Αναμενόμενη τιμή

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Η αναμενόμενη τιμή μίας τυχαίας μεταβλητής  X συμβολίζεται συνήθως με E(X),\; \mu_X ή \mu.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η αναμενόμενη τιμή ορίζεται ως το ολοκλήρωμα Lebesque ως προς το μέτρο πιθανότητας. Έστω ο χώρος πιθανότητας (\Omega, \mathcal F, P) και ο μετρήσιμος χώρος (\bar \mathbb R, \mathcal B), όπου \bar \mathbb R = \mathbb R \cup\{-\infty,\infty\} και \mathcal B η Borel σ-άλγεβρα. Αν η \,X είναι P- ολοκληρώσιμη, τότε η αναμενόμενη τιμή ορίζεται ως

E(X) = \int_\Omega X \, dP = \int_\Omega X(\omega)P(d\omega)\,.

Διακριτές τυχαίες μεταβλητές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω \,X μία διακριτή ολοκληρώσιμη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τις τιμές x_i, i \in N, N \sub \N με αντίστοιχες πιθανότητες \,p_i=P(X=x_i). Η αναμενόμενη τιμή της μεταβλητής είναι:

E(X)=\sum_{i \in N}x_ip_i.

Η ολοκληρωσιμότητα σε αυτήν την περίπτωση ελέγχεται ως εξής:

\sum_{i \in N}|x_i|p_i<\infty.

Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω \,X μία τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας \,f(x) η αναμενόμενη της τιμή είναι:

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)dx\,.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω \,X μία ολοκληρώσιμη τυχαία μεταβλητή και a,b \in \mathbb{R}:

\operatorname{E}(aX + b)= a \operatorname{E}(X) + b\,.

Έστω \,X, Y ολοκληρώσιμες τυχαίες μεταβλητές:

\operatorname{E}(X + Y)=  \operatorname{E}(X) + \operatorname{E}(Y)\,.

Έστω \,X, Y δύο ανεξάρτητες ολοκληρώσιμες τυχαίες μεταβλητές:

\operatorname{E}(X  Y)=  \operatorname{E}(X)  \operatorname{E}(Y)\,.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]