Χρήστης:VagelisCho/πρόχειρο

Στην γραμμική άλγεβρα, ένας ορθογώνιος πίνακας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με πραγματικά στοιχεία του οποίου οι γραμμές και οι στήλες είναι ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα (π.χ., ορθοκανονικά διανύσματα).

Ισοδύναμα, ένας πίνακας Q είναι ορθογώνιος εάν ο ανάστροφος του ισούται με τον αντίστοφο του:

$Q^{\mathrm {T} }=Q^{-1},\,$

το οποίο συνεπάγεται

$Q^{\mathrm {T} }Q=QQ^{\mathrm {T} }=I,\,$

όπου I ο μοναδιαίος πίνακας.

Ένας ορθογώνιος πίνακας Q είναι αναγκαστικά αντιστρέψιμος (με αντίστοφο Q⁻¹ = Q^T), ορθομοναδιαίος (Q⁻¹ = Q*), και κανονικός (Q*Q = QQ*). Η ορίζουσα κάθε ορθογώνιου πίνακα είναι είτε +1 ή −1. Ως ένας γραμμικός μετασχηματισμός, ένας ορθογώνιος πίνακας διατηρεί το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων, συνεπώς δρά ως μια ισομετρία του Ευκλείδειου χώρου, όπως η περιστροφή ή η ανάκλαση. Με άλλα λόγια είναι ένας ορθομοναδιαίος μετασχηματισμός.

Το σύνολο των n × n ορθογώνιων πινάκων σχηματίζει μία ομάδα O(n), γνωστή ως ορθογώνια ομάδα. Η υποομάδα SO(n) που αποτελείται απο ορθογώνιους πίνακες με ορίζουσα +1 καλείται ειδική ορθογώνια ομάδα, και κάθε στοιχείο της είναι ένας ειδικός ορθογώνιος πίνακας. Ως γραμμικός μετασχηματισμός, κάθε ειδικός ορθογώνιος πίνακας δρα σαν μια περιστροφή.

Γενικά

Ένας ορθογώνιος πίνακας είναι ειδική κατηγορία ενός ορθομοναδιαίου πίνακα και έτσι ειναι πάντα ένας κανονικός πινακας. Παρόλο που μελετάμε μόνο πίνακες με πραγματικά στοιχεία, ο ορισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για πίνακες με στοιχεία απο άλλα σώματα. Ωστόσο, οι ορθογώνιοι πίνακες προκύπτουν φυσικά από το εσωτερικό γινόμενο, και για τους πίνακες με μιγαδικούς αριθμούς οδηγούμαστε αντίθετα στην ορθομοναδιαία απαίτηση. Οι ορθογώνιοι πίνακες διατηρούν το εσωτερικό γινόμενο, οπότε, για τα διανύσματα u, v σε έναν n-διάστατο πραγματικό Ευκλείδειο χώρο ισχύει

${\mathbf {u} }\cdot {\mathbf {v} }=\left(Q{\mathbf {u} }\right)\cdot \left(Q{\mathbf {v} }\right)\,$

όπου Q είναι ένας ορθογώνιος πίνακας. Για να δούμε τη σχέση με το εσωτερικό γινόμενο, ας θεωρήσουμε το διάνυσμα v σε έναν n-διάστατο πραγματικό Ευκλείδειο χώρο. Σε σχέση με μιά ορθοκανονική βάση, το τετράγωνο του μήκους του v είναι v^Tv. Εάν ένας γραμμικός μετασχηματισμός, σε μορφή πίνακα Qv, διατηρεί το μήκος του διαστήματος, τότε

${\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }{\mathbf {v} }=(Q{\mathbf {v} })^{\mathrm {T} }(Q{\mathbf {v} })={\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }Q^{\mathrm {T} }Q{\mathbf {v} }.$

Έτσι πεπερασμένης διάστασης γραμμικές ισομετρίες—περιστροφές, ανακλάσεις, και οι συνδυασμοί αυτών— παράγουν ορθογώνιους πίνακες. Το αντίστροφο ειναι επίσης αληθές: ορθογώνιοι πίνακες συνεπάγονται ορθογώνιους μετασχηματισμούς. Ωστόσο η γραμμική άλγεβρα περιλαμβάνει ορθογώνιους μετασχηματισμούς μεταξύ χώρων οι οποίοι μπορεί να μην είναι ούτε πεπερασμένης διάστασης ούτε της ίδιας διάστασης, αυτοί δεν εχουν ισοδύναμο ορθογώνιο πίνακα.

