Εξάγωνο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στη γεωμετρία, το εξάγωνο (από τις ελληνικές λέξεις ἕξ = έξι και γωνία) είναι ένα πολύγωνο σχήμα με έξι πλευρές και έξι κορυφές. Οι εσωτερικές γωνίες οποιουδήποτε εξαγώνου έχουν άθροισμα 720 μοίρες (°).

Κανονικό εξάγωνο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η κατασκευή βήμα-βήμα ενός κανονικού εξαγώνου με κανόνα και διαβήτη, όπως περιγράφεται από τον Ευκλείδη στα Στοιχεία (βιβλίο 4, πρόταση 15).

Το κανονικό εξάγωνο έχει όλες τις πλευρές του ίσες, και όλες τις εσωτερικές γωνίες του ίσες με 120°. Το κανονικό εξάγωνο έχει 6 περιστροφικές συμμετρίες («περιστροφική συμμετρία τάξεως 6») και 6 κατοπτρικές συμμετρίες (ή έξι γραμμές συμμετρίας), ορίζοντας τη δίεδρη ομάδα D6. Οι μακρύτερες διαγώνιοι ενός κανονικού εξαγώνου, που ενώνουν διαμετρικά αντίθετες κορυφές, έχουν μήκος διπλάσιο από αυτό της κάθε πλευράς του. Από το δεδομένο αυτό έπεται ότι ένα τρίγωνο με τη μία κορυφή του στο κέντρο κανονικού εξαγώνου και τη μία πλευρά του κοινή με μία πλευρά του εξαγώνου είναι ισόπλευρο τρίγωνο, και ότι το κανονικό εξάγωνο μπορεί να διαμερισθεί σε 6 ισόπλευρα τρίγωνα.

Καθώς συμβαίνει και με τα τετράγωνα και τα ισόπλευρα τρίγωνα, τα κανονικά εξάγωνα συναρμόζονται απολύτως, χωρίς κενά μεταξύ τους, ώστε να «πλακοστρώνουν» το επίπεδο (τρία εξάγωνα συναντώνται σε κάθε κορυφή), και έτσι το σχήμα αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε πλακάκια. Για τον ίδιο λόγο, οι μέλισσες κατασκευάζουν τα κελιά στις κερήθρες τους σε σχήμα κανονικών εξαγωνικών πρισμάτων — με το συγκεκριμένο σχήμα χρησιμοποιείται αποδοτικότερα ο διαθέσιμος χώρος και τα υλικά κατασκευής.

Το εμβαδό ενός κανονικού εξαγώνου με μήκος πλευράς α είναι:

E = \frac{3 \sqrt{3}}{2}a^2 \simeq 2,59807621135 a^2.

Μία άλλη σχέση για το εμβαδό είναι Ε = 1,5αd όπου το μήκος d είναι η απόσταση μεταξύ των παράλληλων πλευρών του (το «ύψος» του εξαγώνου) ή η διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου. Αν μόνο το d είναι γνωστό, τότε το εμβαδό του εξαγώνου είναι:

E = \frac{ \sqrt{3}}{2} d^2 \simeq 0,8660254038 d^2.

Η περίμετρος ενός κανονικού εξαγώνου με μήκος πλευράς α είναι 6α, η ακτίνα του περιγεγραμμένου σε αυτό κύκλου α και η διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου \scriptstyle d\ =\ a\sqrt{3}.

Αν ένα κανονικό εξάγωνο έχει διαδοχικές κορυφές A, B, Γ, Δ, E, Ζ και αν P είναι οποιοδήποτε σημείο του περιγεγραμμένου σε αυτό κύκλου μεταξύ των B και Γ, τότε ισχύει PE + PΖ = PA + PB + PΓ + PΔ.

Κυκλικό εξάγωνο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κυκλικό εξάγωνο ονομάζεται οποιοδήποτε εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο, με τις πλευρές του εν γένει όλες άνισες μεταξύ τους. Αν οι διαδοχικές πλευρές ενός τέτοιου εξαγώνου έχουν μήκη α, β, γ, δ, ε, ζ, τότε οι τρεις κύριες διαγώνιοί του περνούν από το ίδιο σημείο στο εσωτερικό του αν και μόνο αν αγε = βδζ.[1]

Εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κωνική τομή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα του Πασκάλ (γνωστό και ως Hexagrammum Mysticum Theorem) λέει ότι αν ένα οποιοδήποτε εξάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κωνική τομή και προεκτείνουμε τα ζεύγη των αντίθετων πλευρών του μέχρι που να συναντηθούν, τότε τα τρία αυτά σημεία τομής θα βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, τη λεγόμενη «γραμμή Πασκάλ» αυτού του σχήματος.

