Υπερβολικές συναρτήσεις

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων sinh, cosh και tanh
Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων csch, sech και coth

Στα μαθηματικά, οι υπερβολικές συναρτήσεις είναι ανάλογες των συμβατικών τριγωνομετρικών ή κυκλικών συναρτήσεων. Οι βασικές υπερβολικές συναρτήσεις είναι το υπερβολικό ημίτονο (συμβολίζεται sinh) και το υπερβολικό συνημίτονο (cosh), από τις οποίες προκύπτουν η υπερβολική εφαπτομένη (tanh) και οι υπόλοιπες υπερβολικές, κατ' αναλογία των παράγωγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάστηκαν έτσι επειδή η γεωμετρική σχέση τους με μία υπερβολή είναι σχεδόν ίδια με την σχέση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με την περιφέρεια.[1]

Αλγεβρικές εκφράσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Υπερβολικό ημίτονο
  • Υπερβολικό συνημίτονο
  • Υπερβολική εφαπτομένη
  • Υπερβολική συνεφαπτομένη
  • Υπερβολική τέμνουσα
  • υπερβολική συντέμνουσα

Όπου είναι η φανταστική μονάδα που ορίζεται ως .

Χρήσιμες σχέσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οπότε:

Προκύπτει δηλαδή ότι οι cosh x και sech x είναι άρτιες συναρτήσεις, ενώ οι υπόλοιπες είναι περιττές συναρτήσεις.

Τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα ικανοποιούν τη σχέση:

η οποία είναι αντίστοιχη της συμβατικής τριγωνομετρικής σχέσης:

Η υπερβολική εφαπτομένη είναι λύση του μη γραμμικού προβλήματος οριακών τιμών.[2]:

Αντίστροφες υπερβολικές εκφρασμένες με λογάριθμους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παράγωγοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Συνήθη ολοκληρώματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στις πιο πάνω σχέσεις, C καλούμε την σταθερά ολοκλήρωσης.

Σχέσεις με σειρά Τέιλορ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Είναι δυνατόν να εκφράσουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις με χρήση σειράς Taylor:

(Σειρά Laurent)
(Σειρά Laurent)

όπου

είναι ο νιοστός αριθμός Μπερνούλι
είναι ο νιοστός αριθμός Όιλερ

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Tom M. Apostol. Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Τόμος Ι. Ατλαντίς. ISBN 9600700672. 
  2. Eric W. Weisstein. «Hyperbolic Tangent». MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicTangent.html. Ανακτήθηκε στις 2008-10-20. 

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Hyperbolic function της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).