακροατηρίου, στο οποίο απευθυνόταν. Τούτο διότι τα κεφάλαια της λογιστικής και της γεωδαισίας ήταν χρήσιμα κυρίως σε εμπόρους, χειροτέχνες, διοικητικούς υπαλλήλους, πρωτομάστορες, τοπογράφους, ενώ της άλγεβρας σε μαθητές σχολείου. Ενδεικτικά αναφέρουμε τα κεφάλαια της άλγεβρας στα οποία ο συγγραφέας προτείνει λύσεις για τις εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού. Οι λύσεις αυτές είναι εσφαλμένες, αλλά μέχρι το 1615 που ο Vieta ανακάλυψε την γενική τους λύση είχαν γίνει πολλές αποτυχημένες απόπειρες προς αυτήν την κατεύθυνση από τούς μαθηματικούς όλων των εποχών. Είναι δε σαφές ότι ἕνα τέτοιο θέμα καθαρά ερευνητικό δεν θα ήταν δυνατόν να ενδιαφέρει ανθρώπους που επιζητούσαν πρακτικές γνώσεις, αφού μάλιστα ἕως σήμερα οι λύσεις των εξισώσεων 3ου και 4ου βαθμού διδάσκονται στούς μαθητές των τελευταίων τάξεων των Λυκείων.

Παλαιότερα στα σχολεία αυτά ξεκινούσαν συνήθως με ποίηση και ρητορική, και στο τέλος μάθαιναν μαθηματικά, ἂν και η σειρά δεν ήταν απολύτως καθορισμένη. Βέβαια οι περισσότεροι μαθητές δεν συνέχιζαν τις σπουδές τους στα ανώτερα μαθηματικά, διότι αφ' ενός μέν οι δάσκαλοι ήταν λιγοστοί, αφ' ετέρου δε υπήρχε έλλειψη χειρογράφων βιβλίων. Καθὼς η τυπογραφία ανακαλύπτεται προς το τέλος του 15ου αι. μ.Χ. τα χειρόγραφα αντέγραφαν πολλές φορές οι ίδιοι οι μαθητές. Οι περισσότεροι δάσκαλοι (Πλανούδης, Βρυέννιος, Γεώργιος Παχυμέρης) είχαν δικές τους βιβλιοθήκες αλλά το πλήθος των μαθητών που δέχονταν ήταν περιορισμένο. Ο βιενναίος ελλ. φιλ. κώδ. 65 είναι χαρτώος και χρονολογείται στον 15ο αι. αποκτήθηκε από τον Augerius von Busbeck, όταν αυτός ήταν πρεσβευτής του αυτοκράτορα Φερδινάνδου Α' στην αυλή του σουλτάνου Σουλεϊμάν Β' (1555-1562 μ.Χ.). Περιέχει ένα βιβλίο αριθμητικής με λυμένα προβλήματα (φ. 11r-126r), τα οποία καλύπτουν ένα ευρύτατο πεδίο θεμάτων κατάλληλων για διδασκαλία τόσο στο σημερινό δημοτικό όσο στο γυμνάσιο και στο λύκειο. Η τεράστια ποικιλία των προβλημάτων καθιστά δύσκολο τον καθορισμό του είδους των μαθητών στους οποίους απευθύνεται. Αν επρόκειτο για ολοκληρωμένο πρόγραμμα διδασκαλίας, τότε κατά την άποψή μας θα μπορούσε το ακροατήριο να αποτελείτο από μαθητές όλων των τάξεων της σημερινής πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, αλλά και από άτομα τα οποία προορίζονταν να ακολουθήσουν το επάγγελμα του κρατικού λειτουργού.

Ορολογία

Εκτός από το είδος των προβλημάτων, εξαιρετικό ενδιαφέρον παρουσιάζει και η μαθηματική ορολογία, η οποία χρησιμοποιείται και είναι ως επί το πλείστον άγνωστη στον σύγχρονο μαθηματικό.