Εξάγωνο εφαπτόμενο σε κωνική τομή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν ABCDEF είναι ένα εξάγωνο που σχηματίζεται από έξι ευθείες εφαπτόμενες σε κωνική τομή, τότε οι τρεις κύριες διαγώνιοί του AD, BE και CF τέμνονται σε ένα σημείο (Θεώρημα του Brianchon).

Συγγενικά σχήματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Truncated triangle.png
Το κανονικό εξάγωνο μπορεί να δημιουργηθεί ως ένα κόλουρο ισόπλευρο τρίγωνο, με σύμβολο Schläfli t{3}. Αυτή η μορφή έχει συμμετρία μόνο D3. Σε αυτό το σχήμα οι παραμένουσες πλευρές του αρχικού τριγώνου είναι γαλάζιες, ενώ οι νέες είναι κόκκινες.
Hexagram.svg
Το εξάγραμμα μπορεί να δημιουργηθεί με την προέκταση των 6 πλευρών ενός κανονικού εξαγώνου μέχρι που να συναντηθούν σε 6 νέες κορυφές.
Medial triambic icosahedron face.png
Ενα κοίλο εξάγωνο
Great triambic icosahedron face.png
Ενα «αυτοτεμνόμενο» εξάγωνο (αστεροειδές πολύγωνο)
Cube petrie polygon sideview.png
Μη επίπεδο κανονικό εξάγωνο αποτελούμενο από τις ακμές ενός κύβου

Πολύγωνα Petrie[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το κανονικό εξάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για τα παρακάτω κανονικά και ομοιομορφικά πολύτοπα, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές:

(3D) (5D)
Cube petrie.png
κύβος
Octahedron petrie.png
οκτάεδρο
5-simplex t0.svg
5-simplex
5-simplex t1.svg
ανορθωμένο 5-simplex
5-simplex t2.svg
διανορθωμένο 5-simplex

Πολύεδρα με εξαγωνικές έδρες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δεν υπάρχει πλατωνικό στερεό με έδρες κανονικά εξάγωνα, επειδή ακριβώς τα εξάγωνα καλύπτουν πλήρως το επίπεδο, μην αφήνοντας «χώρο» για το «δίπλωμά» τους. Τα αρχιμήδεια στερεά με κάποιες έδρες τους εξαγωνικές είναι το κόλουρο τετράεδρο, το κόλουρο οκτάεδρο, το κόλουρο εικοσάεδρο (γνωστό από τη μπάλα του ποδοσφαίρου), το κόλουρο κυβοκτάεδρο και το κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο.

Αρχιμήδεια στερεά
Truncated tetrahedron.png
κόλουρο τετράεδρο
Truncated octahedron.png
κόλουρο οκτάεδρο
Truncated icosahedron.png
κόλουρο εικοσάεδρο
Great rhombicuboctahedron.png
κόλουρο κυβοκτάεδρο
Great rhombicosidodecahedron.png
κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο

Υπάρχουν επίσης 9 στερεά Τζόνσον:

Πρισμοειδή
Hexagonal prism.png
εξαγωνικό πρίσμα
Hexagonal antiprism.png
εξαγωνικό αντιπρίσμα
Hexagonal pyramid.png
εξαγωνική πυραμίδα
Λοιπά συμμετρικά πολύεδρα
Truncated triakis tetrahedron.png
κόλουρο τριάκις τετράεδρο
Truncated rhombic dodecahedron2.png
κόλουρο ρομβικό δωδεκάεδρο
Truncated rhombic triacontahedron.png
κόλουρο ρομβικό τριακοντάεδρο
Hexpenttri near-miss Johnson solid.png

Κανονικά και ομοιόμορφα μωσαϊκά με εξάγωνα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Uniform tiling 63-t0.png
Το κανονικό εξάγωνο μπορεί να καλύψει το επίπεδο με σύμβολο Schläfli {6,3}, έχοντας 3 εξάγωνα γύρω από κάθε κορυφή.
Uniform tiling 63-t12.png
Μια δεύτερη εξαγωνική κάλυψη του επιπέδου μπορεί να σχηματισθεί ως κόλουρη τριγωνική ή ρομβοειδής κάλυψη, με το ένα από τα τρία εξάγωνα με διαφορετικό χρώμα.
Uniform tiling 333-t012.png
Μια δεύτερη εξαγωνική κάλυψη του επιπέδου γίνεται με 3 χρωματιστά εξάγωνα γύρω από κάθε κορυφή.
Uniform tiling 63-t1.png
Τριεξαγωνική κάλυψη
Uniform tiling 333-t01.png
Τριεξαγωνική κάλυψη
Uniform polyhedron-63-t02.png
Ρομβοτριεξαγωνική κάλυψη
Uniform polyhedron-63-t012.png
Κόλουρη τριεξαγωνική κάλυψη

Εξάγωνα στη φύση και τεχνητά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Cartensen, Jens, "About hexagons", Mathematical Spectrum, τόμος 33(2) (2000-2001), σσ. 37-40.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Commons logo
Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα
Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Hexagon της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).