Υπερβολικές συναρτήσεις

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων sinh, cosh και tanh
Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων csch, sech και coth

Στα μαθηματικά, οι υπερβολικές συναρτήσεις είναι ανάλογες των συμβατικών τριγωνομετρικών ή κυκλικών συναρτήσεων. Οι βασικές υπερβολικές συναρτήσεις είναι το υπερβολικό ημίτονο (συμβολίζεται sinh) και το υπερβολικό συνημίτονο (cosh), από τις οποίες προκύπτουν η υπερβολική εφαπτομένη (tanh) και οι υπόλοιπες υπερβολικές, κατ' αναλογία των παράγωγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάστηκαν έτσι επειδή η γεωμετρική σχέση τους με μία υπερβολή είναι σχεδόν ίδια με την σχέση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με την περιφέρεια.[1]

Αλγεβρικές εκφράσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Υπερβολικό ημίτονο
  • Υπερβολικό συνημίτονο
  • Υπερβολική εφαπτομένη
  • Υπερβολική συνεφαπτομένη
  • Υπερβολική τέμνουσα
  • υπερβολική συντέμνουσα

Όπου είναι η φανταστική μονάδα που ορίζεται ως .

Χρήσιμες σχέσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οπότε:

Προκύπτει δηλαδή ότι οι cosh x και sech x είναι άρτιες συναρτήσεις, ενώ οι υπόλοιπες είναι περιττές συναρτήσεις.

Τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα ικανοποιούν τη σχέση:

η οποία είναι αντίστοιχη της συμβατικής τριγωνομετρικής σχέσης:

Η υπερβολική εφαπτομένη είναι λύση του μη γραμμικού προβλήματος οριακών τιμών.[2]:

Αντίστροφες υπερβολικές εκφρασμένες με λογάριθμους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παράγωγοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Συνήθη ολοκληρώματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στις πιο πάνω σχέσεις, C καλούμε την σταθερά ολοκλήρωσης.

Σχέσεις με σειρά Τέιλορ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Είναι δυνατόν να εκφράσουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις με χρήση σειράς Taylor:

(Σειρά Laurent)
(Σειρά Laurent)

όπου

είναι ο νιοστός αριθμός Μπερνούλι
είναι ο νιοστός αριθμός Όιλερ

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Tom M. Apostol. Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Τόμος Ι. Ατλαντίς. ISBN 9600700672. 
  2. Eric W. Weisstein. «Hyperbolic Tangent». MathWorld. Ανακτήθηκε στις 2008-10-20. 

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Hyperbolic function της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).