Μερικά παραδείγματα ορολογίας της εποχής είναι τα εξής:

• Ο συγγραφέας ονομάζει τον αριθμό ψήφον και ορίζει το μηδέν ως ουδέν· γράφει ότι το ουδέν "ουδενός εστί δηλωτικόν", και το συμβολίζει με το ανεστραμένο h.
• Χρησιμοποιεί τον όρο μηλιούρια ή μιλούνια αντί του ορθού που είναι μιλλιούνια, προκειμένου να δηλώσει τα εκατομμύρια.
• Για την πράξη του πολλαπλασιασμού χρησιμοποιεί δύο σχήματα: το δίπλευρον (τα ψηφία του πολλαπλασιαστή τοποθετούνται κατακόρυφα), και το οικός ("διά το τετραγωνικώς λαμβάνειν τούς ψήφους").
• Για τον πολλαπλασιασμό, που σήμερα λέμε ότι εκτελούμε χιαστί (όταν π.χ. θέλουμε να κάνουμε δύο κλάσματα ομώνυμα), χρησιμοποιεί την έκφραση πολλαπλασιάζω σταυροειδώς.
• Οι όροι επιστρεπτικός αριθμός και ανυπόστροφος, χρησιμοποιούνται για να δηλώσει ο συγγραφέας τους σύνθετους και τους πρώτους αριθμούς αντίστοιχα. Σημειωτέον, ότι ο όρος πρώτος αριθμός χρησιμοποιείται για να δηλώσει τον αριθμό, ο οποίος έχει ως διαιρέτες μόνο τον εαυτόν του και τη μονάδα, ενώ ο όρος σύνθετος αριθμός δηλώνει τον αριθμό, ο οποίος έχει και άλλους διαιρέτες εκτός από τον εαυτόν του και τη μονάδα.
• Οι εκφράσεις η διά των τριών μεταχείρισις και διά του κανόνος του διά των τριών αντιστοιχούν στη σημερινή μέθοδο των τριών. Μία συνήθης ονομασία αυτού του κανόνα ήταν εμπόρων κλεις, η οποία δείχνει τη σημασία του στις εμπορικές συναλλαγές. Ο συγγραφέας χρησιμοποιεί πολύ συχνά τη μέθοδο των τριών, και δεν παραλείπει κάθε φορά, να την περιγράφει αναλυτικά.
• Ο όρος αφεξαίρεσις σημαίνει τη σημερινή αφαίρεση.

Πιο σύνθετες πράξεις και ορολογίες

Σχετικά με τις αριθμητικές προόδους επισημαίνουμε, ότι μολονότι ο όρος "αριθμητική πρόοδος" δεν συναντάται στο χειρόγραφο, εντούτοις υπάρχουν προβλήματα υπολογισμού αθροισμάτων αριθμών, οι οποίοι είναι στην πραγματικότητα όροι αριθμητικής προόδου:

• Ο όρος φυσική ρίζα χρησιμοποιείται για την ακέραια ρίζα (π.χ. την √16), και νόθος ρίζα για αυτή που δεν δίνει ακέραιο αποτέλεσμα (π.χ. την √30). Ο όρος εφίμικτος ρίζα χρησιμοποιείται για να δηλώσει το άθροισμα των ριζών δύο αριθμών. Σημειωτέον, ότι σήμερα δεν χρησιμοποιούνται αντίστοιχοι ορισμοί. Αξίζει να αναφέρουμε, ότι ο συγγραφέας δίνει αξιόλογες μεθόδους υπολογισμού ριζών δεύτερης και τρίτης τάξης, τις οποίες σχολιάζουμε εκτενώς στη διδακτορική διατριβή.

