Παραλληλόγραμμο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Παραλληλόγραμμο όπου οι πλευρές και είναι ίσες και παράλληλες.
Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται.
Το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση .

Στην γεωμετρία, το παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.[1]:65[2]:89-93[3]:111[4]:97

Το σημείο τομής των διαγωνίων του λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου. Η απόσταση δύο απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου λέγεται ύψος του ενώ οι απέναντι πλευρές λέγονται βάσεις ως προς το ύψος αυτό (κάθε παραλληλόγραμμο έχει δύο ύψη).

Ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράμμου είναι το ορθογώνιο, ο ρόμβος και το τετράγωνο.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες και οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.[1]: 65 [2]: 90 [3]: 111,113 
  • Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι διχοτομούνται.[2]: 91 
  • Το κέντρο ενός παραλληλογράμμου είναι κέντρο συμμετρίας του.
  • Οι διχοτόμοι δύο απέναντι γωνιών είναι παράλληλες.[4]: 99 
  • Κριτήρια παραλληλογράμμου: Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν και μόνο αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:[1]: 66 [2]: 92-93 [3]: 113-115 
  1. Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες ανά δύο.
  2. Δύο απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες.
  3. Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες ανά δύο.
  4. Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται.

Κριτήρια ισότητας παραλληλογράμμων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ισχύουν τα εξής κριτήρια ισότητας παραλληλογράμμων:[4]: 100-101 

  • Δύο παραλληλόγραμμα και με , και είναι ίσα.
  • Δύο παραλληλόγραμμα και με , και είναι ίσα.

Μετρικές σχέσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

.

Εμβαδόν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Διαγραμματική απόδειξη τύπου για το εμβαδόν.

Υπάρχουν αρκετοί τύποι για το εμβαδόν του παραλληλογράμμου:

  • Το εμβαδόν ισούται με το γινόμενο της βάσης και του αντίστοιχου ύψους:
,
όπου και , και .
  • Αν το σημείο , το και το , τότε
.

Εφαρμογές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα μέσα των πλευρών ενός τετραπλεύρου δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο.

Θεώρημα Varignon[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα Varignon λέει ότι τα μέσα των πλευρών ενός τετραπλεύρου , δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο.[5] Το παραλληλόγραμμο αυτό ονομάζεται το παραλληλόγραμμο Varignon.

Θεώρημα Πάππου.

Θεώρημα του Πάππου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα Πάππου για το εμβαδόν είναι ένα θεώρημα που συσχετίζεται τα εμβαδά τριών παραλληλογράμμων στις πλευρές ενός τριγώνου.

Σε αποδείξεις θεωρημάτων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε αρκετές αποδείξεις θεωρημάτων βοηθάει η δημιουργία παραλληλογράμμων. Για παράδειγμα στην απόδειξη της ύπαρξης του βαρυκέντρου, στο θεώρημα van Schooten και στο θεώρημα Vecten.

Πλακοστρώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα παραλληλόγραμμα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πλακοστρώσουν το επίπεδο.

Πλακόστρωση με τετράγωνα
Πλακόστρωση με ορθογώνια
Πλακόστρωση με ρόμβους
Πλακόστρωση με παραλληλόγραμμα

Ειδικές περιπτώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα παραλληλόγραμμο που έχει τις γωνίες του ορθές λέγεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες λέγεται ρόμβος. Αν έχει και τις γωνίες του ορθές και τις πλευρές του ίσες, τότε λέγεται τετράγωνο.

Ορθογώνιο
Ρόμβος
Τετράγωνο

Περαιτέρω ανάγνωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ελληνικά άρθρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ξενόγλωσσα άρθρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 1,2 Αλεξίου, Κ. Τ. (1975). Θεωρητική Γεωμετρία Τεύχος Α'. Αθήνα. 
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 Νικολάου, Νικόλαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. 1973: Οργανισμός εκδόσεως διδακτικών βιβλίων. 
  3. 3,0 3,1 3,2 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα. 
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία 1. Ι. Χιωτέλη. 
  5. Oliver, Peter N. (2001). «Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem». The Mathematics Teacher 94 (4): 316–319. doi:10.5951/MT.94.4.0316. https://archive.org/details/sim_mathematics-teacher_2001-04_94_4/page/316.