Άρτιες συναρτήσεις

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Μία συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το Af λέγεται άρτια, αν για κάθε x που ανήκει στο Af ισχύει ότι το -x ανήκει στο Af και ότι f(-x)=f(x).

Χαρακτηριστικά της άρτιας συνάρτησης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Λόγω της ιδιότητάς της για τη μελέτη της άρτιας συνάρτησης αρκεί να μελετηθεί για τιμές του ενός προσήμου, για παράδειγμα για x μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. Τα αποτελέσματα μπορούν να γενικευούν κατάλληλα και για τις υπόλοιπες τιμές έχοντας μια πλήρη εικόνα της συνάρτησης.

Πεδίο ορισμού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το πεδίο ορισμού της άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν. Για παράδειγμα, αν το διάστημα [2,6) ανήκει στο πεδίο ορισμού, τότε ανήκει και το διάστημα (-6,-2].

Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η άρτια συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη συνεχής ή παραγωγίσιμη. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι αν η συνάρτηση έχει την ιδιότητα της συνέχειας ή της παραγωγισιμότητας σε ένα σημείο ή διάστημα έχει και την ίδια ιδιότητα στο συμμετρικό ως προς τον άξονα y'y σημείο ή διάστημα. Επιπλέον, η παράγωγος, αν υπάρχει είναι περιττή συνάρτηση.

Μονοτονία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η μονοτονία της συνάρτησης, όπου υπάρχει, είναι αντίθετη σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Για παράδειγμα, αν μια άρτια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (-2,-1], τότε η ίδια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα το [1,2). Στο μηδέν, αν ορίζεται μονοτονία σε σύνολο που το περιλαμβάνει, τότε η συνάρτηση είναι μονότονη με αντίθετο είδος μονοτονίας εκατέρωθεν του μηδέν, ενώ η γραφική παράσταση παρουσιάζει ακρότατο στο μηδέν.

Ασύμπτωτες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι ασύμπτωτες, αν υπάρχουν, είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y'y.

Σύνολο τιμών-Ρίζες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το σύνολο τιμών άρτιας συνάρτησης ταυτίζεται με το πεδίο των θετικών (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού) και με πεδίο των αρνητικών αριθμών (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού). Κάθε τιμή τη λαμβάνει τουλάχιστον δύο φορές, άρα η άρτια συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα. Εξαιρείται το f(0). Το σύνολο των ριζών άρτιας συνάρτησης είναι περιττό, αν f(0)=0, αλλιώς είναι άρτιο.

Κοιλοκυρτότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η κοιλοκυρτότητα της συνάρτησης, όπου ορίζεται, είναι του ίδιου είδους σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης, αν ορίζεται, είναι και αυτή άρτια.

Συμμετρίες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η άρτια συνάρτηση είναι συμμετρική με τον εαυτό της ως προς τον άξονα y'y.


Το άρθρο βασίστηκε στη διαδικασία της μαθηματικής ανάλυσης συνάρτησης που αναγράφεται στο βιβλίο Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης, ISBN 960-06-0703-6 ΟΕΔΒ εκδόσεις 2008, παράγραφος 2.10, σελίδα 287 καθώς και στον ορισμό άρτιας συνάρτησης που περιλαμβάνεται σε αυτό