Οι ορθογώνιοι πίνακες είναι σημαντικοί για αρκτετούς λόγους, τόσο θεωρητικούς όσο και πρακτικούς. Οι n×n ορθογώνιοι πίνακες σχηματίζουν μία ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό πινάκων, την ορθογώνια ομάδα που συμβολίζεται ως O(n), η οποία—μαζί με τις υποομάδες της— χρησιμοποιείται ευρέως στα μαθηματικά και τις φυσικές επιστήμες.

Παραδείγματα

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα ορθογώνιων πινάκων μικρής διάστασης και η πιθανή ερμηνεία τους.

• ${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad (\tau \alpha \upsilon \tau {\mbox{o}}\tau \iota \kappa {\mbox{o}}\varsigma \ \mu \epsilon \tau \alpha \sigma \chi \eta \mu \alpha \tau \iota \sigma \mu {\mbox{o}}\varsigma )$

Ένα παράδειγμα 2×2 πίνακα περιστροφής:

• $R(16.26^{\circ })={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.96&-0.28\\0.28&\;\;\,0.96\\\end{bmatrix}}\qquad (\pi \epsilon \rho \iota \sigma \tau \rho {\mbox{o}}\phi \eta \ \kappa \alpha \tau \alpha \ 16.26^{\circ })$

• ${\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}\qquad (\alpha \nu \alpha \kappa \lambda \alpha \sigma \eta \ \omega \varsigma \ \pi \rho {\mbox{o}}\varsigma \ \tau {\mbox{o}}\nu \ \alpha \xi {\mbox{o}}\nu \alpha \ \operatorname {} x)$

• ${\begin{bmatrix}0&-0.80&-0.60\\0.80&-0.36&\;\;\,0.48\\0.60&\;\;\,0.48&-0.64\end{bmatrix}}\qquad \left({\begin{aligned}&\sigma \tau \rho {\mbox{o}}\phi {\mbox{o}}\kappa \alpha \tau {\mbox{o}}\pi \tau \rho \iota \sigma \mu {\mbox{o}}\varsigma :\ \\&\alpha \xi {\mbox{o}}\nu \alpha \varsigma \ (0,-3/5,4/5),\gamma \omega \nu \iota \alpha \ 90^{\circ }\end{aligned}}\right)$

• ${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}\qquad (\pi \iota \nu \alpha \kappa \alpha \varsigma \ \mu \epsilon \tau \alpha \theta \epsilon \sigma \eta \varsigma \ )$

Στοιχειώδεις κατασκευές

Πίνακες με μικρή διάσταση

Οι απλούστεροι ορθογώνιοι πίνακες είναι οι 1×1 πίνακες [1] και [−1] τους οποίους μπορούμε να ερμηνεύσουμε ως ταυτότητα και ανάκλαση της γραμμής των πραγματικών αριθμών από την αρχή της.

Οι 2×2 πίνακες έχουν τη μορφή:

${\begin{bmatrix}p&t\\q&u\end{bmatrix}},$

και επειδή ειναι ορθογώνιοι ικανοποιούν τις τρεις εξισώσεις

${\begin{aligned}1&=p^{2}+t^{2},\\1&=q^{2}+u^{2},\\0&=pq+tu.\end{aligned}}$

Εξετάζοντας την πρώτη εξίσωση, χωρίς βλάβη της γενικότητας ας είναι p = cos θ, q = sin θ τότε είτε t = −q, u = p ή t = q, u = −p. Μπορούμε να ερμηνεύσουμε την πρώτη περίπτωση ως περιστροφή κατά γωνία θ (οπου θ = 0 είναι η ταυτότητα), και τη δεύτερη σαν μία ανάκλαση ως προς μία γραμμή με γωνία θ/2.

