Εκθετική συνάρτηση

Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
$\mathbf{y} = f(x)$
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
$\mathbf{z} = f(x , y , , y_n)$
Βασικές έννοιες συναρτήσεων Μονοτονία συνάρτησης Κυρτότητα συνάρτησης Συμμετρία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Ασύμπτωτες συνάρτησης Όριο συνάρτησης Συνέχεια συνάρτησης Παραγώγιση συνάρτησης Ολοκλήρωση συνάρτησης
Κατηγορίες συναρτήσεων Άρτιες συναρτήσεις Περιττές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Σύνθετες συναρτήσεις Αντίστροφες συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Υπερβατικές συναρτήσεις
Αλγεβρικές συναρτήσεις Πολυωνυμική συνάρτηση $\mathbf{y} = ax^n + bx^{n-1} +...+ cx + d$ Ρητή συνάρτηση $\mathbf{y} = \frac{a_1 x^n + b_1 x^{n-1} +...+ c_1 x + d_1}{a_2x^m+ b_2 x^{m-1} +...+ c_2 x + d_2}$ Άρρητη συνάρτηση $\mathbf{y} = \sqrt[n]{ax^n + bx^{n-1} +...+ cx + d}$
Υπερβατικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση $\mathbf{y} = a^x$ Λογαριθμική συνάρτηση $\mathbf{y} = \log_a (x)$ Τριγωνομετρικές συναρτήσεις $\mathbf{y} = \eta \mu x$ $\mathbf{y} = \sigma \upsilon \nu x$ $\mathbf{y} = \epsilon \phi x$

Γραφικές παραστάσεις εκθετικών συναρτήσεων
Εκθετική συνάρτηση με βάση το 1/2
Εκθετική συνάρτηση με βάση το 10
Εκθετική συνάρτηση με βάση το e
Εκθετική συνάρτηση με βάση το 2

Εκθετική συνάρτηση καλείται οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής α^x, όπου α πραγματική σταθερά, α>0 και α≠1. Δηλαδή η τιμή εκθετικής συνάρτησης ισούται με τη δύναμη με βάση τη σταθερά α και εκθέτη την ανεξάρτητη μεταβλητή (όρισμα) x της συνάρτησης.

Πολύ συχνά εκθετική συνάρτηση λέγεται συγκεκριμένα η e^x όπου e ο αριθμός Όιλερ ίσος περίπου με 2,718.

Χαρακτηριστικά της εκθετικής συνάρτησης

Γραφική παράσταση της εκθετικής συνάρτησης με βάση το e. Πάνω αριστερά είναι ο πίνακας μεταβολών της.

Πεδίο ορισμού

Με βάση τον ορισμό της δύναμης πεδίο ορισμού είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί.

Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα

Η εκθετική συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της, όπως και παραγωγίσιμη. Επιπλέον, κάθε της παράγωγος είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει

$(\alpha^x)'=(\ln{\alpha})\alpha^x\ ,$

ενώ για τη νιοστή παράγωγο

$(\alpha^x)^{(\nu)}=\frac{d^{\nu}}{dx^{\nu}}(\alpha^x)=(\ln{\alpha})^{\nu}\alpha^x \ \ \$

Μονοτονία

Εκθετική συνάρτηση με α>1

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις μία για α>1 και μία για 0<α<1.

• Αν α>1:

Οι εκθετικές συναρτήσεις με βάση α>1 είναι γνησίως αύξουσες σε όλο το πεδίου ορισμού τους, γιατί lnα>0 και α^x>0, άρα (α^x)'>0.

Εκθετική συνάρτηση με 1>α>0.

• Αν 1>α>0:

Οι εκθετικές συναρτήσεις με βάση 0<α<1 είναι γνησίως φθίνουσες σε όλο το πεδίου ορισμού τους, γιατί lnα<0 και α^x>0, άρα (α^x)'<0.

Ακρότατα-Ασύμπτωτες

• Αν α>1:

Το όριο της εκθετικής στο συν άπειρο είναι συν άπειρο, ενώ το όριο της εκθετικής στο μείον άπειρο είναι 0. Η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. Ασύμπτωτη της συνάρτησης είναι η ευθεία y=0, δηλαδή ο άξονας x'x. Το σύνολο τιμών της εκθετικής συνάρτησης είναι το ανοιχτό μηδέν, συν άπειρο, δηλαδή όλοι οι θετικοί αριθμοί.

