Τρίγωνος αριθμός

οι πρώτοι έξι τρίγωνοι αριθμοί.

Οι τρίγωνοι αριθμοί $T_{n}$ συναρτήσει του $n$.

Στα μαθηματικά, τρίγωνος αριθμός (ή τριγωνικός αριθμός) είναι ένας φυσικός αριθμός $T_{n}$ που είναι το άθροισμα των $n$ πρώτων φυσικών αριθμών, δηλαδή

$T_{n}=1+2+3+\ldots +n=\sum _{i=1}^{n}i$.

Έπεται ότι $T_{1}=1$, $T_{2}=3$, $T_{3}=6$, $T_{4}=10$, $\ldots$. Κάποιες φορές ορίζεται και $T_{0}=0$.

Οι αριθμοί λέγονται τρίγωνοι καθώς μετράνε του το πλήθος των κουκκίδων που χρειάζονται για να σχηματιστεί ένα ισόπλευρο τρίγωνο που έχει $n$ κουκκίδες σε κάθε πλευρά.

Στην καθημερινή μας ζωή, τους τρίγωνους αριθμούς τους συναντάμε, στο πλήθος των τσουγκρισμάτων που θα ακουστούν σε μια παρέα, όταν τσουγκρίζουν όλοι με όλους τα ποτήρια τους, από μια φορά. Αυτό συμβαίνει επειδή το κάθε τσούγκρισμα γίνεται μεταξύ 2 ατόμων. Γι'αυτό είναι ίσος και με τον διωνυμικό συντελεστή $n+1$ ανά δύο:

$T_{n}={\binom {n+1}{2}}={\frac {1}{2}}n\cdot (n+1)$.

Παραδείγματα

Οι πρώτοι 100 όροι της ακολουθίας των τρίγωνων αριθμών είναι οι εξής

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1830, 1891, 1953, 2016, 2080, 2145, 2211, 2278, 2346, 2415, 2485, 2556, 2628, 2701, 2775, 2850, 2926, 3003, 3081, 3160, 3240, 3321, 3403, 3486, 3570, 3655, 3741, 3828, 3916, 4005, 4095, 4186, 4278, 4371, 4465, 4560, 4656, 4753, 4851, 4950, 5050...

(ακολουθία A000217 στην OEIS)

Ιδιότητες

Παρακάτω δίνονται οι βασικές ιδιότητες των τρίγωνων αριθμών:

• (Γενικός τύπος)

${\textstyle T_{n}={\frac {1}{2}}n\cdot (n+1)}$.

Απόδειξη  

Ξεκινάμε με την παρατήρηση ότι το $T_{n}$ είναι το άθροισμα των $n$ όρων της αριθμητικής προόδου $(\alpha _{k})_{k=1}^{n}$ με αρχικό όρο $\alpha _{1}=1$ και διαφορά $\omega =1$. Επομένως,

$T_{n}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}={\frac {n}{2}}\cdot (\alpha _{1}+\alpha _{n})={\frac {n}{2}}\cdot (1+n)$,

που δίνει το ζητούμενο.

• (Αναδρομικός τύπος)

$T_{n}=T_{n-1}+n$ για κάθε $n\geq 2$.

Απόδειξη  

Από τις ιδιότητες του αθροίσματος έχουμε ότι

$\sum _{i=1}^{n}i=\sum _{i=1}^{n-1}i+n=T_{n-1}+n$.

• Για κάθε $n,m\geq 1$, ισχύει ότι

$T_{n+m}=T_{n}+T_{m}+nm$.

Απόδειξη  

Χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο και την ταυτότητα για το τετράγωνο του αθροίσματος $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$, έχουμε ότι

${\begin{aligned}&T_{n}+T_{m}+nm\\&\quad {\frac {1}{2}}n\cdot (n+1)+{\frac {1}{2}}m\cdot (m+1)+nm\\&\quad ={\frac {1}{2}}\cdot (n^{2}+n+m^{2}+m+2nm)\\&\quad ={\frac {1}{2}}\cdot ((n^{2}+2nm+m^{2})+n+m)\\&\quad ={\frac {1}{2}}\cdot ((n+m)^{2}+(n+m))\\&\quad ={\frac {1}{2}}\cdot (n+m)\cdot (n+m+1)\\&\quad =T_{n+m}.\end{aligned}}$.