• Στις εξισώσεις πρώτου έως και τετάρτου βαθμού ο συγγραφέας ονομάζει αριθμόν κάθε πραγματικό αριθμό και πράγμα τον άγνωστο χ. Οι όροι τζένσο, κούβον, και κάδρον χρησιμοποιούνται για να δηλώσουν τη δευτέρα (τετράγωνο), τρίτη (κύβο) και τετάρτη δύναμη του αγνώστου χ αντίστοιχα. Οι γενικές λύσεις για τις εξισώσεις τρίτου και τετάρτου βαθμού παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, διότι δείχνουν την προσπάθεια που κατέβαλλαν τότε για την εύρεση γενικής λύσης. Σημειώνουμε, ότι ο σημερινός όρος ισότητα δύο μελών εμφανίζεται στο χειρόγραφο, ως ομοιότητα.

• Ρομβοειδές ονομάζεται κάθε πλάγιο παραλληλόγραμμο. Σήμερα βέβαια αυτός ο όρος δεν χρησιμοποιείται· εμείς ονομάζουμε ρόμβο το παραλληλόγραμμο, το οποίο έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. Τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα ονομάζονται τετράγωνα. Δεν υπάρχουν δε οι όροι του ισοσκελούς και του ισοπλεύρου τριγώνου· όποτε ο συγγραφέας αναφέρεται σε αυτά τα αποκαλεί τρίγωνα με δύο ή με τρεις ίσες πλευρές. Παρατηρούμε, ότι σε ορισμένα προβλήματα του χειρόγραφου μας χρησιμοποιείται ο όρος ύψος τριγώνου για να δηλώσει τη διχοτόμο της γωνίας που κείται απέναντι από τη βάση του.

• Ο όρος μηνικόν κέρδος αναφέρεται σε προβλήματα τόκου και σημαίνει το κέρδος ενός μηνός. Ο όρος ενιαυτός δηλώνει τη χρονική διάρκεια ενός έτους. Λείπει εντελώς ο σημερινός όρος επιτόκιο, ο οποίος δηλώνει το ετήσιο κέρδος των 100 νομισματικών μονάδων.
• Ο όρος φίνον (πρβλ. affinage) αναφέρεται στο καθαρότατο ασήμι των 12 ουγγιών, και φίνον μάλαγμαν στον χρυσό των 24 καρατίων. Όταν όμως πρόκειται για παρασκευή ασημιού μικρότερης καθαρότητας χρησιμοποιείται ο όρος επιβολή χαλκώματος, ενώ για την παρασκευή πιο καθαρού μετάλλου ο όρος λογαρίζω.

• Το Πυθαγόρειο θεώρημα αναφέρεται ως κανὼν της σκάδρας, και διευκρινίζεται από τον συγγραφέα ότι σκάδρα σημαίνει τετράγωνο.
• Ο όρος άρριζον τζάκισμα κορυφής αναφέρεται σε κάποιον αριθμό, του οποίου ζητείται η τετραγωνική ρίζα, και ο οποίος είναι κλασματικός με άρριζον (κατά τον συγγραφέα δεν μπορείς να υπολογίσεις τη ρίζα) παρανομαστή, όπως π.χ. 3/8, 7/14, κ.λπ. ο όρος ασχημάτιστον ή άτμητον τζάκισμα χρησιμοποιείται για κλάσματα (π.χ. 13/14, 7/16), τα οποία -όπως εξηγεί ο συγγραφέας- δεν μπορούν να λάβουν μετά από απλοποίηση μία από τις ακόλουθες μορφές: 1/2 ή 1/3 ή 1/4. Σύμφωνα με τον συγγραφέα η ρίζα αυτών των κλασμάτων δεν είναι δυνατόν να υπολογισθεί.

• Στο κεφάλαιο της στερεομετρίας δεν αναφέρονται καν οι όροι παράπλευρη επιφάνεια ή ολική επιφάνεια στερεού, και όταν ο συγγραφέας ζητεί την εύρεση του περιεχομένου του στερεού αυτό σημαίνει τον υπολογισμό του όγκου του.