${\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}(\pi \epsilon \rho \iota \sigma \tau \rho {\mbox{o}}\phi \eta \ )\qquad {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \\\end{bmatrix}}(\alpha \nu \alpha \kappa \lambda \alpha \sigma \eta \ )$

Στην ειδική περίπτωση που στον πίνακα ανάκλασης θέσουμε θ=90° έχουμε ανάκλαση κατα 45° της ευθείας y=x και ως εκ τούτου το x ανταλλάσεται με το y· έτσι προκύπτει ένας μεταθετικός πίνακας, με ενα 1 σε κάθε στήλη και γραμμή (και αλλού 0):

${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}.$

Η ταυτότητα είναι επίσης μεταθετικός πίνακας.

Μία ανάκλαση ειναι ίση με τον αντιστοφό της, αυτό συνεπάγεται ότι ενας πίνακας ανάκλασης είναι συμμετρικός (ισούται με τον αναστροφό του) καθώς και ορθογώνιος. Το γινόμενο δύο πινάκων περιστροφής είναι πίνακας περιστροφής, και το γινόμενο δύο πινάκων αναστροφής είναι πίνακας αναστροφής.

Πίνακες με μεγάλη διάσταση

Ασχέτως διάστασης, πάντα είναι δυνατό να κατατάξεις τους ορθογώνιους πίνακες ως καθαρώς περιστροφικούς ή όχι, αλλά για 3×3 πίνακες και μεγαλύτερους οι μη-περιστροφικοί πίνακες μπορεί να είναι πιο περίπλοκοι από τους πίνακες ανάκλασης. Για παράδειγμα,

${\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}\kappa \alpha \iota {\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$

παριστάνουν μία αναστροφή ως προς την αρχή των αξόνων και ένα στροφοκατοπτρισμό γύρω από τον άξονα z.

Επισης,οι περιστροφές γίνονται πιο περίπλοκες· δε μπορούν πλέον να χαρακτηριστούν πλήρως από μία γωνία, και μπορούν να επηρεάσουν περισσότερους απο έναν επίπεδους υποχώρους. Ενώ είναι σύνηθες να περιγράφουμε ένα 3×3 πίνακα περιστροφής με βάση έναν άξονα και μία γωνία, η ύπαρξη του άξονα είναι μια τυχαία ιδιότητα αυτής της διάστασης και δεν ισχύει γενικά.

Πρωταρχικοί πίνακες

Η πιο στοιχειώδης μετάθεση είναι η μεταφορά, προκύπτει από τον μοναδιαίο πίνακα με την ανταλλαγή δύο γραμμών. Καθε n×n μεταθετικός πίνακας μπορεί να κατασκευαστεί ως γινόμενο το πολύ n − 1 μεταφορών.

Μια ανάκλαση Χαουζχόλντερ κατασκευάζεται από ένα μη-μηδενικό διάνυσμα v ως

$Q=I-2{{\mathbf {v} }{\mathbf {v} }^{\mathrm {T} } \over {\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }{\mathbf {v} }}.$

Εδώ ο αριθμητής είναι ένας συμμετρικός πίνακας ενώ ο παρονομαστής είναι ένας αριθμός, η τιμή του v στο τετράγωνο. Αυτό είναι μια ανάκλαση στο κάθετο υπερεπίπεδο στο v (κάνοντας αρνητικό κάθε διάνυσμα παράλληλο στο v). Αν το v είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα, τότε Q = I − 2vv^T. Μια ανάκλαση Χαουζχόλντερ χρησιμοποιείται συνήθως στον ταυτόχρονο μηδενισμό των στοιχείων στο κατώτερο μέρος μιας στήλης, Καθε ορθογώνιος πίνακας μεγέθους n×n μπορεί να κατασκευαστεί ως γινόμενο το πολύ n τέτοιων ανακλάσεων.

