Συγκλίνουσα σειρά

Στα μαθηματικά, μια σειρά είναι το άθροισμα των όρων μιας άπειρης ακολουθίας αριθμών. Πιο συγκεκριμένα, μια άπειρη ακολουθία $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ ορίζει μια σειρά S που συμβολίζεται ως:

$S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.$

Το n-οστό μερικό άθροισμα S_n είναι το άθροισμα των πρώτων n όρων της ακολουθίας, δηλαδή:

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$

Μια σειρά είναι συγκλίνουσα (ή συγκλίνει) αν και μόνο αν η ακολουθία $(S_{1},S_{2},S_{3},\dots )$ των μερικών αθροισμάτων τείνει σε ένα όριο. Αυτό σημαίνει ότι κάθε φορά που προσθέτουμε έναν όρο $a_{k}$ με τη σειρά που δίνουν οι δείκτες, παίρνουμε μερικά αθροίσματα που πλησιάζουν όλο και περισσότερο σε έναν δεδομένο αριθμό. Πιο συγκεκριμένα, μια σειρά συγκλίνει, αν και μόνο αν υπάρχει αριθμός $\ell$ τέτοιος ώστε για κάθε αυθαίρετα μικρό θετικό αριθμό $\varepsilon$, υπάρχει ένας (αρκετά μεγάλος) ακέραιος αριθμός $N$ τέτοιος ώστε για κάθε $n\geq N$,

$\left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon .$

Εάν η σειρά είναι συγκλίνουσα, ο αριθμός $\ell$ ονομάζεται άθροισμα της σειράς.

Η ίδια σημειογραφία

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$

χρησιμοποιείται για τη σειρά και, αν είναι συγκλίνουσα, για το άθροισμά της. Αυτή η σύμβαση είναι παρόμοια με αυτή που χρησιμοποιείται για την πρόσθεση: το a + b δηλώνει την πράξη της πρόσθεσης a και b καθώς και το αποτέλεσμα αυτής της πρόσθεσης, που ονομάζεται άθροισμα των a και b.

Κάθε σειρά που δεν είναι συγκλίνουσα λέμε ότι είναι αποκλίνουσα ή ότι αποκλίνει.

Παραδείγματα σειρών που συγκλίνουν και αποκλίνουν

• Το άθροισμα των αντίστροφων θετικών ακεραίων είναι μια αποκλίνουσα σειρά (η αρμονική σειρά):

  ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .$

• Η εναλλαγή των προσήμων των αντίστροφων θετικών ακεραίων είναι μια συγκλίνουσα σειρά (η εναλλασσόμενη αρμονική σειρά):

  ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)$

• Το άθροισμα των αντίστροφων πρώτων αριθμών είναι μια αποκλίνουσα σειρά:

  ${1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .$

• Το άθροισμα των αντίστροφων τριγωνικών αριθμών είναι μια συγκλίνουσα σειρά:

  ${1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.$

• Το άθροισμα των αντίστροφων παραγοντικών είναι μια συγκλίνουσα σειρά (βλέπε e):

  ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =e.$

• Το άθροισμα των αντίστροφων τετραγωνικών αριθμών είναι μια συγκλίνουσα σειρά (το πρόβλημα της Βασιλείας):

  ${1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.$

• Το άθροισμα των αντίστροφων δυνάμεων του 2 είναι μια συγκλίνουσα σειρά:

  ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.$

• Το άθροισμα των αντίστροφων δυνάμεων του n, για κάθε n>1, είναι μια συγκλίνουσα σειρά:

  ${1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}+{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n-1}.$

• Η εναλλαγή των προσήμων των αντίστροφων δυνάμεων του 2 είναι μια συγκλίνουσα σειρά:

  ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}.$

• Η εναλλαγή των προσήμων των αντίστροφων δυνάμεων του n, για κάθε n>1, είναι μια συγκλίνουσα σειρά:

  ${1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^{2}}-{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}-{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n+1}.$

• Το άθροισμα των αντίστροφων αριθμών Φιμπονάτσι είναι μια συγκλίνουσα σειρά:

  ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .$

Κριτήρια σύγκλισης

Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για να προσδιοριστεί εάν μια σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει:

Αν η μπλε σειρά $\Sigma b_{n}$ συγκλίνει, τότε και η σειρά $\Sigma a_{n}$ συγκλίνει. Αντίθετα, αν η κόκκινη σειρά $\Sigma a_{n}$ αποκλίνει, τότε και η σειρά $\Sigma b_{n}$ αποκλίνει.

Κριτήριο σύγκρισης. Οι όροι της ακολουθίας $\left\{a_{n}\right\}$ συγκρίνονται με τους όρους μιας άλλης ακολουθίας $\left\{b_{n}\right\}$. Αν, για κάθε n, $0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}$ και η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ συγκλίνει, τότε και η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ συγκλίνει.

Ωστόσο, εάν, για κάθε n, $0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}$ και η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ αποκλίνει, τότε και η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ αποκλίνει.

Κριτήριο λόγου. Ας υποθέσουμε ότι για κάθε n, ο όρος $a_{n}$ δεν είναι μηδέν. Έστω ότι υπάρχει $r$ τέτοιο ώστε

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$

Αν r < 1, τότε η σειρά συγκλίνει απολύτως. Αν r > 1, τότε η σειρά αποκλίνει. Αν r = 1, το κριτήριο λόγου δεν μπορεί να αποφανθεί και η σειρά μπορεί να συγκλίνει ή να αποκλίνει.