Επαγωγικά αποδεικνύεται ο εξής πιο γενικός τύπος

$\sum _{i=1}^{k}T_{n_{i}}=T_{\sum _{i=1}^{k}n_{i}}+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}n_{i}n_{j}$.

• Για κάθε $n,m\geq 1$, ισχύει ότι

$T_{nm}=T_{n}T_{m}+T_{n-1}T_{m-1}$.

Απόδειξη  

Χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο

${\begin{aligned}&T_{n}T_{m}+T_{n-1}T_{m-1}\\&\quad {\frac {1}{4}}n\cdot (n+1)\cdot m\cdot (m+1)+{\frac {1}{4}}(n-1)\cdot n\cdot (m-1)\cdot m\\&\quad ={\frac {1}{4}}nm((n+1)(m+1)-(n-1)(m-1))\\&\quad ={\frac {1}{4}}nm((nm+n+m+1)+(nm-n-m+1))\\&\quad ={\frac {1}{4}}nm(2nm+2)\\&\quad ={\frac {1}{2}}\cdot nm\cdot (nm+1)\\&\quad =T_{nm}.\end{aligned}}$.

• (Θεώρημα του Νικόμαχου) Το τετράγωνο ενός τρίγωνου αριθμού $T_{n}$ είναι ίσο με το άθροισμα των κύβων από το $1$ έως το $n$, δηλαδή

$(T_{n})^{2}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}$.

• Η γεννήτρια συνάρτηση των τρίγωνων αριθμών είναι η εξής

$G(x)={\frac {x}{(1-x)^{3}}}$.

• Για κάθε $n\geq 1$, ισχύει ότι

$(T_{n+1})^{2}-(T_{n})^{2}=(n+1)^{3}$,

$(T_{n+1})^{2}+(T_{n})^{2}=T_{(n+1)^{2}}$,

$2T_{n+1}T_{n}=T_{n^{2}+2n}$.

• Για κάθε $n,k\geq 1$, ισχύει ότι

$(2n+1)^{2}\cdot T_{k}+T_{n}=T_{2nk+n+k}$.

Σχέση με άλλους αριθμούς

Τετράγωνος αριθμός

• Το άθροισμα δύο διαδοχικών τρίγωνων αριθμών είναι τέλειο τετράγωνο (δηλαδή ένας τετραγωνικός αριθμός). Πιο συγκεκριμένα,

$T_{n-1}+T_{n}=n^{2}$.

Απόδειξη  

Από τον γενικό τύπο λαμβάνουμε ότι

$T_{n-1}+T_{n}={\frac {1}{2}}\cdot (n-1)\cdot n+{\frac {1}{2}}\cdot n\cdot (n+1)={\frac {1}{2}}\cdot n\cdot (n-1+n+1)=n^{2}$.

Πενταγωνικοί αριθμοί

Οι πενταγωνικοί αριθμοί σχετίζονται στενά με τους τρίγωνους αριθμούς. Αν $p_{n}$ είναι ο $n$-οστός πενταγωνικός αριθμός, τότε

${\begin{aligned}p_{n}&={\tfrac {1}{3}}T_{3n-1}\\&=T_{n-1}+n^{2}\\&=T_{n}+2T_{n-1}\\&=T_{2n-1}-T_{n-1}.\end{aligned}}$

Γενικά

• Κάθε αριθμός μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα τριών τρίγωνων αριθμών.

Τέλειοι αριθμοί

Για οποιονδήποτε τέλειο αριθμό $N_{p}=2^{p-1}\cdot (2^{p}-1)$ όπου $p\geq 3$ ένας πρώτος αριθμός, ισχύει ότι

$N_{p}=1+9T_{n}$,

όπου $n=(2^{p}-2)/3$.

