Άρτιες συναρτήσεις

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Στα μαθηματικά μία συνάρτηση λέγεται άρτια αν η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy'. Πιο συγκεκριμένα, μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το λέγεται άρτια, αν για κάθε που ανήκει στο ισχύει ότι το ανήκει στο και ότι .[1]:36

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραδείγματα άρτιων συναρτήσεων
Συνάρτηση απόλυτης τιμής.
Παραβολή με άξονα συμμετρίας τον yy'.
Η συνάρτηση , που είναι το γινόμενο δύο περιττών συναρτήσεων.
Συνάρτηση με ασυνέχειες.
  • Η συνάρτηση του συνημιτόνου, καθώς .[2]:10
  • Οι συναρτήσεις της μορφής για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό , καθώς .[2]:10
  • Η συνάρτηση της απόλυτης τιμής, , καθώς .[2]:10
  • Η συνάρτηση του υπερβολικού συνημιτόνου , καθώς .
  • Η συνάρτηση , που ορίζεται ως εξής:

Χαρακτηριστικά της άρτιας συνάρτησης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Λόγω της ιδιότητάς της, για τη μελέτη της άρτιας συνάρτησης αρκεί να μελετηθεί για τιμές του ενός προσήμου, για παράδειγμα για μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. Τα αποτελέσματα μπορούν να γενικευτούν κατάλληλα και για τις υπόλοιπες τιμές έχοντας μια πλήρη εικόνα της συνάρτησης.[3]:287

Πεδίο ορισμού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το πεδίο ορισμού της άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν. Για παράδειγμα, αν το διάστημα ανήκει στο πεδίο ορισμού, τότε ανήκει και το διάστημα .

Συνέχεια[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η άρτια συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη συνεχής (δείτε το παράδειγμα της παραπάνω). Αυτό που συμβαίνει είναι ότι αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο , τότε είναι είναι συνεχής και στο .

Παραγωγισιμότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η άρτια συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη παραγωγίσιμη (δείτε το παράδειγμα της παραπάνω). Αυτό που συμβαίνει είναι ότι αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο , τότε είναι παραγωγίσιμη στο . Επιπλέον, η παράγωγος, αν υπάρχει είναι περιττή συνάρτηση.

Μονοτονία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η μονοτονία της συνάρτησης, όπου υπάρχει, είναι αντίθετη σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Για παράδειγμα, αν μια άρτια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο , τότε η ίδια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα το . Στο μηδέν, αν ορίζεται μονοτονία σε σύνολο που το περιλαμβάνει, τότε η συνάρτηση είναι μονότονη με αντίθετο είδος μονοτονίας εκατέρωθεν του μηδέν, ενώ η γραφική παράσταση παρουσιάζει ακρότατο στο μηδέν.

Ασύμπτωτες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Άρτια συνάρτηση με ασύμπτωτη την και όταν και όταν .

Οι ασύμπτωτες, αν υπάρχουν, είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y'y.

Σύνολο τιμών-Ρίζες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το σύνολο τιμών άρτιας συνάρτησης ταυτίζεται με το πεδίο των θετικών (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού) και με πεδίο των αρνητικών αριθμών (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού). Κάθε τιμή τη λαμβάνει τουλάχιστον δύο φορές, άρα η άρτια συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα. Εξαιρείται το . Αν η συνάρτηση έχει πεπερασμένο πλήθος ριζών, τότε αυτό είναι περιττό, αν , διαφορετικά είναι άρτιο.

Κοιλοκυρτότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η κοιλοκυρτότητα της συνάρτησης, όπου ορίζεται, είναι του ίδιου είδους σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης, αν ορίζεται, είναι και αυτή άρτια.

Συμμετρίες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η άρτια συνάρτηση είναι συμμετρική με τον εαυτό της ως προς τον άξονα y'y.

Σύνθεση συναρτήσεων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι παρακάτω συνθέσεις άρτιων και περιττών συναρτήσεων είναι άρτιες συναρτήσεις.[2]:10

  • Το γινόμενο (ή πηλίκο) δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση.
  • Το γινόμενο (ή πηλίκο) δύο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση.
  • Το άθροισμα (ή διαφορά) δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Κολουντζάκης, Μ.· Παπαχριστόδουλος, Χ. (2015). Ανάλυση Fourier. ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-360-5. 
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 Παπαχρήστου, Κ. Ι. (2015). «Στοιχεία Μαθηματικής Ανάλυσης Συναρτήσεων μιας Μεταβλητής» (PDF). Σχολή Ναυτικών Δοκιμων. Ανακτήθηκε στις 9 Αυγούστου 2022. 
  3. Ανδρεαδάκης, Σ. (2004). Μαθηματικά Γ λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Αθήνα: ΟΕΔΒ. ISBN 9600607036.