Παρατηρούμε ότι στο χειρόγραφό μας χρησιμοποιείται πολύ συχνά ο όρος απόδειξη, όταν πρόκειται για απλή επαλήθευση της ορθότητας των πράξεων και όχι για κάποια διαδικασία, η οποία σχετίζεται με τη θεωρία. Συχνά μάλιστα αυτή η επαλήθευση πραγματοποιείται με την ανάπτυξη μίας διαφορετικής μεθόδου επίλυσης του ιδίου προβλήματος.

Η ορολογία, η οποία χρησιμοποιείται στο χειρόγραφό μας αξιολογήθηκε προσεκτικά, καθώς το κείμενο είναι εξαιρετικά ανορθόγραφο και έπρεπε να συγκριθεί με τη γλώσσα των βυζαντινών κειμένων της εποχής. Συγκρινόμενη με τη σημερινή παρουσιάζει, όπως θα περίμενε κανείς, ομοιότητες αλλά και σημαντικές διαφορές. Έτσι ορισμένοι όροι, όπως αυτός του τριγώνου ή της ρίζας παραμένουν αναλλοίωτοι· οι περισσότεροι όμως δεν χρησιμοποιούνται πλέον σήμερα, ενώ κάποιοι άλλοι θεωρούνται λανθασμένοι. Π.χ. σήμερα θα ήταν σοβαρό λάθος να ονομάζαμε τετράγωνο ένα τυχόν ὀρθογώνιο παραλληλόγραμμο· το ίδιο θα ίσχυε και αν ζητούσαμε τον υπολογισμό του ύψους ενός τριγώνου εννοώντας τη διχοτόμο της γωνίας που είναι απέναντι από τη βάση του.

Γενικά

Τα Βυζαντινά κείμενα διακρίνονται για την αρμονία και τον ρυθμό τους που βασίζονται στη συμμετρική σχέση τονιζομένων συλλαβών και συλλαβικών ενοτήτων. Τούτο ισχύει και για το χειρόγραφό μας. Διαβάζοντάς το έχει κανείς την αίσθηση, ότι ο συγγραφέας του επιδιώκει να το κάνει να μοιάσει με ποίημα. Πιστεύουμε, ότι η σκοπιμότητα είναι αφενός μεν αισθητική, διότι ο ρυθμός προσδίδει κάλλος, αφετέρου δε παιδαγωγική, διότι τα ανωτέρω χαρακτηριστικά του λόγου "ποιούσιν ευσχήμονα την ψυχήν" αυτών που ακούουν. Εξ άλλου, αναφερόμενοι και στην ψυχολογία των μαθηματικών, σύμφωνα με σχετικές έρευνες έχει διαπιστωθεί ότι ο μαθητής αφομοιώνει ευκολότερα την ύλη υπό μορφή ποιήματος, η οποία χαρακτηρίζεται από μία μετρική, ένα ρυθμό.

Επειδή η γλωσσοπλαστική τάση των Βυζαντινών έχει δημιουργήσει ένα τεράστιο λεξικογραφικό θησαυρό, για τον οποίο γνωρίζουμε πολύ λίγα (σε κείμενα ρητορικά, ιστοριογραφικά, νομικά, μαθηματικά), και η κλασσικίζουσα γλώσσα αναμιγνύεται με την απλούστερη των Ευαγγελίων και τη δημώδη, χωρίς να υπάρχει σαφής διάκριση μεταξύ τους, οι ίδιοι οι συγγραφείς (π.χ. Μιχαήλ Ψελλός, Θεόδωρος Πρόδρομος) παρουσιάζουν διαφορετικές γλωσσικές τάσεις. Βέβαια υπάρχει κάποιος γενικός κανόνας σύμφωνα με τον οποίο, ό,τι έχει γραφεί από υποτιθέμενους αγράμματους είναι δημώδες. Αυτό όμως κατά τον Ν. Τωμαδάκη δεν μπορεί να είναι απόλυτο, και τούτο διότι συνήθως νόθευαν τον αττικισμό με την κοινή γλώσσα, η οποία είχε πάρει πολλά στοιχεία από την λατινική, αλλά και αυτή η κοινή ακόμα νοθευόταν από δημώδεις τύπους. Όμως τα πράγματα φαίνεται να περιπλέκονται περισσότερο αφού ακόμα και η μεσαιωνική δημώδης νοθεύεται συχνά από τύπους λογιώτερους και η νεοελληνική δημώδης αναμειγνύεται με στοιχεία συντηρητικότερα.

