Κυλινδρικές συντεταγμένες

Το σύστημα κυλινδρικών συντεταγμένων^[1]^[2]^[3] είναι ένα τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων που περιγράφει την θέση ενός σημείου με την απόσταση αυτού από έναν άξονα αναφοράς, την γωνία ως προς μια επιλεγμένη διεύθυνση αναφοράς και την απόσταση από ένα επίπεδο αναφοράς το οποίο είναι κάθετο στον άξονα. Πρόκειται ουσιαστικά για ένα πολικό σύστημα στο οποίο έχει προστεθεί ένας ακόμα άξονας z.

Το σημείο αναφοράς του συστήματος είναι το σημείο στο οποίο και οι τρεις συντεταγμένες είναι μηδέν.

Ο άξονας z ονομάζεται κυλινδρικός άξονας, για να διαχωρίζεται από τον πολικό άξονα ο οποίος είναι η ακτίνα που βρίσκεται επάνω στο επίπεδο αναφοράς και ξεκινά από το σημείο αναφοράς εκτεινόμενη προς την διεύθυνση αναφοράς. Όπως και στην περίπτωση των πολικών συντεταγμένων για τον προσδιορισμό ενός σημείου απαιτούνται η ακτίνα r, το αζιμούθιο φ και η απόσταση του σημείου από το επίπεδο αναφοράς που ονομάζεται ύψος ή αξονική θέση και συμβολίζεται με z.

Ορισμός

Οι τρεις συντεταγμένες ( $ρ$ , $φ$ , $z$ ) ενός σημείου $P$ ορίζονται ως εξής:^[4]^[5]

Η ακτινική απόσταση $ρ$ είναι η Ευκλείδεια απόσταση από τον $z$ -άξονα στο σημείο $P$ .
Το αζιμούθιο $φ$ είναι η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης αναφοράς στο επιλεγμένο επίπεδο και της ευθείας από την αρχή μέχρι την προβολή του $P$ στο επίπεδο.
Η αξονική συντεταγμένη ή το ύψος $z$ είναι η προσημασμένη απόσταση από το επιλεγμένο επίπεδο στο σημείο $P$ .

Μοναδικές κυλινδρικές συντεταγμένες

Όπως και στις πολικές συντεταγμένες, το ίδιο σημείο με κυλινδρικές συντεταγμένες $(ρ, φ, z)$ έχει άπειρες ισοδύναμες συντεταγμένες, δηλαδή $(ρ, φ \pm n \times360°, z)$ και $(- ρ, φ \pm (2 n + 1)\times180°, z),$ όπου $n$ είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός. Επιπλέον, αν η ακτίνα $ρ$ είναι μηδέν, το αζιμούθιο είναι αυθαίρετο.

Σε περιπτώσεις όπου κάποιος θέλει ένα μοναδικό σύνολο συντεταγμένων για κάθε σημείο, μπορεί κανείς να περιορίσει την ακτίνα να είναι μη αρνητική ( $ρ \geq 0$ ) και το αζιμούθιο $φ$ να βρίσκεται σε ένα συγκεκριμένο διάστημα που εκτείνεται σε 360°, όπως $[-180°,+180°]$ ή $[0,360°]$ .

Συμβάσεις

Η σημειογραφία για τις κυλινδρικές συντεταγμένες δεν είναι ομοιόμορφη. Το πρότυπο ISO 31-11 συνιστά $(ρ, φ, z)$ όπου $ρ$ είναι η ακτινική συντεταγμένη, $φ$ το αζιμούθιο και $z$ το ύψος. Ωστόσο, η ακτίνα συμβολίζεται επίσης συχνά με $r$ ή $s$ , το αζιμούθιο με $θ$ ή $t$ , και η τρίτη συντεταγμένη με $h$ ή (αν ο κυλινδρικός άξονας θεωρείται οριζόντιος) $x$ , ή με οποιοδήποτε γράμμα που σχετίζεται με το περιβάλλον.

Σε συγκεκριμένες καταστάσεις και σε πολλές μαθηματικές απεικονίσεις, μια θετική γωνιακή συντεταγμένη μετριέται αριστερόστροφα όπως φαίνεται από οποιοδήποτε σημείο με θετικό ύψος.

Μετατροπές συστημάτων συντεταγμένων

Το κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων είναι ένα από τα πολλά τρισδιάστατα συστήματα συντεταγμένων. Οι ακόλουθοι τύποι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μετατροπή μεταξύ τους.