• Αν 0<α<1:

Το όριο της εκθετικής στο συν άπειρο είναι μηδέν, ενώ το όριο της εκθετικής στο μείον άπειρο είναι συν άπειρο. Η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. Ασύμπτωτη της συνάρτησης είναι η ευθεία y=0, δηλαδή ο άξονας x'x.

Σύνολο τιμών-Γνωστές τιμές-Ρίζες

Το σύνολο τιμών της εκθετικής συνάρτησης είναι το ανοιχτό μηδέν, συν άπειρο, δηλαδή όλοι οι θετικοί αριθμοί. Κάθε εκθετική συνάρτηση διέρχεται από το σημείο (0,1). Καμία εκθετική συνάρτηση δεν έχει ρίζες, δηλαδή η εξίσωση α^x=0 είναι αδύνατη.

Κοιλοκυρτότητα

Σε κάθε περίπτωση είναι

$(\alpha^x)''=(\ln{\alpha})^2\alpha^x>0\ ,$

άρα η εκθετική συνάρτηση είναι κυρτή, δηλαδή στρέφει τα κοίλα άνω. Δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

Συμμετρίες

Κοινή γραφική παράσταση εκθετικών συναρτήσεων με αντίστροφες βάσεις.

Η εκθετική συνάρτηση α^x είναι συμμετρική με την α^-x=(1/α)^x ως προς τον άξονα y'y. Παρατηρείται ότι οι δύο βάσεις είναι αντίστροφες μεταξύ τους.

Άλλες συναρτήσεις που σχετίζονται με την εκθετική

Η συνάρτηση α^x

Στη συγκεκριμένη μορφή η παράμετρος α μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, άρα δεν είναι πάντα εκθετική συνάρτηση. Αν α>1 ή 1>α>0, τότε η συνάρτηση είναι εκθετική. Αν α=1, τότε για κάθε πραγματικό αριθμό α^x=1^x=1, δηλαδή είναι σταθερή συνάρτηση. Αν α=0, τότε μόνο για θετικούς αριθμούς ορίζεται ότι α^x=0^x=0, δηλαδή και αυτή είναι σταθερή συνάρτηση στους θετικούς αριθμούς. Τέλος, αν α<0, τότε με βάση τον ορισμό της δύναμης προκύπτει ότι το πεδίο ορισμού είναι μόνο οι ακέραιοι αριθμοί, άρα η συνάρτηση δεν είναι συνεχής.

Αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής

Η εκθετική είναι γνησίως μονότονη, άρα είναι αμφιμονοσήμαντη, άρα ορίζεται αντίστροφη συνάρτηση στο σύνολο τιμών της, τους θετικούς αριθμούς. Η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής α^x είναι εξ'ορισμού η λογαριθμική συνάρτηση log_αx.

Διπλοεκθετική συνάρτηση

Είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης της εκθετικής συνάρτησης με τον εαυτό της. Διπολεκθετική συνάρτηση είναι η f(x)=α^αx. Πεδίο ορισμού της είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. Η διπλοεκεθετική συνάρτηση είναι υποπερίπτωση της υπερεκθετικής συνάρτησης, η οποία με τη σειρά της είναι υποπερίπτωση της συνάρτησης Άκερμαν.

Ψευτοεκθετική συνάρτηση

Είναι η συνάρτηση f(x)=x^x. Για x>0 με τον εψιλοτικό μετασχηματισμό η συνάρτηση γίνεται x^x=e^xlnx, δηλαδή μπορεί να μελετηθεί στους θετικούς αριθμούς ως σύνθεση της εκθετικής συνάρτησης με τη συνάρτηση g(x)=xlnx.

Μετασχηματισμοί

Η εκθετική συνάρτηση μπορεί να μετασχηματιστεί με βάση τον εψιλοτικό μετασχηματισμό, δηλαδή τη σχέση α^x=e^x⋅lnα. Έτσι, αρκεί να μελετηθεί ή να υπολογιστεί με ακρίβεια η εκθετική συνάρτηση e^x και τα συμπεράσματα μπορούν να γενικευθούν κατάλληλα και σε όλες τις υπόλοιπες εκθετικές συναρτήσεις. Η αντίστροφη συνάρτηση της e^x είναι η λογαριθμική συνάρτηση lnx.

