Δωδεκάγωνο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στη γεωμετρία, το δωδεκάγωνο (από τις ελληνικές λέξεις δώδεκα και γωνία) είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο σχήμα με δώδεκα πλευρές και δώδεκα κορυφές. Οι εσωτερικές γωνίες οποιουδήποτε δωδεκαγώνου έχουν άθροισμα 1800 μοίρες (°). Το σύμβολο Schläfli του δωδεκαγώνου είναι {12}.

Κανονικό δωδεκάγωνο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Συνήθως ο όρος δωδεκάγωνο αναφέρεται σε ένα κανονικό δωδεκάγωνο, στο οποίο όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Σε ένα τέτοιο δωδεκάγωνο, οι εσωτερικές γωνίες είναι ίσες με 150° η καθεμιά.

Το εμβαδό (E) ενός κανονικού δωδεκαγώνου με μήκος πλευράς α δίνεται από τη σχέση:

\begin{align} E & = 3 \cot\left(\frac{\pi}{12} \right) a^2 = 
                     3 \left(2+\sqrt{3} \right) a^2 \\
                 & \simeq 11,19615242\,a^2.
 \end{align}

Μία άλλη σχέση δίνει το εμβαδό ως συνάρτηση της ακτίνας R του περιγεγραμμένου κύκλου[1]:

E = 6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) R^2 = 3 R^2 ,

ενώ αν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου,

\begin{align} E & = 12 \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) r^2 = 
                     12 \left(2-\sqrt{3} \right) r^2 \\
                 & \simeq 3,2153903\,r^2.
 \end{align}

Απλή είναι η σχέση για το εμβαδό

\scriptstyle E\,=\,3ad ,

όπου d είναι η απόσταση μεταξύ παράλληλων πλευρών ή το ύψος του σχήματος όταν το κανονικό δωδεκάγωνο στέκεται πάνω στη μία του πλευρά ως βάση (επίσης είναι η διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου).

Με απλούς τριγωνομετρικούς υπολογισμούς βρίσκουμε:

\scriptstyle d\,=\,a(1\,+\,2cos{30^\circ}\,+\,2cos{60^\circ}).

Κατασκευή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το κανονικό δωδεκάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη:

Regular Dodecagon Inscribed in a Circle.gif
Η κατασκευή ενός κανονικού δωδεκαγώνου

Χρήσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πλακόστρωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δίνονται τρία παραδείγματα περιοδικής πλακόστρωσης του επιπέδου που χρησιμοποιεί κανονικά δωδεκάγωνα:

Tile 3bb.svg
Ημικανονική πλακόστρωση 3.12.12
Tile 46b.svg
Ημικανονική πλακόστρωση 4.6.12
Dem3343tbc.gif
Ημικανονική πλακόστρωση:
3.3.4.12 & 3.3.3.3.3.3

Πολύγωνα Petrie[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το κανονικό δωδεκάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για πολλά πολύτοπα περισσότερων διαστάσεων, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές σε διάφορα επίπεδα Coxeter, όπως τα:

A11 11-simplex t0.svg
11-simplex
11-simplex t1.svg
ανορθωμένο 11-simplex
11-simplex t2.svg
διανορθωμένο 11-simplex
11-simplex t3.svg
τριανορθωμένο 11-simplex
11-simplex t4.svg
τετρανορθωμένο 11-simplex
11-simplex t5.svg
πεντανορθωμένο 11-simplex
BC6 6-cube t5.svg
6-orthoplex
6-cube t4.svg
ανορθωμένο 6-orthoplex
6-cube t3.svg
διανορθωμένο 6-orthoplex
6-cube t2.svg
διανορθωμένος 6-κύβος
6-cube t1.svg
ανορθωμένος 6-κύβος
6-cube t0.svg
6-κύβος
D7 7-cube t6 B6.svg
t5(141)
7-cube t5 B6.svg
t4(141)
7-cube t4 B6.svg
t3(141)
7-cube t3 B6.svg
t2(141)
7-demicube t1 D7.svg
t1(141)
7-demicube t0 D7.svg
t0(141)
E6 E6 graph.svg
t0(221)
Up 2 21 t1 E6.svg
t1(221)
Up 2 21 t2 E6.svg
t1(122)
Gosset 1 22 polytope.png
t0(122)
F4 24-cell t0 F4.svg
24-cell
24-cell t1 F4.svg
Ανορθωμένο 24-cell
24-cell h01 F4.svg
Snub 24-cell

Γράμματα και κέρματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η οπίσθια όψη ενός βρετανικού κέρματος των τριών πεννών του 1942

Τα «παχιά» κεφαλαία γράμματα E, H και X (και το I σε γραμματοσειρά slab serif) έχουν δωδεκαγωνικές περιμέτρους.

Αλλά και αρκετά κέρματα έχουν δωδεκαγωνικές περιμέτρους, όπως:

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Δείτε τη γεωμετρική απόδειξη του József Kürschák στο Wolfram Demonstration Project.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Dodecagon της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).