Από τον 12° αι. μ.Χ. η παιδεία είχε ως σκοπό να γράφουν οι νέοι την αττική διάλεκτο, αλλά δεν πρέπει να παραγνωρίζουμε το γεγονός ότι ο Βυζαντινός, όταν γράφει περί διδακτικών θεμάτων, αγωνίζεται να διακριθεί ακόμα και με το ύφος της γραφής, ιδιαίτερα μάλιστα όταν καταγίνεται με προβλήματα. Η συγγραφή διδακτικών θεμάτων συγκρίνεται με αυτήν των δοκιμίων που εκθέτουν επιστημονικές γνώσεις με την κατάλληλη εκλαϊκευτική μορφή. Οι Βυζαντινοί συγγραφείς κατείχαν την τέχνη να διδάσκουν λαμβάνοντας υπόψιν τους το επίπεδο μόρφωσης του μαθητού καθὼς και τον ευρύτερο κύκλο των ενδιαφερόντων του, και προσπαθώντας να κάνουν ζωντανή την διδασκαλία τους την εμπλούτιζαν και με πνευματώδεις παρατηρήσεις ακόμα. Επί των Παλαιολόγων η ροπή προς την καθαρεύουσα φθάνει στο αποκορύφωμα και έτσι μεγαλώνει το χάσμα μεταξύ καθομιλουμένης και γραφομένης. Επιπλέον δεν πρέπει να αγνοηθεί το ότι οι Βυζαντινοί έπρεπε σε πολλά ζητήματα (πολιτικά, στρατιωτικά) να εκφράσουν πλήθος νέων ιδεών και έτσι ήταν πρακτικά αδύνατο να περιορισθούν στο κλασσικό λεξιλόγιο.

Όσον αφορά στο χειρόγραφό μας η χρησιμοποιούμενη γλώσσα δείχνει την προσπάθεια που κατέβαλλαν κάποιοι Βυζαντινοί για να γράφουν στην επιθυμητή αττική διάλεκτο, ίσως τεχνητή και εξεζητημένη, ίσως ακόμη και πολύ διαφορετική από την καθομιλουμένη. Όμως, βάσει της χρησιμοποιούμενης επιστημονικής ορολογίας, θα μπορούσαμε να χαρακτηρίσουμε τη γλώσσα του χειρογράφου μας ως λογία, με εμφανή όμως τη λατινική επιρροή. Βέβαια η λατινική επιρροή αποδεικνύεται και από ορισμένες μεθόδους, τις οποίες χρησιμοποιεί ο συγγραφέας. Αναφέρουμε ως παράδειγμα τη μέθοδο της ταβλέττας (τολέττας), την οποία χρησιμοποιεί σε προβλήματα εμπορικών συναλλαγών.

Σχετικά με τις μεθόδους επίλυσης προβλημάτων παρατηρούμε ότι κάποιες από αυτές, όπως π.χ. της δοκιμής του πολλαπλασιασμού, της διαίρεσης και της πρόσθεσης πολλών αριθμών, σήμερα είναι άγνωστες. Μάλιστα αξίζει να αναφέρουμε, ότι σε καμία βαθμίδα της εκπαίδευσης δεν διδάσκουμε σήμερα μέθοδο δοκιμής αθροισμάτων πολλών προσθετέων. Το ίδιο συμβαίνει και με τις ρίζες τρίτης τάξης · δηλαδή, δεν διδάσκεται πλέον ο τρόπος υπολογισμού τους.