Σχέσεις με την εκθετική συνάρτηση

Ανισοτικές

Για κάθε πραγματικούς αριθμούς x, x₀, y, και με α>0 και διάφορο του ενός, ισχύει:

• $\alpha^{x}>0 \ \ \$
• $x>y \Leftrightarrow \ \alpha^{x}>\alpha^{y}, \ \ \ \alpha>1$
• $x>y \Leftrightarrow \alpha^{x}<\alpha^{y}, \ \ \ 0<\alpha<1$
• $e^x>\ln{x} \ \ \$
• $\alpha^{x}\ge \alpha^{x_0}x\ln{\alpha}-(x_0\ln{\alpha}-1)\alpha^{x_0}$

Ταυτότητες

Για κάθε πραγματικούς αριθμούς x, y, και με α>0 και διάφορο του ενός, ισχύει:

• $\alpha^{x}=\alpha^{y} \Leftrightarrow x=y$
• $\alpha^{x}=(1/\alpha)^{-x} \ \ \$
• $\alpha^{x}\alpha^{y}=\alpha^{x+y} \ \ \$
• $\log_{\alpha}\alpha^{x}=x \ \ \$
• $e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x} \ \ \$

Παραδείγματα

• $0,01^{e}>0 \ \ \$
• $\pi^{\alpha}>\pi^{\beta} \Leftrightarrow \alpha>\beta$
• $(1/5\pi)^{\alpha}>(1/5\pi)^{\beta} \Leftrightarrow \beta>\alpha$
• $e^{\alpha}>\ln{\alpha} \ \ \$
• $\left(3.356^{\frac{e+\pi^{-100}}{2000}}\right)^{\mu}=\left(3.356^{\frac{e+\pi^{-100}}{2000}}\right)^{\nu} \Leftrightarrow \mu=\nu$
• $0,01^{1/2}=100^{-1/2} \ \ \$
• $5^{\alpha}5^{2\alpha}=5^{3\alpha} \ \ \$
• $\log_{\pi}{\pi^{\varphi}}=\varphi \ \ \$
• $e^{i\pi}=\cos{\pi}+i\sin{\pi}=-1 \ \ \$

Εκθετική συνάρτηση και απειροστικός λογισμός

Η εκθετική συνάρτηση e^x έχει τη σημαντική (εκ κατασκευής) ιδιότητα ότι (e^x)'=e^x. Έτσι, αποδεικνύεται ότι για κάθε α≠1:

$\left(\alpha^{x}\right)'=\left[ \left(e^{\ln\alpha}\right)^{x}\right]'=\left(e^{x\ln{\alpha}}\right)'=(\ln\alpha)e^{x\ln{\alpha}}=(\ln\alpha)\alpha^{x}$

Η συνάρτηση ce^x (όπου c σταθερά) αποτελεί γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης

$f'(x)=f(x) \ \ \$

Αντίθετα, η συνάρτηση ce^-x αποτελεί γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης

$f'(x)=-f(x) \ \ \$

Επιπλέον, γραμμικοί συναδυασμοί μιγαδικής εκθετικής συνάρτησης είναι λύσεις διαφορικών εξισώσεων οποιαδήποτε τάξης, αλλά με σταθερούς συντελεστές. Για παράδειγμα, η δευτεροτάξια διαφορική εξίσωση

$f''(x)+f(x)=0 \ \ \$

έχει ως γενική λύση

$f(x)=c_1e^{ix}+c_2e^{-ix} \ \ \$

όπου c₁,c₂ σταθερές.

Ισχύουν επίσης οι εξής σχέσεις για τα ολοκληρώματα:

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+c$

$\int \alpha^{x}\,dx=\frac{1}{\ln{\alpha}}\, \alpha^{x}+c$

Ανάπτυγμα σειράς Taylor

Επειδή (e^x)'=e^x και e⁰=1 η σειρά Taylor αυτής της συνάρτησης είναι:

$e^{x}=1+\frac{x}{1}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{k}}{k!}+...=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$

Ενώ για όλες τις εκθετικές συναρτήσεις ισχύει:

$\alpha^{x}=1+\ln{\alpha}\, \frac{x}{1!}+(\ln{\alpha})^{2}\, \frac{x^{2}}{2!}+(\ln{\alpha})^{3}\, \frac{x^{3}}{3!}+...+(\ln{\alpha})^{k}\, \frac{x^{k}}{k!}+...=\sum_{n=0}^{\infty}(\ln{\alpha})^{n}\, \frac{x^{n}}{n!}$

Δείτε επίσης

• Εκθέτης
• Εξίσωση του Όιλερ
• Συνάρτηση
• Ψευτοεκθετική συνάρτηση

Το άρθρο βασίστηκε στη διαδικασία της μαθηματικής ανάλυσης συνάρτησης που αναγράφεται στο βιβλίο Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης, ISBN 960-06-0703-6 ΟΕΔΒ εκδόσεις 2008, παράγραφος 2.10, σελίδα 287