Οκτάγωνο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στη γεωμετρία το οκτάγωνο (από τις ελληνικές λέξεις οκτώ και γωνία) είναι ένα πολύγωνο σχήμα με οκτώ πλευρές και οκτώ κορυφές. Σε ένα κανονικό οκτάγωνο, στο οποίο όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, οι γωνίες είναι ίσες με 3π/4 ακτίνια ή 135 μοίρες (°) η καθεμιά, ενώ οι εσωτερικές γωνίες οποιουδήποτε οκταγώνου έχουν άθροισμα 6π ακτίνια ή 1080 μοίρες. Το σύμβολο Schläfli του οκταγώνου είναι {8}.

Κανονικό οκτάγωνο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το κανονικό οκτάγωνο έχει οκτώ γραμμές ανακλαστικής συμμετρίας και έχει περιστροφική συμμετρία ογδόης τάξεως. Το εμβαδό (Ε) ενός κανονικού οκταγώνου με μήκος πλευράς α δίνεται από τη σχέση:

E  = 2 \cot \frac{\pi}{8} a^2 = 2(1+\sqrt{2})a^2 \simeq 4,828427125 a^2.

Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε το εμβαδό του οκταγώνου είναι

E = 4 \sin \frac{\pi}{4} R^2 = 2\sqrt{2}R^2 \simeq 2,828427 R^2

ενώ αν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, τότε το εμβαδό εκφράζεται ως

E = 8 \tan \frac{\pi}{8} r^2 = 8(\sqrt{2}-1)r^2 \simeq 3,3137085 r^2.

Ας σημειωθεί ότι οι δύο τελευταίοι συντελεστές (2,828... και 3,31...) «περικλείουν» την τιμή του π, που είναι το εμβαδό του μοναδιαίου κύκλου.

Το εμβαδό του κανονικού οκταγώνου ισούται επίσης με:

\,\!E=S^2-a^2

όπου S είναι το μήκος της δεύτερης μικρότερης διαγωνίου του και α το μήκος μιας πλευράς του. Η σχέση αυτή αποδείχνεται εύκολα αν σχεδιάσουμε το περιγεγραμμένο τετράγωνο (οι 4 από τις 8 πλευρές του οκταγώνου αγγίζουν τις 4 πλευρές του τετραγώνου), πάρουμε τα γωνιακά τρίγωνα και (είναι ορθογώνια τρίγωνα με μικρές γωνίες 45°) και τα τοποθετήσουμε με τις ορθές γωνίες τους στραμμένες προς τα μέσα, σχηματίζοντας έτσι ένα τετράγωνο. Οι πλευρές αυτού του τετραγώνου είναι ίσες με αυτές του οκταγώνου.

Τα α και S συνδέονται με τη σχέση:

S=\frac{a}{\sqrt{2}}+a+\frac{a}{\sqrt{2}}=(1+\sqrt{2})a
S \approx 2,414a

Μία άλλη απλή σχέση για το εμβαδό είναι

\ E=2ad

όπου d είναι η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων πλευρών του κανονικού οκταγώνου.

Κατασκευή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Regular Octagon Inscribed in a Circle.gif Το κανονικό οκτάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη.

Ορθογώνιες συντεταγμένες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι συντεταγμένες των κορυφών ενός κανονικού οκταγώνου το κέντρο του οποίου βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και το οποίο έχει μήκος πλευράς 2, είναι:

  • (±1, ±(1+√2))
  • (±(1+√2), ±1).

Χρήσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παράγωγα σχήματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πολύγωνα Petrie[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το κανονικό οκτάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για τα παρακάτω 12 ομοιομορφικά πολύτοπα, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές σε επίπεδα Coxeter A7, B4 και D5:

A7 7-simplex t0.svg
7-simplex
7-simplex t1.svg
ανορθωμένο 7-simplex
7-simplex t2.svg
διανορθωμένο 7-simplex
7-simplex t3.svg
τριανορθωμένο 7-simplex
B4 4-cube t3.svg
16-cell
4-cube t2.svg
ανορθωμένο 16-cell
4-cube t1.svg
ανορθωμένο tesseract
4-cube t0.svg
Tesseract
D5 5-demicube t3 D5.svg
5-orthoplex
5-demicube t2 D5.svg
ανορθωμένο 5-orthoplex
5-demicube t1 D5.svg
ανορθωμένο demipenteract
5-demicube t0 D5.svg
Demipenteract

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]


Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Octagon της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).