Ρεύμα πιθανότητας

Στην κβαντική μηχανική, το ρεύμα πιθανότητας (ή αλλιώς ροή πιθανότητας) είναι μία διατηρούμενη ποσότητα που περιγράφει την διάδοση της πυκνότητας πιθανότητας.

Μαθηματικός ορισμός

Στην μη σχετικιστική κβαντομηχανική, το ρεύμα πιθανότητας, j, μίας κυματοσυνάρτησης Ψ ορίζεται με τον ακόλουθο τρόπο:

$\mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*})$

όπου ħ η ανηγμένη σταθερά του Πλανκ, m η μάζα του σωματιδίου που περιγράφει η κυματοσυνάρτηση, i η φανταστική μονάδα και ∇ ο τελεστής ανάδελτα. Το ρεύμα πιθανότητας είναι μία διανυσματική συνάρτηση, η τιμή της οποίας εν γένει αλλάζει από σημείο σε σημείο στο χώρο, ενώ μπορεί επίσης να μεταβάλλεται και χρονικά ανάλογα με το πώς συμπεριφέρεται η κυματοσυνάρτηση Ψ.

Εξίσωση συνέχειας

Δεδομένου ενός συστήματος που περιγράφεται από μία κυματοσυνάρτηση Ψ, ορίζεται η πυκνότητα πιθανότητας (ρ) ως το τετράγωνο της απολύτου τιμής της κυματοσυνάρτησης. Μαθηματικά,

$\rho =|\Psi |^{2}\ \ \$

Η πυκνότητα πιθανότητας έχει άμεση μαθηματική σημασία, καθώς συνδέεται με την πιθανότητα ένα σωματίδιο που περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση Ψ να βρεθεί σε μία δεδομένη περιοχή στο χώρο. Για μία δεδομένη, κλειστή και απομονωμένη περιοχή όγκου V και επιφάνειας S, η συνολική πιθανότητα το σωματίδιο να βρεθεί κάπου μέσα σε αυτόν τον χώρο πρέπει να είναι σταθερή (συγκεκριμένα ίση με μονάδα), δηλαδή η χρονική παράγωγος της συνολικής πιθανότητας πρέπει να ισούται με μηδέν:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{\mathcal {V}}|\Psi |^{2}\,d{\mathcal {V}}=0$

Αν όμως ο χώρος αυτός δεν είναι απομονωμένος, τότε οποιαδήποτε μεταβολή της συνολικής πυκνότητας πιθανότητας στο εσωτερικό του χώρου πρέπει να οφείλεται σε μία «εισροή» ή μία «εκροή» πυκνότητας πιθανότητας (όπως ακριβώς η συνολική μάζα σε ένα δοχείο με νερό δεδομένου όγκου μπορεί να αλλάξει αν εκείνο είναι ανοιχτό και βρέχει ή αν το δοχείο έχει μία τρύπα και χάνει νερό). Η «ροή» αυτή περιγράφεται μαθηματικά από μία διανυσματική συνάρτηση που στην προκειμένη περίπτωση ορίζεται ως η πυκνότητα πιθανότητας ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου.

Ο λόγος που η ροή πιθανότητας ορίζεται με τον παραπάνω τρόπο είναι διότι, στην περίπτωση αυτή, οποιαδήποτε χρονική μεταβολή της συνολικής πιθανότητας θα οφείλεται σε αντίστοιχη συνεισφορά πιθανότητας σύμφωνα με το παρακάτω επιφανειακό ολοκλήρωμα:

$\oint _{\mathcal {S}}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {\mathcal {S}}$

Η διαπίστωση αυτή οδηγεί στην παρακάτω εξίσωση:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{\mathcal {V}}|\Psi |^{2}\,d{\mathcal {V}}=-\oint _{\mathcal {S}}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {\mathcal {S}}$

Η φυσική σημασία του αρνητικού πρόσημου στο δεξιό μέλος είναι το εξής: Αν το αριστερό μέλος είναι θετικό (αύξηση της συνολικής πιθανότητας), τότε αναγκαστικά το δεξιό μέλος πρέπει να είναι αρνητικό (εισροή πιθανότητας από το περιβάλλον προς τον χώρο που μελετάμε). Το αντίθετο ακριβώς ισχύει στην περίπτωση που το αριστερό μέλος είναι αρνητικό (μείωση της συνολικής πιθανότητας, που συνεπάγεται εκροή πιθανότητας από τον χώρο που μελετάμε προς το περιβάλλον).

Σύμφωνα με το θεώρημα της απόκλισης όμως, ισχύει ότι:

$\oint _{\mathcal {S}}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {\mathcal {S}} =\int _{\mathcal {V}}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} \,d{\mathcal {V}}$

Άρα λοιπόν,

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{\mathcal {V}}|\Psi |^{2}\,d{\mathcal {V}}=-\int _{\mathcal {V}}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} \,d{\mathcal {V}}\\&{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\Psi |^{2}\right)=-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} \\&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} =0\end{aligned}}$

Η τελευταία εξίσωση είναι μία εξίσωση συνέχειας και εκφράζει μαθηματικά το γεγονός ότι η πιθανότητα είναι ένα διατηρήσιμο μέγεθος. Η εξίσωση αυτή σε συνδυασμό με την εξίσωση Σρέντιγκερ καθορίζει την ακριβή μαθηματική μορφή που έχει το ρεύμα πιθανότητας.

Δείτε επίσης

• Κυματοσυνάρτηση

Βιβλιογραφία

• Τραχανάς Στέφανος (2009). Κβαντομηχανική Ι. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης