Ακολουθία

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στα μαθηματικά, μια ακολουθία είναι μια διατεταγμένη λίστα αντικειμένων. Μια ακολουθία έχει όρους και το πλήθος των όρων της (που ενδέχεται να είναι και άπειρο) ονομάζεται μήκος της ακολουθίας. Σε αντίθεση με τα σύνολα σε μια ακολουθία έχει σημασία η διάταξη των αντικειμένων της (πρώτος όρος, δεύτερος, τρίτος και ούτω καθ εξής). Επιπλέον δεν υπάρχει περιορισμός όσο αφορά το πόσες φορές μπορεί να εμφανίζεται ένα αντικείμενο μιας ακολουθίας (σε αντίθεση και πάλι με τα σύνολα όπου ένα αντικείμενο μπορεί να εμφανίζεται το πολύ μια φορά).

Οι ακολουθίες διακρίνονται ως προς το πλήθος των όρων τους, στις άπειρες ακολουθίες και στις πεπερασμένες. Σχεδόν αποκλειστικά, στην μαθηματική ανάλυση ενδιαφέρον έχουν οι πρώτες.

Αυστηρός Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ονομάζουμε ακολουθία ή πιο συγκεκριμένα άπειρη ακολουθία οποιαδήποτε συνάρτηση α από το σύνολο των φυσικών  \mathbb{N} σε ένα σύνολο Α, δηλαδή κάθε συνάρτηση της μορφής:

 a: \mathbb{N} \rightarrow A

Συνηθίζεται να συμβολίζουμε την τιμή μιας ακολουθίας, για κάθε στοιχείο  k \in \mathbb{N} με αk αντί με α(k) όπως συνηθίζεται γενικά για τις συναρτήσεις. Αν το σύνολο Α είναι ίσο με το σύνολο των πραγματικών αριθμών τότε η ακολουθία ονομάζεται πραγματική ακολουθία.

Ονομάζουμε πεπερασμένη ακολουθία ή λίστα n στοιχείων οποιαδήποτε συνάρτηση α από ένα σύνολο \lbrace 1, 2, \cdots , n \rbrace σε ένα σύνολο Α, δηλαδή κάθε συνάρτηση της μορφής:

 a: \lbrace 1, 2, \cdots , n \rbrace \rightarrow A

Όλες οι ακολουθίες ως συναρτήσεις είναι σύνολα διατεταγμένων ζευγών. Παρόλα αυτά μια πεπερασμένη ακολουθία μπορούμε να την αντιμετωπίζουμε ως διατεταγμένη n-άδα για ευκολία και επομένως μπορούμε να τη συμβολίσουμε με (α1, α2, ..., αn). Παρόμοια, για μια άπειρη ακολουθία μπορούμε να χρησιμοποιούμε το συμβολισμό (α1, α2, ... ) όπου α1 είναι ο πρώτος όρος της, α2 ο δεύτερος κοκ. ή για συντομία (αn).

Όριο Ακολουθίας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Όριο ακολουθίας

Θεωρούμε την ακολουθία:

a_n = \frac{1}{n}

με όρους:

a_1 = 1, ..., a_{10}=\frac{1}{10}, ..., a_{100}=\frac{1}{100}, ... , a_{1000}=\frac{1}{1000} ...

Είναι εύκολο να παρατηρήσει κανείς ότι οι όροι της ακολουθίας πλησιάζουν ολοένα και περισσότερο το 0 καθώς ο δείκτης της n αυξάνεται. Για τη συγκεκριμένη ακολουθία μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι για καμιά τιμή του n δεν θα υπάρξει όρος (ίσος ή) μικρότερος του μηδενός. Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι η ακολουθία μας δεν μπορεί να ξεπεράσει το μηδέν, με άλλα λόγια ότι έχει όριο τον αριθμό 0.

Ένας άτυπος ορισμός του ορίου ακολουθίας είναι ο εξής: μια ακολουθία λέμε ότι έχει όριο ή ότι συγκλίνει σε ένα αριθμό L, όταν οι όροι της πλησιάζουν όλο και περισσότερο τον αριθμό αυτό καθώς ο δείκτης της αυξάνεται απεριόριστα.

Ο αυστηρός ορισμός της σύγκλισης μιας ακολουθίας (an) σε πραγματικό αριθμό είναι ο εξής: λέμε ότι ο αριθμός L είναι όριο της ακολουθίας (a_n) αν για κάθε ε > 0 υπάρχει (τουλάχιστον ένας) φυσικός αριθμός n0 τέτοιος, ώστε για κάθε n>n0 να ισχύει:

|a_n - L| < \epsilon

και το συμβολίζουμε με:

\lim_{n \to \infty}a_n = L

Φυσικά είναι δυνατόν μια ακολουθία να μην συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό. Μπορεί για παράδειγμα να αποκλίνει στο +\infty ή στο -\infty ή ακόμα να μην έχει όριο καθόλου. Αν όμως μια ακολουθία έχει όριο είτε πραγματικό αριθμό είτε άπειρο, τότε αποδεικνύεται ότι αυτό είναι μοναδικό.

Υπακολουθία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν x_n είναι μια ακολουθία και k_1 < k_2 < ... < k_n < ... είναι φυσικοί αριθμοί, τότε η ακολουθία x_{k_n}, δηλαδή η x_{k_1}, x_{k_2}, x_{k_3},... καλείται υπακολουθία της x_n. Μια υπακολουθία μιας ακολουθίας αποτελεί κι αυτή ακολουθία. Επιπλέον, οι δείκτες των όρων μιας υπακολουθίας αποτελούν μια γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών.

Αν x_{k_n} είναι υπακολουθία μιας συγκλίνουσας ακολουθίας x_n, τότε συγκλίνει κι αυτή στο ίδιο όριο, στο οποίο συγκλίνει η x_n.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]