Μια περιστροφή Γκίβενς δρα σε ένα δισδιάστατο (επίπεδο) υποχώρο που παράγεται από δύο άξονες συντεταγμένων, περιστεφόμενο κατά επιλεγμένης γωνίας. Συνήθως χρησιμοποιείται για το μηδενισμό ενός υποδιαγώνιου στοιχείου. Κάθε πίνακας πειστροφής μεγέθους n×n μπορεί να κατασκευαστεί ως γινόμενο το πολύ n(n − 1)/2 τέτοιων περιστροφών. Στην περίπτωση των 3×3 πινάκων, τρεις τέτοιες περιστροφές επαρκούν· και με τον καθορισμό της ακολουθίας μπορούμε να περιγράψουμε συνεπώς όλους τους 3×3 πίνακες περιστροφής (αν και όχι μοναδικά) ως προς τις τρεις γωνίες που χρησιμοποιήθηκαν, συχνά γνωστές ως γωνίες Όιλερ.

Μια περιστροφή Τζάκομπι έχει την ίδια μορφή με μια περιστροφή Γκίβενς, μόνο που χρησιμοποιείται για να μηδενιστουν και τα δύο μη-διαγώνια στοιχεία ενός 2×2 συμμετρικού υποπίνακα.

Ιδιότητες

Ιδιότητες πινάκων

Ένας τετραγωνικός πίνακας με πραγματικά στοιχεία είναι ορθογώνιος αν και μόνο αν οι στήλες του αποτελούν μία ορθοκανονική βάση του Ευκλείδειου χώρου Rⁿ με το σύνηθες Ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο, το οποίο ισχύει αν και μόνο αν οι γραμμές του αποτελούν μία ορθοκανονική βάση στον Rⁿ. Μπορεί να είναι δελεαστικό να υποθέσουμε ότι ένας πίνακας με ορθογώνιες (όχι ορθοκανονικές) στήλες θα ονομάζεται ορθογώνιος πίνακας, αλλά τέτοιοι πίνακες δεν έχουν κανένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον και καμία ειδική ονομασία· ικανοποιούν μόνο M^TM = D, όπου D ένας διαγώνιος πίνακας.

Η ορίζουσα οποιουδήποτε ορθογώνιου πίνακα είναι +1 ή −1. Αυτό προκύπτει από τις βασικές ιδιότητες των οριζουσών, ως εξής:

$1=\det(I)=\det(Q^{\mathrm {T} }Q)=\det(Q^{\mathrm {T} })\det(Q)=(\det(Q))^{2}\,\!.$

Το αντίστροφο δεν ισχύει· το να είναι μία ορίζουσα ίση με +1 δεν αποτελεί εγγύηση ορθογωνιότητα, ακόμη και με ορθογώνιες στήλες, όπως φαίνεται από το ακόλουθο αντιπαράδειγμα.

${\begin{bmatrix}2&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$

Στους μεταθετικούς πίνακες η ορίζουσα αντιστοιχεί στο πρόσημο της μετάθεσης, που είναι +1 ή -1.

Ισχυρότερο από τον κανόνα της ορίζουσας είναι το γεγονός ότι ένας ορθογώνιος πίνακας μπορεί να διαγωνιοποιείται πάνω από τους μιγαδικούς αριθμούς παρουσιάζοντας ένα πλήρες σύνολο ιδιοτιμών, οι οποίες πρέπει να έχουν (οι μιγαδικοί) απόλυτη τιμή 1.

Ιδιότητες Ομάδων

Ο αντίστροφος κάθε ορθογωνίου πίνακα είναι ορθογώνιος, όπως και το γινόμενο δύο ορθογώνιων πινάκων. Μάλιστα, το σύνολο όλων των n×n ορθογώνιων πινάκων ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες της ομάδας. Είναι μια συμπαγής ομάδα Lie διάστασης n(n − 1)/2, που ονομάζεται ορθογώνια ομάδα και συμβολίζεται με O(n).

