Συνέχεια συνάρτησης

Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
$\mathbf {y} =f(x)$
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
$\mathbf {z} =f(x_{1},\ldots ,x_{n})$
Βασικές έννοιες συναρτήσεων Μονοτονία συνάρτησης Κυρτότητα συνάρτησης Συμμετρία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Ασύμπτωτες συνάρτησης Όριο συνάρτησης Συνέχεια συνάρτησης Παραγώγιση συνάρτησης Ολοκλήρωση συνάρτησης
Κατηγορίες συναρτήσεων Άρτιες συναρτήσεις Περιττές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Σύνθετες συναρτήσεις Αντίστροφες συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Υπερβατικές συναρτήσεις
Αλγεβρικές συναρτήσεις Πολυωνυμική συνάρτηση $y=ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d$ Ρητή συνάρτηση $y={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{m-1}+...+c_{2}x+d_{2}}}$ Άρρητη συνάρτηση $y={\sqrt[{n}]{ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}}$
Υπερβατικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση $y=a^{x}$ Λογαριθμική συνάρτηση $y=\log _{a}(x)$ Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Ημίτονο $y=\sin x$ Συνημίτονο $y=\cos x$ Εφαπτομένη $y=\tan x$

Ένας μη αυστηρός ορισμός της έννοιας της συνέχειας, είναι ο εξής: μια συνάρτηση είναι συνεχής αν μικρές μεταβολές στο όρισμα της έχουν ως αποτέλεσμα μικρές μεταβολές στην τιμή της. Διαισθητικά (αν και αυτό είναι αρκετά ανακριβές) η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς να χρειαστεί να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί.

Συνέχεια πραγματικών συναρτήσεων

Ορισμός Κωσύ, (έψιλον - δέλτα ορισμός)

Αν $f:A\rightarrow \mathbb {R}$ είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού $A\subseteq \mathbb {R}$ και το $x_{0}$ ανήκει στο πεδίο ορισμού της, τότε η f ονομάζεται συνεχής στο $x_{0}$ αν

$\forall _{\epsilon >0}\exists _{\delta (x_{0},\epsilon )>0}\forall _{x\in A}\left(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon \right)$

Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης ορίζεται μόνο στα σημεία που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της. Η συνάρτηση ονομάζεται συνεχής στο $A$ αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του $A$, δηλαδή αν

$\forall _{x_{0}\in A}\forall _{\epsilon >0}\exists _{\delta (x_{0},\epsilon )>0}\forall _{x\in A}\left(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon \right)$

Σε αντιδιαστολή προς την ομοιόμορφη συνέχεια, η συνέχεια που ορίστηκε παραπάνω λέγεται και σημειακή συνέχεια.

Ορισμός μέσω ορίων

Ένας ορισμός που κάνει χρήση της έννοιας του ορίου στις πραγματικές συναρτήσεις λέει ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής σε κάποιο σημείο $x_{0}$ του πεδίου ορισμού της αν το όριο της συνάρτησης στο σημείο αυτό συμπίπτει με την τιμή της, δηλαδή αν:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

Αυτός ο ορισμός όμως δεν είναι αρκετός γιατί το όριο $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ έχει έννοια μόνο όταν το $x_{0}$ είναι σημείο συσσώρευσης της συνάρτησης f και επομένως με τον ορισμό αυτό μπορούμε να ελέγξουμε αν μια συνάρτηση είναι συνεχής μόνο στα σημεία συσσώρευσής της, (αν όμως το $x_{0}$ δεν είναι σημείο συσσώρευσης της f, τότε είναι μεμονωμένο σημείο και επομένως η f είναι έτσι και αλλιώς συνεχής σε αυτό).

Αρχή της μεταφοράς (ορισμός Χάινε)

Μια πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο $x_{0}$ του πεδίου ορισμού της Α αν και μόνο αν για κάθε ακολουθία $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ στο Α, με:

$\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=x_{0},$

ισχύει:

$\lim \limits _{n\to \infty }f(x_{n})=f(x_{0})$

Με άλλα λόγια μια πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής κατά Χάινε αν διατηρεί τα όρια, δηλαδή αν το όριο των εικόνων ισούται με την εικόνα του ορίου.

Συνέχεια σε τοπολογικούς χώρους

Μια συνάρτηση f ορισμένη στο X που λαμβάνει τιμές στο Y, όπου X και Y είναι τοπολογικοί χώροι, είναι συνεχής στο x όπου $x\in X$ αν για κάθε γειτονιά V της f(x), υπάρχει μια γειτονιά U του x τέτοια ώστε $f(U)\subseteq V$. Με πιο απλά λόγια, αυτό σημαίνει ότι όσο μικρή κι αν γίνεται η V μπορούμε πάντα να βρούμε μια U του x που να απεικονίζεται στην V. Λέμε ότι η f είναι συνεχής αν είναι συνεχής σε κάθε $x\in X$.

Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων

Θεώρημα Bolzano

Αν μια συνάρτηση $\textstyle f$ ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $\;\textstyle [a,b]$, είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει $f(a)\cdot f(b)<0$ τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\;\xi \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $\textstyle f(\xi )=0$.

Γραφικά, το θεώρημα Bolzano σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της $\;f\;$ τέμνει τον άξονα $\textstyle x'x$ σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των $\textstyle a,b$

Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής

Το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής βασίζεται στην αρχή της πληρότητας και διατυπώνεται ως εξής:

Αν μια συνάρτηση $\textstyle f$ ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $\;\textstyle [a,b]$, είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει $f(a)\neq f(b)$ τότε για οποιοδήποτε $\textstyle \rho$ μεταξύ των $\textstyle f(a),f(b)$ υπάρχει ένα τουλάχιστον $\;\xi \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $\textstyle f(\xi )=\rho$.

Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής

Το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής διατυπώνεται ως εξής:

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], είναι συνεχής σε αυτό τότε υπάρχουν στοιχεία μ και Μ στο [α, β] ώστε f(μ) = min(f) και f(Μ) = max(f).

Το πιο πάνω δεν ισχύει αν η συνάρτηση είναι ορισμένη σε ανοικτό διάστημα. Για παράδειγμα η συνάρτηση $f:(0,1)\rightarrow \mathbb {R}$ με τύπο $f(x)={\frac {1}{x}}$ είναι συνεχής στο (0, 1) αλλά δεν έχει μέγιστο.

Ομοιόμορφη συνέχεια

Η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας είναι πιο ισχυρή από αυτήν της (σημειακής) συνέχειας. Επιπλέον ενώ η συνέχεια μιας συνάρτησης είναι τοπική έννοια, δηλαδή αναφέρεται σε συγκεκριμένα σημεία του πεδίου ορισμού της, η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας αναφέρεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της.

Λέμε ότι μια συνάρτηση $f:A\rightarrow \mathbb {R}$ είναι ομοιόμορφα συνεχής αν

$\forall _{\epsilon >0}\exists _{\delta (\epsilon )>0}\forall _{x_{0}\in A}\forall _{x\in A}\left(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon \right)$

Η θεμελιώδης διαφορά της ομοιόμορφης συνέχειας από τη σημειακή έγκειται στο ότι η ακτίνα δ δεν εξαρτάται από το κέντρο x₀ κάθε φορά, παρά μόνο από την ακτίνα ε.