Αντίστροφος

Στα μαθηματικά, αντίστροφος (ή συμμετρικό) ενός στοιχείου $x$ του συνόλου $S$ ως προς μία δυαδική πράξη $\bullet :S\times S\to S$ με ουδέτερο στοιχείο $e\in S$, είναι το στοιχείο $x'\in S$ το οποίο ικανοποιεί

$x\bullet x'=x'\bullet x=e.$

Όταν το στοιχείο αυτό είναι μοναδικό συμβολίζεται ως $x^{-1}$.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση που η πράξη είναι πρόσθεση $+$, τότε ο αντίστροφος λέγεται αντίθετος και συμβολίζεται ως $-x$ και το ουδέτερο στοιχείο λέγεται μηδέν. Αντίστοιχα, όταν η πράξη είναι πολλαπλασιασμός $\cdot$, τότε ο αντίστροφος λέγεται πολλαπλασιαστικός αντίστροφος και το ουδέτερο στοιχείο μονάδα.

Παραδείγματα

• Στους πραγματικούς αριθμούς με πράξη την πρόσθεση, εξ'ορισμού κάθε αριθμός έχει αντίθετο. Με πράξη τον πολλαπλασιασμό, κάθε αριθμός εκτός από το μηδέν έχει αντίστροφο. Για παράδειγμα, για $x=4$ ο αντίστροφός του είναι $x^{-1}=0.25$ καθώς $4\cdot 0.25=1$.
• Στους μιγαδικούς αριθμούς με πράξη την πρόσθεση, κάθε αριθμός έχει αντίθετο. Για παράδειγμα, για $x=1+3i$ ο αντίθετός του είναι ο $-x=(-1)+(-3)i$, καθώς $1+3i+(-1+(-3)i)=0$. Με πράξη τον πολλαπλασιασμό, κάθε αριθμός εκτός από το μηδέν έχει αντίστροφο. Για παράδειγμα, για $x=1+3i$ ο αντίστροφος είναι $x^{-1}=0.1-0.3i$ καθώς $(1+3i)\cdot (0.1-0.3i)=0.1+0.3i-0.3i+0.9=1$.
• Στην αριθμητική υπολοίπων, στο $\mathbb {Z} _{n}$ με πράξη την πρόσθεση με υπόλοιπο $n$, ένας αριθμός $x\in \mathbb {Z} _{n}$ έχει αντίθετο τον $n-x\in \mathbb {Z} _{n}$, καθώς $x+(n-x)=n\equiv 0{\pmod {n}}$. Με πράξη τον πολλαπλασιασμό με υπόλοιπο $n$, ένας αριθμός $x\in \mathbb {Z} _{n}$ έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο ανν $\gcd(n,x)=1$. Για παράδειγμα, για $n=10$, ο $x=3$ έχει αντίστροφο τον $x^{-1}=7$ καθώς $3\cdot 7=21\equiv 1{\pmod {10}}$, ενώ ο $x=5$ δεν έχει αντίστροφο.
• Στον Ευκλείδειο χώρο $\mathbb {R} ^{n}$ με πράξη την πρόσθεση διανυσμάτων, ο αντίθετος του $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$ είναι ο $-\mathbf {x} =(-x_{1},\ldots ,-x_{n})$, καθώς $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\mathbf {0}$.
• Πολλές αλγεβρικές δομές έχουν ως αξίωμα την ύπαρξη αντιστρόφου για κάθε στοιχείο του συνόλου τους. Τέτοιες αλγεβρικές δομές είναι για παράδειγμα, οι ομάδες, οι δακτύλιοι (στην πράξη της πρόσθεσης) και τα σώματα.

Δεξιός και αριστερός αντίστροφος

Έστω ένα σύνολο $S$ και μία δυαδική πράξη $\bullet :S\times S\to S$ με ουδέτερο στοιχείο $e\in S$. Ορίζονται οι πιο εξειδικευμένες έννοιες αντιστρόφων:

• Ένα στοιχείο $x_{R}\in S$ λέγεται δεξιός αντίστροφος του $x\in S$ όταν $x\bullet x_{R}=e$.
• Ένα στοιχείο $x_{L}\in S$ λέγεται αριστερός αντίστροφος του $x\in S$ όταν $x_{L}\bullet x=e$.

Ο αντίστροφος είναι και δεξιός και αριστερός αντίστροφος.

Παραδείγματα

• Όλα τα παραδείγματα αντιστρόφων παραπάνω είναι και παραδείγματα δεξιών και αριστερών αντιστρόφων.
• Οι επί συναρτήσεις έχουν αριστερό αντίστροφο ως προς την σύνθεση, αλλά όχι κατά ανάγκη δεξιό. Για παράδειγμα, η $f:\{1,2,3\}\to \{\alpha ,\beta \}$ που ορίζεται ως εξής:

$f(1)=\alpha ,f(2)=\beta ,f(3)=\beta$,

έχει δεξιό αντίστροφο την $g:\{\alpha ,\beta \}\to \{1,2,3\}$, που δίνεται από την

$g(\alpha )=1,g(\beta )=2$,

καθώς $f(g(\alpha ))=f(1)=\alpha ,f(g(\beta ))=f(2)=\beta$ και επομένως $f\circ g=\mathrm {id} _{\{\alpha ,\beta \}}$, όπου $\mathrm {id} _{\{\alpha ,\beta \}}$ η ταυτοτική συνάρτηση. Αλλά δεν έχει αριστερό αντίστροφο καθώς $f(2)=f(3)$.

Σε προσεταιριστική πράξη

Θεώρημα — Αν η πράξη $\bullet$ ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα, τότε αν για κάποιο στοιχείο $x$ υπάρχει δεξιός και ο αριστερός αντίστροφος, τότε είναι το ίδιο στοιχείο και είναι και μοναδικό.

Απόδειξη  

Έστω $x_{R}$ ο δεξιός και $x_{L}$ ο αριστερός αντίστροφος ενός στοιχείου $x$. Από τον ορισμό του δεξιού αντίστροφου για το $x_{R}$, έχουμε ότι

$x\bullet x_{R}=e$.

Πολλαπλασιάζοντας αριστερά και τα δύο μέλη με $x_{L}$, έχουμε ότι

$x_{L}\bullet (x\bullet x_{R})=x_{L}\bullet e$.

Από τον ορισμό του ουδέτερου στοιχείου $e$, έχουμε ότι

$x_{L}\bullet (x\bullet x_{R})=x_{L}$.

Από την προσεταιριστική ιδιότητα,

$(x_{L}\bullet x)\bullet x_{R}=x_{L}$.

Από την ιδιότητα του $x_{L}$ ως αριστερού αντιστρόφου,

$e\bullet x_{R}=x_{L}$.

Τέλος, από την ιδιότητα του ουδέτερου στοιχείου,

$x_{R}=x_{L}$,

και επομένως τα δύο στοιχεία είναι τα ίδια. Άρα υπάρχει αντίστροφος και αυτός είναι μοναδικός (καθώς κάθε αντίστροφος είναι και δεξιός/αριστερός αντίστροφος).

Δείτε επίσης

• Ομάδα
• Δακτύλιος (άλγεβρα)
• Αντίθετος αριθμός
• Πολλαπλασιαστικός αντίστροφος