Έλεγχος τρίγωνων αριθμών

Ένας αριθμός $x$ είναι τρίγωνος αν και μόνο αν ο αριθμός

$n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}$

είναι φυσικός αριθμός.

Υπολογισμός

Για να υπολογίσουμε το άθροισμα $1+2+\ldots +n$ χρειαζόμαστε $n-1$ προσθέσεις. Αν χρησιμοποιήσουμε τον κλειστό γενικό τύπο, τότε χρειάζονται μόνο τρεις πράξεις (μία πρόσθεση, μία αφαίρεση και μία διαίρεση). Για να αποφευχθεί η πρόωρη υπερχείλιση ακεραίων συνήθως χρησιμοποιείται η εξής υλοποίηση, που στηρίζεται στο γεγονός ότι είτε το $n$ είτε το $n+1$ είναι άρτιος αριθμός,

int nth_triangular(int n) {
   if (n % 2 == 0) return (n/2) * (n+1);
   else return n * ( (n+1)/2 );
}

Εφαρμογές

Πλήθος χειραψιών

Απόδειη χωρίς λόγια ότι το πλήθος των χειραψιών ισούται με τον τρίγωνο αριθμό.

Σε μία συγκέντρωση με $n$ άτομα, αν κάθε άτομο ανταλλάξει χειραψίες με κάθε άλλο άτομο, ακριβώς μία φορά, τότε το συνολικό πλήθος χειραψιών είναι $T_{n-1}$.

Αυτό προκύπτει αν αριθμήσουμε τα άτομα: $1,2,3,\ldots ,n$ και πούμε ότι το κάθε άτομο θα μετρήσει τις χειραψίες με τα άτομα με μικρότερο αριθμό. Δηλαδή, το $i$-οστό άτομο μετρήσει τις χειραψίες με τα άτομα $1,2,\ldots ,i-1$. Συνεπώς, το συνολικό πλήθος χειραψιών θα είναι

$0+1+2+\ldots +n-1$

που είναι ο τρίγωνος αριθμός $T_{n-1}$.

Με παρόμοιο επιχείρημα προκύπτει ότι το πλήθος των μη-διατεταγμένων ζευγών σε ένα σύνολο με $n$ στοιχεία, δίνεται από το $T_{n-1}$.

Ταξινόμηση φυσαλίδας

Η ταξινόμηση φυσαλίδας είναι ένας αλγόριθμος για την ταξινόμηση ενός πίνακα από στοιχεία, που διαδοχικά συγκρίνει γειτονικά στοιχεία. Στο χειρότερο παράδειγμα εισόδου με $n$, που είναι όταν η λίστα είναι ανάποδα ταινομημένη, αυτός ο αλγόριθμος χρειάζεται $T_{n-1}$ βήματα.

Ιστορία

Οι τρίγωνοι αριθμοί μελετήθηκαν από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο. Οι πυθαγόρειοι θεωρούσαν πως όλα στο σύμπαν μπορούσαν να εξηγηθούν με τη βοήθεια των αριθμών. Γι' αυτόν τον λόγο έφτιαχναν διάφορες ακολουθίες αριθμών με βάση γεωμετρικά σχήματα. Αυτοί είναι οι τρίγωνοι και οι τετράγωνοι αριθμοί. Οι τρίγωνοι αριθμοί, με τους οποίους θα ασχοληθούμε σε αυτό το άρθρο, είναι κάθε αριθμός, που αν συμβολιστεί με σημεία, σχηματίζει ένα τρίγωνο.

Πολύ αργότερα, ο Γερμανός μαθηματικός Καρλ Φρίντριχ Γκάους, ανακάλυψε ότι για $n$ οποιονδήποτε θετικό ακέραιο,

$1+2+3+\ldots +n=n(n+1)/2$.

Οπότε, οποιοσδήποτε τρίγωνος αριθμός, μπορεί να υπολογιστεί πιο απλά, ως $n\cdot (n+1)/2$, χωρίς την ανάγκη γραμμικής πρόσθεσης από το 1 έως το $n$.

Δείτε επίσης

• Τετραγωνικός αριθμός
• Πενταγωνικός αριθμός