Εξίσωση

Εξίσωση στα μαθηματικά ονομάζεται κάθε ισότητα που συνδέει γνωστές ποσότητες με άγνωστες, τις οποίες θέλουμε να προσδιορίσουμε. Η εξίσωση λοιπόν είναι μια μαθηματική δήλωση που βεβαιώνει την ισότητα των δύο εκφράσεων. Στη σύγχρονη σημειογραφία, αυτό γράφεται τοποθετώντας εκφράσεις και στις δύο πλευρές από το σύμβολο ίσον, για παράδειγμα

$x+3=5\,$ βεβαιώνει ότι $x+3$ είναι ίσο με το $5$. Το σύμβολο της ισότητας ($=$) επινοήθηκε από τον Ρόμπερτ Ρέκορντ (1512-1558), ο οποίος θεώρησε ότι τίποτα δεν μπορεί να είναι πιο ίσο από τις παράλληλες ευθείες γραμμές με το ίδιο μήκος.

Λύση μιας εξίσωσης με x αγνώστους είναι μία x-άδα (αριθμών, συναρτήσεων) που επαληθεύει την εξίσωση: αντικαθιστώντας τους άγνωστους στην εξίσωση με το αντίστοιχο στοιχείο της x-άδας, η ισότητα γίνεται αληθής. Μια εξίσωση που δεν έχει καμία λύση λέγεται αδύνατη. Μια εξίσωση που έχει για λύση κάθε δυνατή x-άδα (όλες δηλαδή) λέγεται ταυτότητα. Για παράδειγμα: 0x=0, όπου για κάθε τιμή του x η εξίσωση αληθεύει.

Ειδικές περιπτώσεις εξισώσεων είναι οι πολυωνυμικές εξισώσεις, οι διαφορικές εξισώσεις, οι εξισώσεις διαφορών.

Γνωστοί και άγνωστοι

Οι εξισώσεις συχνά εκφράζουν σχέσεις μεταξύ δοσμένων ποσοτήτων, τις γνωστές και τις ποσότητες που δεν έχουν προσδιοριστεί ακόμη, τις άγνωστες. Συνηθίζεται οι άγνωστοι δηλώνονται με γράμματα από το τέλος του αλφαβήτου, x,y,z,w,...(ή φ,χ,ψ,ω,...) και οι γνωστοί με γράμματα από την αρχή του αλφαβήτου a,b,c,d,...(ή α,β,γ,...). Ο άγνωστος για τον οποίο η εξίσωση είναι αληθής ονομάζεται λύση ή ρίζα (μαθηματικά) της εξίσωσης. Σε μια σειρά ταυτόχρονων εξισώσεων, ή σύστημα εξισώσεων, οι πολλαπλές εξισώσεις δίνονται με πολλαπλούς αγνώστους. Λύση του συστήματος είναι οι τιμές των αγνώστων που καθιστούν όλες τις εξισώσεις αληθείς.

Τύποι των εξισώσεων

Οι εξισώσεις μπορούν να ταξινομηθούν σε σχέση με το είδος των διαδικασιών που συμπεριλαμβάνονται και τις ποσότητες. Κάποιοι σημαντικοί τύποι είναι:

• Η αλγεβρική ή πολυωνυμική εξίσωση, η οποία είναι μια εξίσωση που περιέχει μόνο αλγεβρικές εκφράσεις στους αγνώστους. Αυτές έχουν περαιτέρω ταξινομηθεί ανάλογα με τον βαθμό τους.
• Η γραμμική εξίσωση, η οποία είναι αλγεβρική εξίσωση βαθμού ένα.
• Η παραμετρική εξίσωση, η οποία είναι μια εξίσωση της οποίας οι λύσεις εκφράζονται ως συναρτήσεις άλλων μεταβλητών που εμφανίζονται στην εξίσωση, που λέγονται παράμετροι.
• Η συναρτησιακή εξίσωση, η οποία είναι μια εξίσωση στην οποία οι άγνωστοι είναι συναρτήσεις
• Η διαφορική εξίσωση, η οποία είναι μια εξίσωση που περιλαμβάνει παραγώγους.
• Η ολοκληρωματική εξίσωση, η οποία είναι μια εξίσωση που περιλαμβάνει ολοκληρώματα.
• Η διοφαντική εξίσωση, η οποία είναι μια εξίσωση όπου οι άγνωστοι απαιτείται να είναι ακέραιοι.