Κριτήριο ρίζας. Ας υποθέσουμε ότι οι όροι της εν λόγω ακολουθίας είναι μη αρνητικοί. Ορίζουμε έναν αριθμό r ως εξής:

$r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

όπου "lim sup" δηλώνει το όριο του ελάχιστου άνω φράγματος (μπορεί να είναι και ∞. Αν υπάρχει το όριο, είναι η ίδια τιμή).

Αν r < 1, τότε η σειρά συγκλίνει απολύτως. Αν r > 1, τότε η σειρά αποκλίνει. Αν r = 1, το κριτήριο ρίζας δεν μπορεί να αποφανθεί και η σειρά μπορεί να συγκλίνει ή να αποκλίνει.

Το κριτήριο λόγου και το κριτήριο ρίζας βασίζονται και τα δύο στη σύγκριση με μια γεωμετρική σειρά και ως εκ τούτου λειτουργούν σε παρόμοιες καταστάσεις. Στην πραγματικότητα, εάν το κριτήριο λόγου λειτουργεί (που σημαίνει ότι το όριο υπάρχει και δεν είναι ίσο με 1), τότε λειτουργεί και το κριτήριο ρίζας. Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει. Το κριτήριο ρίζας είναι επομένως πιο χρήσιμο, αλλά ως πρακτικό ζήτημα το όριο είναι συχνά δύσκολο να υπολογιστεί για ορισμένους τύπους σειρών.

Κριτήριο ολοκληρώματος. Η σειρά μπορεί να συγκριθεί με ένα ολοκλήρωμα για να καθορίσουμε αν συγκλίνει ή αποκλίνει. Έστω $f(n)=a_{n}$ μια μη-αρνητική και μονότονα φθίνουσα συνάρτηση. Αν

$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,$

τότε η σειρά συγκλίνει. Αλλά αν το ολοκλήρωμα αποκλίνει, τότε και η σειρά αποκλίνει.

Κριτήριο οριακής σύγκρισης. Αν $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0$ και το όριο $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ υπάρχει και δεν είναι μηδέν, τότε η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ συγκλίνει.

Κριτήριο εναλλασσόμενης σειράς. Γνωστό και ως κριτήριο Λάιμπνιτς, το κριτήριο εναλλασσόμενης σειράς δηλώνει ότι για μια εναλλασσόμενη σειρά της μορφής ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}}$, αν η $\left\{a_{n}\right\}$ είναι μονότονα φθίνουσα και έχει όριο το 0 όσο το n τείνει στο άπειρο, τότε η σειρά συγκλίνει.

Κριτήριο συμπύκνωσης του Κωσύ. Αν $\left\{a_{n}\right\}$ είναι μια θετική μονότονη φθίνουσα ακολουθία, τότε η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}}$ συγκλίνει.

Κριτήριο του Ντίριχλετ

Κριτήριο του Άμπελ

Υπό συνθήκη και απόλυτη σύγκλιση

Για κάθε σειρά $\left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}$, $a_{n}\leq \left|a_{n}\right|$ για κάθε n. Επομένως,

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\leq \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|.$

Αυτό σημαίνει ότι αν η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ συγκλίνει, τότε και η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ συγκλίνει (αλλά όχι το αντίστροφο).

Αν η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ συγκλίνει, τότε η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ είναι απολύτως συγκλίνουσα. Η σειρά Μακλόριν της εκθετικής συνάρτησης είναι απολύτως συγκλίνουσα για κάθε μιγαδική τιμή της μεταβλητής.

Αν η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ συγκλίνει αλλά η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ αποκλίνει, τότε η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ συγκλίνει υπό συνθήκη (λέγεται και μερική σύγκλιση). Η σειρά Μακλόριν της λογαριθμικής συνάρτησης $\ln(1+x)$ συγκλίνει υπό συνθήκη για x = 1.

Το θεώρημα αναδιάταξης του Ρίμαν δηλώνει ότι εάν μια σειρά συγκλίνει υπό συνθήκη, μπορούμε να αναδιατάξουμε τους όρους της σειράς με τέτοιο τρόπο ώστε η σειρά να συγκλίνει σε οποιαδήποτε τιμή ή ακόμη και να αποκλίνει.

Ομοιόμορφη σύγκλιση

Έστω $\left\{f_{1},\ f_{2},\ f_{3},\dots \right\}$ μια ακολουθία συναρτήσεων. Λέμε ότι η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην f, αν η ακολουθία $\{s_{n}\}$ των μερικών αθροισμάτων που ορίζονται ως

$s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)$

συγκλίνει ομοιόμορφα στην f.

Κριτήριο σύγκλισης Κωσύ

Το κριτήριο σύγκλισης Κωσύ δηλώνει ότι μια σειρά

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

συγκλίνει αν και μόνο αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων είναι ακολουθία Κωσύ. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε $\varepsilon >0,$ υπάρχει ένας θετικός ακέραιος αριθμός $N$ τέτοιος ώστε για κάθε $n\geq m\geq N$ να ισχύει

$\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon .$

Αυτό ισοδυναμεί με το ακόλουθο:

$\lim _{m\to \infty }\left(\sup _{n>m}\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|\right)=0.$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Series», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/s084670 
• Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. Retrieved May 16, 2005.