Εναλλασσόμενη σειρά

Στα μαθηματικά, εναλλασσόμενη σειρά είναι μια άπειρη σειρά της μορφής $$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$$ ή $$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}$$με a_n > 0 για κάθε n. Τα πρόσημα των γενικών όρων εναλλάσσονται από θετικά σε αρνητικά. Όπως κάθε άλλη σειρά, μια εναλλασσόμενη σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων συγκλίνει.

Παραδείγματα

Η γεωμετρική σειρά 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ έχει άθροισμα 1/3.

Η εναλλασσόμενη αρμονική σειρά έχει πεπερασμένο άθροισμα, αλλά η αρμονική σειρά δεν έχει.

Οι συναρτήσεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου που χρησιμοποιούνται στην τριγωνομετρία μπορούν να οριστούν ως εναλλασσόμενες σειρές στον λογισμό, παρόλο που εισάγονται στη στοιχειώδη άλγεβρα ως ο λόγος των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Πράγματι, $$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},$$ και $$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.$$Όταν ο εναλλασσόμενος παράγοντας (–1)ⁿ αφαιρεθεί από αυτές τις σειρές, παίρνουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις sinh και cosh που χρησιμοποιούνται στον λογισμό.

Για ακέραιο ή θετικό δείκτη α, η συνάρτηση Μπέσελ πρώτου τύπου μπορεί να οριστεί με την εναλλασσόμενη σειρά$$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }$$ όπου Γ(z) είναι η συνάρτηση γάμμα.

Αν s είναι ένας μιγαδικός αριθμός, η συνάρτηση ήτα του Ντίριχλετ ορίζεται ως η εναλλασσόμενη σειρά$$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots$$ που χρησιμοποιείται στην αναλυτική θεωρία αριθμών.

Κριτήριο εναλλασσόμενης σειράς

Το κριτήριο αυτό, γνωστό και ως Θεώρημα Λάιμπνιτς, μας λέει ότι μια εναλλασσόμενη σειρά θα συγκλίνει εάν οι όροι a_n συγκλίνουν στο 0 μονοτονικά.

Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι η ακολουθία $a_{n}$ συγκλίνει στο $0$ και είναι γνησίως φθίνουσα. Αν $m$ είναι περιττός και $m<n$, παίρνουμε την εκτίμηση $S_{n}-S_{m}\leq a_{m}$ μέσω του παρακάτω υπολογισμού: $${\begin{aligned}S_{n}-S_{m}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{aligned}}$$

Αφού η ακολουθία $a_{n}$ είναι γνησίως φθίνουσα, οι όροι $-(a_{m}-a_{m+1})$ είναι αρνητικοί. Έτσι, έχουμε την τελική ανισότητα: $S_{n}-S_{m}\leq a_{m}$. Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι $-a_{m}\leq S_{n}-S_{m}$. Αφού η ακολουθία $a_{n}$ συγκλίνει στο $0$, τα επιμέρους αθροίσματα $S_{m}$ σχηματίζουν μια ακολουθία Κωσύ (δηλαδή, η σειρά ικανοποιεί το κριτήριο Κωσύ) και επομένως συγκλίνουν. Η απόδειξη για $m$ άρτιο είναι παρόμοια.

Απόλυτη σύγκλιση

Μια σειρά ${\textstyle \sum a_{n}}$ συγκλίνει απολύτως αν η σειρά ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ συγκλίνει.

Θεώρημα: Αν μια σειρά συγκλίνει απολύτως, τότε συγκλίνει.

Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι η σειρά ${\textstyle \sum a_{n}}$ συγκλίνει απολύτως. Τότε, η σειρά ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ συγκλίνει και προκύπτει ότι η σειρά ${\textstyle \sum 2|a_{n}|}$ επίσης συγκλίνει. Αφού ${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$, η σειρά ${\textstyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}$ επίσης συγκλίνει (με το κριτήριο σύγκρισης). Επομένως, η σειρά ${\textstyle \sum a_{n}}$ συγκλίνει ως διαφορά δύο συγκλινουσών σειρών: ${\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$.

Σύγκλιση υπό συνθήκη

Μια σειρά συγκλίνει υπό συνθήκη αν συγκλίνει αλλά δεν συγκλίνει απολύτως.

Για παράδειγμα, η αρμονική σειρά $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},$$ αποκλίνει, ενώ η εναλλασσόμενη αρμονική σειρά $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},$$ συγκλίνει με το κριτήριο εναλλασσόμενης σειράς.

Αναδιατάξεις

Για οποιαδήποτε σειρά, μπορούμε να δημιουργήσουμε μια νέα σειρά αναδιατάσσοντας τους όρους που αθροίζουμε. Υπάρχουν όμως σειρές στις οποίες με οποιαδήποτε αναδιάταξη δημιουργούμε μια νέα σειρά που έχει το ίδιο άθροισμα με την αρχική σειρά. Τέτοιου είδους σειρές είναι οι απολύτως συγκλίνουσες. Αλλά το θεώρημα αναδιάταξης του Ρίμαν λέει ότι οι υπό συνθήκη συγκλίνουσες σειρές μπορούν να αναδιαταχθούν με τέτοιο τρόπο, ώστε το άθροισμά τους να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Η γενική αρχή είναι λοιπόν ότι η πρόσθεση άπειρων αθροισμάτων είναι αντιμεταθετική μόνο για απολύτως συγκλίνουσες σειρές.

Για παράδειγμα, μια ψευδής απόδειξη ότι 1=0 εκμεταλλεύεται την αποτυχία της αντιμεταθετικότητας για άπειρα αθροίσματα.

Ως ένα άλλο παράδειγμα, έχουμε τη σειρά Mercator:$$\ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .$$

Αλλά επειδή η σειρά δεν συγκλίνει απολύτως, μπορούμε να αναδιατάξουμε τους όρους για να αποκτήσουμε μια νέα σειρά που έχει άθροισμα ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}$: $${\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}$$

Δείτε επίσης

• Η σειρά του Γκράντι

Αναφορές

• Earl D. Rainville (1967) Άπειρες σειρές, σελ. 73–76, Macmillan Publishers.