Βαθμωτός πολλαπλασιασμός

Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με συντελεστή 3 τεντώνει το διάνυσμα.

Οι βαθμωτοί πολλαπλασιασμοί -a και 2a ενός διανύσματος a'

Στα μαθηματικά, ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός είναι μια από τις βασικές πράξεις που ορίζουν έναν διανυσματικό χώρο στη γραμμική άλγεβρα (ή γενικότερα, μια ενότητα στην αφηρημένη άλγεβρα). Σε κοινά γεωμετρικά πλαίσια, ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός πραγματικού ευκλείδειου διανύσματος με έναν θετικό πραγματικό αριθμό πολλαπλασιάζει το μέγεθος του διανύσματος χωρίς να αλλάζει η κατεύθυνσή του. Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός είναι ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με ένα κλιμάκιο (όπου το γινόμενο είναι ένα διάνυσμα) και πρέπει να διακρίνεται από το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων (όπου το γινόμενο είναι ένας βαθμωτός).

Ορισμός

Γενικά, αν το K είναι ένα πεδίο και το V είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το K, τότε ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός είναι μια συνάρτηση από το K × V στο V. Το αποτέλεσμα της εφαρμογής αυτής της συνάρτησης στο k στο K και στο v στο V συμβολίζεται kv.

Ιδιότητες

Ο πολλαπλασιασμός βαθμωτών υπακούει στους ακόλουθους κανόνες (διάνυσμα με έντονη γραφή):

• Προσθετικότητα στο βαθμωτό: (c + d)v = cv + dv;
• Προσθετικότητα στο διάνυσμα: c(v + w) = cv + cw;
• Συμβατότητα του γινομένου βαθμωτών με τον πολλαπλασιασμό βαθμωτών: (cd)v = c(dv);
• Ο πολλαπλασιασμός με το 1 δεν αλλάζει ένα διάνυσμα: 1v = v;
• Ο πολλαπλασιασμός με το 0 δίνει το μηδενικό διάνυσμα: 0v = 0;
• Ο πολλαπλασιασμός με -1 δίνει το προσθετικό αντίστροφο: (−1)v = −v.

Εδώ, το + είναι η πρόσθεση είτε στο πεδίο είτε στο διανυσματικό χώρο, ανάλογα με την περίπτωση- και το 0 είναι η προσθετική ταυτότητα σε κάθε περίπτωση. Η παράθεση δηλώνει είτε τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό είτε την πράξη πολλαπλασιασμού στο πεδίο.

Ερμηνεία

Ο χώρος των διανυσμάτων μπορεί να θεωρηθεί χώρος συντεταγμένων όπου τα στοιχεία συνδέονται με έναν κατάλογο στοιχείων από το Κ. Οι μονάδες του πεδίου σχηματίζουν μια ομάδα K ^× και ο πολλαπλασιασμός βαθμωτών διανυσμάτων είναι μια ομάδα δράσης στο χώρο συντεταγμένων από το Κ ×. Το μηδέν του πεδίου ενεργεί στο χώρο συντεταγμένων για να τον καταρρίψει στο μηδενικό διάνυσμα.

Όταν το Κ είναι το πεδίο των πραγματικών αριθμών, υπάρχει μια γεωμετρική ερμηνεία του πολλαπλασιασμού των βαθμωτών: τεντώνει ή συστέλλει τα διανύσματα κατά ένα σταθερό παράγοντα. Ως αποτέλεσμα, παράγει ένα διάνυσμα με την ίδια ή αντίθετη κατεύθυνση από το αρχικό διάνυσμα αλλά με διαφορετικό μήκος.

Ως ειδική περίπτωση, το V μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι το ίδιο το K και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός μπορεί τότε να θεωρηθεί ότι είναι απλώς ο πολλαπλασιασμός στο πεδίο.

