Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. Μπορείτε να βοηθήσετε προσθέτοντας την κατάλληλη τεκμηρίωση. Υλικό που είναι ατεκμηρίωτο μπορεί να αμφισβητηθεί και να αφαιρεθεί.
Η σήμανση τοποθετήθηκε στις 26/08/2015.
Στα μαθηματικά , μετρική ονομάζεται μια συνάρτηση
d
:
V
×
V
→
R
{\displaystyle d:V\times V\to \mathbb {R} }
, όπου
V
{\displaystyle V}
ένα μη-κενό σύνολο , η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες για κάθε
x
,
y
,
z
∈
V
{\displaystyle x,y,z\in V\,}
:
d
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle d(x,y)=0}
, αν και μόνο αν
x
=
y
{\displaystyle x=y\,}
(αξίωμα ταύτισης)
d
(
x
,
y
)
=
d
(
y
,
x
)
{\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}
(αξίωμα συμμετρίας )
d
(
x
,
y
)
≤
d
(
x
,
z
)
+
d
(
z
,
y
)
{\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}
(τριγωνική ανισότητα )
Η τιμή
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle d(x,y)}
ονομάζεται απόσταση των
x
{\displaystyle x}
,
y
{\displaystyle y}
, (ενν. μέσω της μετρικής
d
{\displaystyle d}
) και το ζεύγος
(
V
,
d
)
{\displaystyle (V,d)}
ονομάζεται μετρικός χώρος .
Η Ευκλείδεια μετρική στο σύνολο
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
ορίζεται για δύο σημεία
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}
και
y
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
{\displaystyle y=(y_{1},\ldots ,y_{n})}
ως
d
(
x
,
y
)
=
(
x
1
−
y
1
)
2
+
(
x
2
−
y
2
)
2
+
…
+
(
x
n
−
y
n
)
2
{\displaystyle d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}}
.
d
(
x
,
y
)
=
|
x
−
y
|
{\displaystyle d(x,y)=|x-y|}
.
d
(
x
,
y
)
=
{
0
x
=
y
1
x
≠
y
{\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\1&x\neq y\end{cases}}}
Η
p
{\displaystyle p}
-μετρική (για
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
) στο σύνολο
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
ορίζεται για δύο σημεία
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}
και
y
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
{\displaystyle y=(y_{1},\ldots ,y_{n})}
ως
d
(
x
,
y
)
=
(
(
x
1
−
y
1
)
p
+
(
x
2
−
y
2
)
p
+
…
+
(
x
n
−
y
n
)
p
)
1
/
p
{\displaystyle d(x,y)=\left((x_{1}-y_{1})^{p}+(x_{2}-y_{2})^{p}+\ldots +(x_{n}-y_{n})^{p}\right)^{1/p}}
.
Η μετρική στο
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
d
∞
(
x
,
y
)
=
max
{
|
x
i
−
y
i
|
:
1
≤
i
≤
n
}
{\displaystyle d_{\infty }(x,y)=\max {\{|x_{i}-y_{i}|:1\leq i\leq n\}}}
.
Σε έναν μετρικό χώρο
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
ισχύει ότι για κάθε
x
,
y
∈
V
{\displaystyle x,y\in V}
d
(
x
,
y
)
≥
0
{\displaystyle d(x,y)\geq 0}
.
Απόδειξη
Θεωρούμε δύο σημεία
x
,
y
∈
V
{\displaystyle x,y\in V}
. Από την τριγωνική ανισότητα για τα σημεία
x
,
x
,
y
{\displaystyle x,x,y}
έχουμε ότι
d
(
x
,
x
)
≤
d
(
x
,
y
)
+
d
(
y
,
x
)
{\displaystyle d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)}
.
Από το αξίωμα ταύτισης
d
(
x
,
x
)
=
0
{\displaystyle d(x,x)=0}
, προκύπτει ότι
0
≤
d
(
x
,
y
)
+
d
(
y
,
x
)
{\displaystyle 0\leq d(x,y)+d(y,x)}
,
και από το αξίωμα συμμετρίας
d
(
x
,
y
)
=
d
(
y
,
x
)
{\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}
, έχουμε ότι
d
(
x
,
x
)
≤
2
⋅
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle d(x,x)\leq 2\cdot d(x,y)}
.
Καταλήγουμε ότι
0
≤
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle 0\leq d(x,y)}
.