Ταυτότητες

Μια χρήση των εξισώσεων είναι στις μαθηματικές ταυτότητες, των οποίων οι ισχυρισμοί είναι αληθείς ανεξάρτητα από την αξία των μεταβλητών που περιέχονται σε αυτές. Για παράδειγμα, για μια δεδομένη τιμή του x είναι αληθές ότι: $x(x-1)=x^{2}-x\,.$. Ωστόσο, οι εξισώσεις μπορούν επίσης να είναι σωστές μόνο για ορισμένες τιμές των μεταβλητών. Σ' αυτή την περίπτωση, μπορούν να λυθούν για να βρεθούν οι τιμές που ικανοποιούν την εξίσωση. Για παράδειγμα, θεωρείστε το εξής:

$x^{2}-x=0\,.$.

Η εξίσωση είναι αληθής μόνο για δύο τιμές του x, οι λύσεις της εξίσωσης. Σ' αυτή την περίπτωση, οι λύσεις είναι x=0 και x=1.

Πολλοί μαθηματικοί χρησιμοποιούν τον όρο εξίσωση αποκλειστικά για τον δεύτερο τύπο, για να υποδηλώσουν μια ισότητα η οποία δεν είναι μια ταυτότητα. Η διάκριση μεταξύ των δύο εννοιών μπορεί να είναι λεπτή. Για παράδειγμα: $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ είναι μια ταυτότητα, καθώς η

$(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$

είναι μια εξίσωση με λύσεις x=0 και x=1. Είτε μια δήλωση προορίζεται να είναι μια ταυτότητα είτε μια εξίσωση μπορεί συνήθως να προσδιοριστεί από το περιεχόμενό της. Σε μερικές περιπτώσεις, γίνεται μια διάκριση μεταξύ του συμβόλου της ισότητας (=) για μια εξίσωση και το σύμβολο για μια ταυτότητα. Γράμματα από την αρχή της αλφαβήτου όπως α, β, γ,..συχνά δηλώνουν σταθερές στο πλαίσιο της συζήτησης στο χέρι, ενώ τα γράμματα από το τέλος της αλφαβήτου, όπως χ, ψ,ζ που συνήθως κρατιούνται για τις μεταβλητές, μια σύμβαση που ξεκίνησε από τον Ρενέ Ντεκάρτ.

Ιδιότητες

Αν μια εξίσωση στην άλγεβρα είναι γνωστή να είναι αληθής οι ακόλουθες πράξεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να παράγουν μια άλλη αληθή εξίσωση:

1. Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να προστεθεί και στις δύο πλευρές.
2. Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να αφαιρείται από τις δύο πλευρές.
3. Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να πολλαπλασιάζεται και στις δύο πλευρές.
4. Κάθε μη μηδενικός πραγματικός αριθμός μπορεί να διαιρέσει και τις δύο πλευρές.
5. Κάποιες λειτουργίες μπορούν να εφαρμοστούν και στις δύο πλευρές. Πρέπει να δίνεται προσοχή για να επιβεβαιωθεί ότι η πράξη δεν προκαλεί ελλιπείς ή άσχετες λύσεις. Για παράδειγμα, η εξίσωση y*x=x έχει δύο λύσεις: y=1 και x=0. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με x απλοποιείται η εξίσωση σε y=1, αλλά χάνεται η δεύτερη λύση.