Όταν το V είναι Kⁿ, ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός είναι ισοδύναμος με τον πολλαπλασιασμό κάθε συνιστώσας με το βαθμωτό και μπορεί να οριστεί ως τέτοιος.

Η ίδια ιδέα ισχύει αν το K είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος και το V είναι ένα module πάνω στο K. Το K μπορεί ακόμη και να είναι rig, αλλά τότε δεν υπάρχει προσθετικό αντίστροφο. Αν ο K δεν είναι αντιμεταθετικός, μπορούν να οριστούν οι διακριτές πράξεις αριστερός βαθμωτός πολλαπλασιασμός cv και δεξιός βαθμωτός πολλαπλασιασμός vc.

Bαθμωτός πολλαπλασιασμός πινάκων

Κύριο άρθρο: Πίνακας (μαθηματικά)

Ο αριστερός Bαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός πίνακα A με ένα βαθμωτό λ δίνει έναν άλλο πίνακα του ίδιου μεγέθους με τον A. Συμβολίζεται με λA, του οποίου οι καταχωρήσεις του λA ορίζονται ως εξής

$(\lambda \mathbf {A} )_{ij}=\lambda \left(\mathbf {A} \right)_{ij}\,,$

ρητά:

$\lambda \mathbf {A} =\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A_{n1}&\lambda A_{n2}&\cdots &\lambda A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.$

Ομοίως, παρόλο που δεν υπάρχει ένας ευρέως αποδεκτός ορισμός, ο δεξιός βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός πίνακα A με ένα βαθμωτό λ θα μπορούσε να οριστεί ως εξής

$(\mathbf {A} \lambda )_{ij}=\left(\mathbf {A} \right)_{ij}\lambda \,,$

ρητά:

$\mathbf {A} \lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}\lambda &A_{12}\lambda &\cdots &A_{1m}\lambda \\A_{21}\lambda &A_{22}\lambda &\cdots &A_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}\lambda &A_{n2}\lambda &\cdots &A_{nm}\lambda \\\end{pmatrix}}\,.$

Όταν οι καταχωρήσεις του πίνακα και τα βαθμωτά είναι από το ίδιο αντιμεταθετικό πεδίο, παραδείγματος χάριν, το πεδίο των πραγματικών αριθμών ή το πεδίο των μιγαδικών αριθμών, αυτοί οι δύο πολλαπλασιασμοί είναι οι ίδιοι και μπορούν απλά να ονομάζονται πολλαπλασιασμός βαθμωτών. Για πίνακες πάνω σε ένα γενικότερο πεδίο που δεν είναι μη αντιμεταθετικό, μπορεί να μην είναι ίσοι.

Για ένα πραγματικό βαθμωτό και πίνακα:

$\lambda =2,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$

$2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \!b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2.$

Για βαθμωτά τετραγωνικά και πίνακες:

$\lambda =i,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}$

$i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ij\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ji\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i\,,$

όπου i, j, k είναι οι τετραγωνικές μονάδες. Η μη αντιμεταθετικότητα του πολλαπλασιασμού των τετραδίων εμποδίζει τη μετάβαση της αλλαγής ij' = +k σε ji = -k.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Μιγαδικός αριθμός
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Τετραγωνικός πίνακας
• Αντιστρέψιμος πίνακας
• Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
• Mathematical Analysis: A Concise Introduction
• A Modern Introduction to Linear Algebra
• Solutions to Abstract Algebra

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 
• Golub, Gene F.; van der Vorst, Henk A. (2000), «Eigenvalue Computation in the 20th Century», Journal of Computational and Applied Mathematics 123 (1–2): 35–65, doi:10.1016/S0377-0427(00)00413-1, https://dspace.library.uu.nl/bitstream/1874/2663/1/eighistory.pdf 
• Atiyah, Michael; Macdonald, I. G. (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co. 
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Commutative Noetherian and Krull rings, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7 
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Dimension, multiplicity and homological methods, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications., Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2