Σύγκριση με τις σημερινές μεθόδους

Η σύγκριση της μαθηματικής ορολογίας και των μεθόδων εκείνης της εποχής με τις αντίστοιχες σημερινές αποδεικνύει, ότι στο πέρασμα του χρόνου άλλοι μεν τρόποι επίλυσης και επιστημονικοί όροι εξαφανίζονται, άλλοι δε εξελίσσονται, ενώ άλλοι παραμένουν ίδιοι. Αυτά τα στοιχεία είναι σημαντικά, διότι βοηθούν στο να σχηματίσουμε μία καλύτερη εικόνα της εξέλιξης των μεθόδων διδακτικής των μαθηματικών, όσον αφορά στην επινόηση μεθόδων επίλυσης προβλημάτων και τρόπων διδασκαλίας για την κατά το δυνατόν καλύτερη κατανόησή τους από τους μαθητές.

Βιβλιογραφία

• C. N. Constantinides, Higher Education in Byzantium in the Thirteenth and Early Fourteenth Centuries (1204 - ca. 1310), Cyprus research center, Nicosia 1982.
• Γ. Ηλιούδης, "Ο ρυθμός και η αρμονία του λόγου σε λειτουργικά και υμνογραφικά κείμενα των Βυζαντινών", Α΄ Συνέδριο Βυζαντινολόγων Ελλάδος και Κύπρου (25-27 Σεπτεμβρίου 1998) (περίληψη ανακοίνωσης), Ιωάννινα 1999.
• Herbert Hunger, Βυζαντινή λογοτεχνία. Η λόγια κοσμική γραμματεία των Βυζαντινών: Μαθηματικά και αστρονομία, φυσικές επιστήμες, ιατρική, πολεμική τέχνη, νομική φιλολογία, μουσική, Τόμος Γ΄, μετάφραση: Γεώργιος Χ. Μακρής, Ιωάννα Οικονόμου-Αγοραστού, Ταξιάρχης Κόλιας, Ελευθερία Παπαγιάννη, Σπύρος Τρωιάνος, Δημήτρης Γιάννου, εκδ. Μ.Ι.Ε.Τ., Αθήνα 1994. ISBN 960-250-089-1, ISBN-13 978-960-250-089-7.
• Paul Lemerle, Ο πρώτος βυζαντινός ουμανισμός. Σημειώσεις και παρατηρήσεις για την εκπαίδευση και την παιδεία στο Βυζάντιο από τις αρχές ως τον 10ο αιώνα, μετάφραση: Μαρία Νυσταζοπούλου - Πελεκίδου, εκδ. Μ.Ι.Ε.Τ., Αθήνα 1985, σ. 280, 281. ISBN 960-250-213-4, ISBN-13 978-960-250-213-6.
• Ε. Σταμάτης (1965). Κριτική βυζαντινού βιβλίου αριθμητικής. Αθήνα: εκδ. Σιδέρη και ΣΙΑ. 
• Συλλογικό, Η Ιστορία της Βυζαντινής Αυτοκρατορίας, Τόμοι Α΄-Β΄, πρόλογος: Καραγιαννόπουλος Ε. Ιωάννης, μετάφραση: Σαούλ Ντουντού, εκδ. Μέλισσα, Αθήνα 1979. (ιδίως: τ. Β΄, κεφ. ΧΧVΙΙΙ: Κ. Vogel, "Η βυζαντινή επιστήμη").
• Βασίλειος Ψευτόγκας (1973). Βασιλείου Καισαρείας του Μεγάλου άπαντα τα έργα, 7 (ομιλίαι και Λόγοι). Θεσσαλονίκη: εκδ. "Γρηγόριος ο Παλαμάς".