Ταυτότητα του Όιλερ

Η ταυτότητα του Όιλερ (Euler's identity) στη μαθηματική ανάλυση, είναι η εξίσωση

$e^{i \pi} + 1 = 0, \,\!$

όπου

$e\,\!$ είναι ο αριθμός του Όιλερ, η βάση των φυσικών λογαρίθμων,

$i\,\!$ είναι ο φανταστικός αριθμός, ένας μιγαδικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο ισούται με μείον ένα , και

$\pi\,\!$ ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.

Πήρε το όνομά της από τον Λέοναρντ Όιλερ και μερικές φορές είναι γνωστή και ως εξίσωση του Όιλερ.

Απόδειξη

Η φόρμουλα του Όιλερ για τυχαία γωνιά.

Η ταυτότητα είναι μια ειδική περίπτωση της εξίσωσης του Όιλερ, σύμφωνα με την οποία

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!$

για κάθε πραγματικό αριθμό x. (οι μονάδες δίνονται σε ακτίνια.) Συγκεκριμένα, αν

$x = \pi,\,\!$

τότε

$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!$

Αφού

$\cos\pi=-1 \ \ \ \kappa\alpha\iota \ \ \ \sin\pi=0$

Συνεπώς,

$e^{i \pi} = -1,\,\!$

που δίνει την ταυτότητα

$e^{i \pi} +1 = 0.\,\!$

Όνομα

Αν και ο Όιλερ έγραψε για τη φόρμουλά του συνδέοντας το e με τους όρους ημίτονο και συνημίτονο, δεν υπάρχει πουθενά αναφορά ότι ο ίδιος απέδειξε την απλοποιημένη μορφή της ταυτότητας. Ακόμα η ίδια η φόρμουλα είναι πιθανό να ήταν γνωστή πριν από τον Όιλερ. Είναι λοιπόν αδύνατο να απαντηθεί το ερώτημα αν η ταυτότητα μπορεί να αποδοθεί στον Όιλερ.

Εξωτερικές συνδέσεις

• Η ταυτότητα του Όιλερ