Οι ορθογώνιοι πίνακες των οποίων η ορίζουσα είναι +1 σχηματίζουν μία κατά τόξο συνεκτική κανονική υποομάδα του O(n) με δείκτη 2, την ειδική ορθογώνια ομάδα SO(n) των περιστροφών. Η ομάδα πηλίκο O(n)/SO(n) είναι ισόμορφη με την O(1), με την προβολή της να παίρνει τιμές [+1] ή [−1] ανάλογα με την ορίζουσα. Ορθογώνιοι πίνακες με ορίζουσα -1 δεν περιλαμβάνουν την ταυτότητα, και έτσι δεν σχηματίζουν υποομάδα, αλλά μόνο ένα σύμπλοκο· είναι επίσης (χωριστά) συνεκτικό. Έτσι, κάθε ορθογώνια ομάδα χωρίζεται σε δύο κομμάτια· και επειδή η προβολή διασπάται η O(n) είναι το ημιευθύ γινόμενο της SO(n) επί O(1). Σε πρακτικούς όρους, μια παρόμοια κατάσταση είναι ότι κάθε ορθογώνιος πίνακας μπορεί να παραχθεί παίρνοντας ένα πίνακα περιστροφής και, ενδεχομένως, κάνοντας αρνητική μία από τις στήλες του, όπως είδαμε με τους 2×2 πίνακες. Εάν n είναι περιττός, τότε το ημιευθύ γινόμενο είναι στην πραγματικότητα ένα ευθύ γινόμενο, και κάθε ορθογώνιος πίνακας μπορεί να παραχθεί παίρνοντας έναν ανάστροφο πίνακα και, ενδεχομένως, κάνοντας αρνητικές όλες τις στήλες του. Αυτό προκύπτει από την ιδιότητα των οριζουσών ότι δηλαδή κάνοντας αρνητική μια στήλη κάνει αρνητική την ορίζουσα, και έτσι κάνοντας περιττό πλήθος στηλών (αλλά όχι άρτιο) αρνητικές κάνει την ορίζουσα αρνητική.

Θεωρήστε τώρα (n+1)×(n+1) ορθογώνιους πίνακες με το κάτω δεξιά στοιχειο τους ίσο με 1. Το υπόλοιπο της τελευταιας στήλης (και τελευταίας γραμμής) πρέπει να έχει μηδενικά, και το γινόμενο δυο τέτοιων πινάκων έχει την ίδια μορφή. Το υπόλοιπο του πίνακα είναι ένας n×n ορθογώνιος πίνακας· έτσι η O(n) είναι υποομάδα της O(n + 1) (και ολων των μεγαλήτερων ομάδων).

${\begin{bmatrix}&&&0\\&O(n)&&\vdots \\&&&0\\0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}$

Αφού μια στοιχειώδης ανάκλαση υπό τη μορφή ενός πίνακα Χαουζχόλντερ μπορεί να μετατρέψει κάθε ορθογώνιο πίνακα σε αυτή την περιορισμένη μορφή, μια σειρά από τέτοιες ανακλάσεις μπορεί να φέρει οποιαδήποτε ορθογώνιο πίνακα στον ταυτοτικό· έτσι μια ορθογώνια ομάδα είναι ομάδα ανακλάσεων. Η τελευταία στήλη μπορεί να μετατραπεί σε οποιοδήποτε μοναδιαίο διάνυσμα, και κάθε επιλογή δίνει ένα διαφορετικό αντίγραφο της O(n) στη O(n+1)· με τον τρόπο αυτό η O(n+1) είναι μια δέσμη πάνω από την σφαίρα Sⁿ με ίνα O(n).

Παρομοίως, η SO(n) είναι μια υποομάδα της SO(n+1)· και κάθε ειδικός ορθογώνιος πίνακας μπορεί να παραχθεί από περιστροφές επιπέδου Γκίβενς χρησιμοποιώντας μία ανάλογη διαδικασία. Η δομή της δέσμης εξακολουθεί να υφίσταται: SO(n) ↪ SO(n+1) → Sⁿ. Μία μόνο περιστροφή μπορεί να παράγει ένα μηδενικό στοιχείο στην πρώτη γραμμή της τελευταίας στήλης, και η σειρά των n−1 περιστροφών θα μηδενίσει όλα τα στοχεία εκτός από την τελευταία σειρά της τελευταίας στήλης του n×n πίνακα περιστροφής. Δεδομένου ότι τα επίπεδα είναι καθορισμένα , κάθε περιστροφή έχει μόνο ένα βαθμό ελευθερίας, τη γωνία της. Με επαγωγή, η SO(n) έχει επομένως

$(n-1)+(n-2)+\cdots +1=n(n-1)/2$

βαθμούς ελευθερίας, και τους ίδιους έχει η O(n).

