Δεκαεπτάγωνο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στη γεωμετρία, το δεκαεπτάγωνο (από τις ελληνικές λέξεις δεκαεπτά και γωνία) είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο σχήμα με 17 πλευρές και 17 κορυφές. Οι εσωτερικές γωνίες οποιουδήποτε απλού δεκαεπταγώνου έχουν άθροισμα 2700 μοίρες (°). Το σύμβολο Schläfli του δεκαεπταγώνου είναι {17}.

Κανονικό δεκαεπτάγωνο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Συνήθως ο όρος δεκαεπτάγωνο αναφέρεται σε ένα κανονικό δεκαεπτάγωνο, στο οποίο όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Σε ένα τέτοιο δεκαεπτάγωνο, οι εσωτερικές γωνίες είναι ίσες με 158°49΄ περίπου η καθεμιά.

Το εμβαδό (E) ενός κανονικού δεκαεπταγώνου με μήκος πλευράς α δίνεται από τη σχέση:

 E = \frac{17}{4} a^2 \cot\left(\frac{\pi}{17} \right) \simeq 22,7355\,a^2.

Κατασκευή κανονικού δεκαεπταγώνου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το κανονικό δεκαεπτάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη, αλλά η κατασκευή αυτή είναι πολύπλοκη και αποδείχθηκε ότι είναι δυνατή από τον Γερμανό μαθηματικό Καρλ Φρίντριχ Γκάους το 1796 (όταν ο Γκάους ήταν 19 ετών)[1]. Αυτή η απόδειξη αντιπροσώπευε την πρώτη πρόοδο στην κατασκευή κανονικών πολυγώνων μετά από 2000 και πλέον χρόνια.

Η απόδειξη του Γκάους βασίζεται πρώτα στο ότι η κατασκευασιμότητα με κανόνα και διαβήτη είναι ισοδύναμη με το αν οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις της κοινής γωνίας είναι δυνατό να εκφρασθούν με τις 4 πράξεις της αριθμητικής και εξαγωγές τετραγωνικών ριζών, και δεύτερον στην απόδειξη του ίδιου ότι αυτό μπορεί να γίνει αν οι πρώτοι (πλην του 2) παράγοντες του αριθμού των γωνιών (εδώ του 17) είναι, εκτός από πρώτοι, και αριθμοί Φερμά, δηλαδή της μορφής \scriptstyle F_{n} = 2^{2^{ \overset{n} {}}} + 1. Η κατασκευή ενός κανονικού δεκαεπταγώνου επομένως περιλαμβάνει την έκφραση του συνημιτόνου του 2\pi/17 με συνδυασμό τετραγωνικών ριζών, η οποία αντιστοιχεί σε μία εξίσωση 17ου βαθμού. Αλλά ο 17 είναι ο ίδιος ταυτοχρόνως πρώτος αριθμός και αριθμός Φερμά (16+1). Το βιβλίο του Γκάους Disquisitiones Arithmeticae δίνει την έκφραση του συνημιτόνου ως (με τον σύγχρονο συμβολισμό):


 \begin{align} 16\,\operatorname{cos}{2\pi\over17} = & -1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \\
                                                     & 2\sqrt{17+3\sqrt{17}-
                                                        \sqrt{34-2\sqrt{17}}-
                                                       2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}.
 \end{align}

Οι κατασκευές του κανονικού (= ισόπλευρου) τριγώνου, του τετραγώνου, του κανονικού πενταγώνου και των κανονικών πολυγώνων με 2h φορές τον αριθμό των πλευρών των παραπάνω είχαν δοθεί από τον Ευκλείδη, αλλά κατασκευές βασισμένες στους πρώτους αριθμούς Φερμά εκτός των 3 και 5 ήταν άγνωστες στους αρχαίους (έτσι κι αλλιώς, οι μοναδικοί γνωστοί πρώτοι αριθμοί Φερμά είναι οι 3, 5, 17, 257 και 65537).

Η πρώτη συγκεκριμένη περιγραφή της κατασκευής κανονικού δεκαεπταγώνου δόθηκε από τον Γιοχάνες Έρχινγκερ (Johannes Erchinger) το 1825. Μία άλλη μέθοδος κατασκευής, που δείχνεται παρακάτω, χρησιμοποιεί κύκλους του Καρλάυλ. Με βάση την κατασκευή του κανονικού δεκαεπταγώνου, μπορούν να κατασκευασθούν εύκολα ν-γωνα με το ν να είναι το γινόμενο του 17 με το 3, το 5, το 15 ή οποιαδήποτε δύναμη του 2: π.χ. ένα κανονικό 51-γωνο, 85-γωνο ή 255-γωνο.

Regular Heptadecagon Using Carlyle Circle.gif

Πολύγωνα Petrie[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το κανονικό δεκαεπτάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για ένα πολύτοπο περισσότερων διαστάσεων, που παρατίθεται παρακάτω σε skew ορθογώνια προβολή:

16-simplex t0.svg
16-simplex (16D)

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson, Abstract Algebra and Famous Impossibilities, Springer, 1991, ISBN 0387976612, σελ. 178.

Βιβλιογραφία-πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Heptadecagon της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]