Καρτεσιανές συντεταγμένες

Για τη μετατροπή μεταξύ κυλινδρικών και καρτεσιανών συντεταγμένων, είναι βολικό να υποθέσουμε ότι το επίπεδο αναφοράς των πρώτων είναι το καρτεσιανό $xy$ -επίπεδο (με εξίσωση $z =} 0$ ) και ο κυλινδρικός άξονας είναι ο καρτεσιανός $z$ -άξονας. Τότε η $z$ -συντεταγμένη είναι η ίδια και στα δύο συστήματα, και η αντιστοιχία μεταξύ κυλινδρικής $(ρ, φ, z)$ και καρτεσιανής $(x, y, z)$ είναι η ίδια όπως και για τις πολικές συντεταγμένες, δηλαδή

${\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi \\y&=\rho \sin \varphi \\z&=z\end{aligned}}$

προς μία κατεύθυνση, και

${\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\text{if }}x\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}$

στην άλλη. Η Αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση είναι η αντίστροφη της ημιτονοειδής συνάρτησης και θεωρείται ότι επιστρέφει μια γωνία στο εύρος $[- π / 2, +{π / 2]$ = $[-90°, +90°]$ . Αυτοί οι τύποι δίνουν ένα αζιμούθιο $φ$ στην περιοχή $[-180°, +180°]$ .

Χρησιμοποιώντας τη Αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση που επιστρέφει επίσης μια γωνία στο εύρος $[- π / 2, + π / 2]$ = $[-90°, +90°]$ , μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε το $\varphi$ χωρίς να υπολογίσουμε πρώτα το $\rho$ .

${\begin{aligned}\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\{\frac {\pi }{2}}{\frac {y}{|y|}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y\neq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}$

Για άλλους τύπους, βλ. το άρθρο Πολικό σύστημα συντεταγμένων.

Πολλές σύγχρονες γλώσσες προγραμματισμού παρέχουν μια συνάρτηση που θα υπολογίζει το σωστό αζιμούθιο $φ$ , στο εύρος $(-π, π)$ , δεδομένων των x και y, χωρίς να χρειάζεται να γίνει ανάλυση περιπτώσεων όπως παραπάνω. Παραδείγματος χάριν, η συνάρτηση αυτή καλείται από την atan2 (y, x) στη γλώσσα προγραμματισμού C και (atan y x) στην Common Lisp.

Βιβλιογραφία

Morse, Philip M.· Feshbach, Herman (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York City: McGraw-Hill. σελίδες 656–657. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515.
Margenau, Henry· Murphy, George M. (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York City: D. van Nostrand. σελ. 178. ISBN 9780882754239. LCCN 55010911. OCLC 3017486.
Korn, Granino A.· Korn, Theresa M. (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York City: McGraw-Hill. σελίδες 174–175. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7.
Sauer, Robert· Szabó, István (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York City: Springer-Verlag. σελ. 95. LCCN 67025285.
Zwillinger, Daniel (1992). Handbook of Integration. Boston: Jones and Bartlett Publishers. σελ. 113. ISBN 0-86720-293-9. OCLC 25710023.
Moon, P.· Spencer, D. E. (1988). «Circular-Cylinder Coordinates (r, ψ, z)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd έκδοση). New York City: Springer-Verlag. σελίδες 12–17, Table 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2.

Παραπομπές

↑ Weisstein, Eric W. «Cylindrical Coordinates». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Απριλίου 2025.
↑ «Cylindrical Coordinate - an overview | ScienceDirect Topics». www.sciencedirect.com. Ανακτήθηκε στις 27 Απριλίου 2025.
↑ «Converted document». aeresources.gatech.edu. Ανακτήθηκε στις 27 Απριλίου 2025.
↑ «Cylindrical and Spherical Coordinates». Mathematics LibreTexts (στα Αγγλικά). 14 Ιουνίου 2019. Ανακτήθηκε στις 27 Απριλίου 2025.
↑ «Cylindrical coordinates - Math Insight». mathinsight.org. Ανακτήθηκε στις 27 Απριλίου 2025.

[1] Weisstein, Eric W. «Cylindrical Coordinates». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Απριλίου 2025.

[2] «Cylindrical Coordinate - an overview | ScienceDirect Topics». www.sciencedirect.com. Ανακτήθηκε στις 27 Απριλίου 2025.

[3] «Converted document». aeresources.gatech.edu. Ανακτήθηκε στις 27 Απριλίου 2025.

[4] «Cylindrical and Spherical Coordinates». Mathematics LibreTexts (στα Αγγλικά). 14 Ιουνίου 2019. Ανακτήθηκε στις 27 Απριλίου 2025.

[5] «Cylindrical coordinates - Math Insight». mathinsight.org. Ανακτήθηκε στις 27 Απριλίου 2025.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]