Σεληνιακή αριθμητική

Η σεληνιακή αριθμητική είναι μια έκδοση της αριθμητικής στην οποία οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού στα ψηφία ορίζονται ως πράξεις μεγίστου και ελαχίστου αντίστοιχα. Έτσι, στη σεληνιακή αριθμητική,

$2+7=\max\{2,7\}=7$ και $2\times 7=\min\{2,7\}=2.$

Οι σεληνιακές αριθμητικές πράξεις σε μη αρνητικούς πολυψήφιους αριθμούς εκτελούνται όπως στη συνηθισμένη αριθμητική, όπως φαίνεται στα ακόλουθα παραδείγματα. Ο κόσμος της σεληνιακής αριθμητικής περιορίζεται στο σύνολο των μη αρνητικών ακεραίων αριθμών.

 976 +
 348
 ----
 978 (πρόσθεση ψηφίων κατά στήλη)

  976 ×
  348
  ----
  876 (πολλαπλασιασμός των ψηφίων του 976 με το 8)
 444  (πολλαπλασιασμός των ψηφίων του 976 με το 4)
333   (πολλαπλασιασμός των ψηφίων του 976 με το 3)
------
34876 (πρόσθεση ψηφίων κατά στήλη)

Η έννοια της σεληνιακής αριθμητικής προτάθηκε από τους David Applegate, Marc LeBrun και Neil Sloane.

Στον γενικό ορισμό της σεληνιακής αριθμητικής, εξετάζουμε τους αριθμούς που εκφράζονται σε μια αυθαίρετη βάση $b$ και ορίζουμε τις σεληνιακές αριθμητικές πράξεις ως τις πράξεις μεγίστου και ελαχίστου στα ψηφία που αντιστοιχούν στην επιλεγμένη βάση. Ωστόσο, για λόγους απλότητας, από εδώ και στο εξής θα υποθέτουμε ότι οι αριθμοί αναπαρίστανται χρησιμοποιώντας το δεκαδικό σύστημα.

Ιδιότητες των σεληνιακών πράξεων

Μερικές από τις στοιχειώδεις ιδιότητες των σεληνιακών πράξεων παρατίθενται παρακάτω.

1. Οι σεληνιακές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ικανοποιούν την αντιμεταθετική και την προσεταιριστική ιδιότητα.
2. Ο σεληνιακός πολλαπλασιασμός επιμερίζεται ως προς την σεληνιακή πρόσθεση.
3. Το ψηφίο 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο ως προς την σεληνιακή πρόσθεση. Κανένας μη μηδενικός αριθμός δεν έχει αντίστροφο κάτω από την σεληνιακή πρόσθεση.
4. Το ψηφίο 9 είναι το ουδέτερο στοιχείο ως προς τον σεληνιακό πολλαπλασιασμό. Κανένας αριθμός διαφορετικός από το 9 δεν έχει αντίστροφο κάτω από τον σεληνιακό πολλαπλασιασμό.

Κάποιες τυπικές ακολουθίες

Άρτιοι αριθμοί

Να σημειωθεί ότι, στη σεληνιακή αριθμητική, $n+n\neq 2\times n$ και $n+n=n$. Οι άρτιοι αριθμοί είναι αριθμοί της μορφής $2\times n$. Οι πρώτοι άρτιοι αριθμοί στην σεληνιακή αριθμητική παρατίθενται παρακάτω:

$0,1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,120,121,122,\ldots$

Αυτοί είναι οι αριθμοί των οποίων τα ψηφία είναι όλα μικρότερα ή ίσα του 2.

Τετραγωνικοί αριθμοί

Ένας τετραγωνικός αριθμός είναι ένας αριθμός της μορφής $n\times n$. Έτσι, στη σεληνιακή αριθμητική, οι πρώτοι τετραγωνικοί αριθμοί είναι οι ακόλουθοι:

$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,100,111,112,113,114,115,116,117,118,119,200,\ldots$

Τριγωνικοί αριθμοί

Ένας τριγωνικός αριθμός είναι ένας αριθμός της μορφής $1+2+\cdots +n$. Οι πρώτοι τριγωνικοί σεληνιακοί αριθμοί είναι οι εξής:

$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,19,19,19,19,19,19,19,19,19,19,29,29,29,29,29,\ldots$

Παραγοντικά

Στη σεληνιακή αριθμητική, οι πρώτες τιμές του παραγοντικού $n!=1\times 2\times \cdots \times n$ είναι οι εξής:

$1,1,1,1,1,1,1,1,1,10,110,1110,11110,111110,1111110,\ldots$

Πρώτοι αριθμοί

Στη συνηθισμένη αριθμητική, πρώτος αριθμός είναι ένας αριθμός $p$ του οποίου η μόνη δυνατή παραγοντοποίηση είναι $1\times p$. Αντίστοιχα, στη σεληνιακή αριθμητική, ένας πρώτος αριθμός είναι ένας αριθμός $n$ του οποίου η μόνη παραγοντοποίηση είναι $9\times n$, όπου 9 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού που αντιστοιχεί στο 1 στη συνηθισμένη αριθμητική. Οι πρώτοι αριθμοί στη σεληνιακή αριθμητική είναι οι ακόλουθοι:

$19,29,39,49,59,69,79,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,109,209,219,$

$309,319,329,409,419,429,439,509,519,529,539,549,609,619,629,639,\dots$

Κάθε αριθμός της μορφής $10\ldots (n{\text{ zeros}})\ldots 09$, όπου $n$ είναι αυθαίρετο, είναι πρώτος αριθμός στη σεληνιακή αριθμητική. Αφού το $n$ είναι αυθαίρετο, αυτό δείχνει ότι υπάρχουν άπειροι σε πλήθος πρώτοι αριθμοί στη σεληνιακή αριθμητική.

Αθροίσματα Μινκόβσκι και σεληνιακός πολλαπλασιασμός

Υπάρχει μια ενδιαφέρουσα σχέση μεταξύ των πράξεων του αθροίσματος Μινκόβσκι σε υποσύνολα μη αρνητικών ακεραίων και του σεληνιακού πολλαπλασιασμού στους δυαδικούς αριθμούς. Έστω $A$ και $B$ μη κενά υποσύνολα του συνόλου $N$ των μη αρνητικών ακεραίων. Το άθροισμα Μινκόβσκι $A+B$ ορίζεται ως το σύνολο

$A+B=\{a+b:a\in A,\,b\in B\}.$

Στο σύνολο $A$ μπορούμε να συσχετίσουμε έναν μοναδικό δυαδικό αριθμό $\beta (A)$ ως εξής: Έστω $m=\max(A)$. Για $i=0,1,\ldots ,m$ ορίζουμε

$b_{i}={\begin{cases}1&{\text{αν }}i\in A\\0&{\text{αν }}i\notin A\end{cases}}$

και μετά ορίζουμε

$\beta (A)=b_{m}b_{m-1}\ldots b_{0}.$

Έχει αποδειχθεί ότι

$\beta (A+B)=\beta (A)\times \beta (B)$, όπου το "$\times$" υποδηλώνει τον σεληνιακό πολλαπλασιασμό στους δυαδικούς αριθμούς.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Οι πρώτοι αριθμοί στο φεγγάρι (Σεληνιακή αριθμητική) στο YouTube