Οι μεταθετικοί πίνακες είναι ακόμα πιο απλοί· δεν σχηματίζουν μια ομάδα Lie, αλλά μόνο μια πεπερασμένη ομάδα με τάξη n!, τη συμμετρική ομάδα S_n. Με το ίδιο επιχείρημα, η S_n είναι μια υποομάδα της S_n+1. Οι άρτιες μεταθέσεις παράγουν την υποομάδα των μεταθετικών πινάκων με ορίζουσα +1 με τάξη n!/2, την εναλλασσόμενη ομάδα.

Κανονική Μορφή

Γενικότερα, η επίδραση οποιουδήποτε ορθογώνιου πίνακα διαχωρίζεται σε ανεξάρτητες δράσεις σε ορθογώνιους διδιάστατους υποχώρους. Δηλαδή, αν Q είναι ειδικός ορθογώνιος ότε μπορεί κανείς να βρει πάντα ένα ορθογώνιο πίνακα P, μια (περιστροφική) αλλαγή βάσης που φέρνει τον Q σε μπλοκ διαγώνια μορφή:

$P^{T}QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{bmatrix}}\ (n\ \alpha \rho \tau \iota {\mbox{o}}\varsigma \ ),\ P^{T}QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&&\\&\ddots &&\\&&R_{k}&\\&&&1\end{bmatrix}}\ (n\ \pi \epsilon \rho \iota \tau \tau {\mbox{o}}\varsigma \ ).$

όπου οι πίνακες R₁,...,R_k είναι 2×2 πίνακες περιστροφής, και με τα υπόλοιπα στοιχεία μηδέν. Κατ 'εξαίρεση ένα μπλοκ περιστροφής μπορεί να είναι διαγώνιο, ±I. Έτσι, κάνοντας μία στήλη αρνητική, εάν είναι αναγκαίο, και γνωρίζοντας ότι μία ανάκλαση διαγωνοποιέιται σε +1 και -1, κάθε πίνακας μπορεί να προσαχθεί στη μορφή

$P^{T}QP={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}},$

Οι πίνακες R₁,...,R_k δίνουν διατεταγμένα ζεύγη ιδιοτιμών που βρίσκονται επί του μοναδιαίου κύκλου στο μιγαδικό επίπεδο· έτσι αυτή η ανάλυση επιβεβαιώνει ότι όλες οι ιδιοτιμές έχουν απόλυτη τιμή 1. Εάν n είναι περιττός, υπάρχει τουλάχιστον μία πραγματική ιδιοτιμή, 1 ή -1· για μια 3×3 περιστροφή, το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στο +1 είναι ο άξονας περιστροφής.

Αναφορές

• Diaconis, Persi; Shahshahani, Mehrdad (1987), «The subgroup algorithm for generating uniform random variables», Prob. In Eng. And Info. Sci. 1: 15–32, doi:10.1017/S0269964800000255, ISSN 0269-9648 
• Dubrulle, Augustin A. (1999), «An Optimum Iteration for the Matrix Polar Decomposition», Elect. Trans. Num. Anal. 8: 21–25, http://etna.mcs.kent.edu/ 
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3/e έκδοση), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9 
• Higham, Nicholas (1986), «Computing the Polar Decomposition—with Applications», SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing 7 (4): 1160–1174, doi:10.1137/0907079, ISSN 0196-5204, http://locus.siam.org/SISC/volume-07/art_0907079.html 
• Higham, Nicholas; Schreiber, Robert (July 1990), «Fast polar decomposition of an arbitrary matrix», SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing 11 (4): 648–655, doi:10.1137/0911038, ISSN 0196-5204, http://locus.siam.org/SISC/volume-11/art_0911038.html  [1]
• Stewart, G. W. (1976), «The Economical Storage of Plane Rotations», Numerische Mathematik 25 (2): 137–138, doi:10.1007/BF01462266, ISSN 0029-599X 
• Stewart, G. W. (1980), «The Efficient Generation of Random Orthogonal Matrices with an Application to Condition Estimators», SIAM J. Numer. Anal. 17 (3): 403–409, doi:10.1137/0717034, ISSN 0036-1429 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Orthogonal matrix», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/o070320 
• Tutorial and Interactive Program on Orthogonal Matrix

Κατηγορία:Μαθηματικά