Οι αλγεβρικές ιδιότητες (1-4) υπονοούν ότι η ισότητα είναι μια σχέση συμβατότητας για ένα πεδίο, στην πραγματικότητα αυτή είναι ουσιαστικά η μόνη.

Το πιο γνωστό σύστημα αριθμών το οποίο επιτρέπει όλες αυτές τις διεργασίες είναι οι πραγματικοί αριθμοί, το οποίο είναι ένα παράδειγμα από ένα πεδίο. Ωστόσο, αν η εξίσωση βασιζόταν στους φυσικούς αριθμούς για παράδειγμα, μερικές από αυτές τις πράξεις (όπως η διαίρεση και η αφαίρεση) ίσως να μην είναι έγκυρη καθώς δεν επιτρέπονται αρνητικοί αριθμοί και μη ακέραιοι αριθμοί. Οι ακέραιοι είναι ένα παράδειγμα ενός αναπόσπαστου τομέα που δεν επιτρέπει διαιρέσεις καθώς χρειάζονται ξανά ακέραιοι αριθμοί. Ωστόσο, η αφαίρεση επιτρέπεται και είναι η αντίστροφη πράξη σ' αυτό το σύστημα.

Αν μια συνάρτηση δεν είναι αμφιμονότιμη εφαρμόζεται και στις δύο πλευρές από μια αληθής εξίσωση, τότε η προκύπτουσα εξίσωση θα είναι ακόμη αληθής, αλλά θα είναι λιγότερο χρήσιμη. Επομένως το ένα έχει επίπτωση, όχι μια ισοδυναμία, έτσι το σύνολο των λύσεων μπορεί να είναι μεγαλύτερο. Οι συναρτήσεις που παρουσιάζονται στις ιδιότητες (1), (2), και (4) είναι πάντα αμφιμονότιμες,όπως και η (3) αν δεν πολλαπλασιάζεται με το μηδέν. Μερικά γενικευμένα γινόμενα, όπως ένα τέλειο γινόμενο δεν είναι ποτέ αμφιμονότιμο.

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• Στεργίου, Μπάμπης (Οκτωβρίου 2014). «Εξισώσεις, Μέθοδοι - Σχόλια - Εφαρμογές». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (14): 1-14. http://ekthetis.gr/Ekthetis014.pdf. 
• Παλαιογιαννίδης, Δ.; Φαλαγκάρας, Α. (Ιανουάριος 2021). «Από τις συναρτήσεις στις εξισώσεις». Ευκλείδης Α΄ (119): 9-17. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_A_119_EYKLEIDHS_2021.pdf. 
• Θωμαΐδης, Γιάννης (Απριλίου 2012). «Ιστορικές, μαθηματικές και διδακτικές προεκτάσεις μιας άσκησης από την κλασική σχολική Άλγεβρα». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (11): 1-6. http://ekthetis.gr/Ekthetis011.pdf. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• North, Roger (Δεκεμβρίου 1962). «3041. On the real roots of an equation». The Mathematical Gazette 46 (358): 317–318. doi:10.2307/3611786. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1962-12_46_358/page/317. 
• Rumney, Max (Δεκεμβρίου 1953). «Equations in Polynomials». The Mathematical Gazette 37 (322): 261–264. doi:10.2307/3610039. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1953-12_37_322/page/261. 
• Goldenberg, H. (Σεπτεμβρίου 1954). «Complex Roots of a Transcendental Equation». The Mathematical Gazette 38 (325): 161–165. doi:10.2307/3609014. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1954-09_38_325/page/161. 
• Lewis, E. P. (Οκτωβρίου 1939). «Notes on the Theory of Equations». The Mathematical Gazette 23 (256): 376–379. doi:10.2307/3606167. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1939-10_23_256/page/376. 
• Clugnell, Norman J. (Μαρτίου 1908). «257. On the Graphical Solution of Equations». The Mathematical Gazette 4 (70): 232. doi:10.2307/3605152. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1908-03_4_70/page/232.