Ταυτότητα του Όιλερ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Η ταυτότητα του Όιλερ (Euler's identity) στη μαθηματική ανάλυση, είναι η εξίσωση

e^{i \pi} + 1 = 0, \,\!

όπου

e\,\! είναι ο αριθμός του Όιλερ, η βάση των φυσικών λογαρίθμων,
i\,\! είναι ο φανταστικός αριθμός, ένας μιγαδικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο ισούται με μείον ένα , και
\pi\,\! ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.

Πήρε το όνομά της από τον Λέοναρντ Όιλερ και μερικές φορές είναι γνωστή και ως εξίσωση του Όιλερ.

Απόδειξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η φόρμουλα του Όιλερ για τυχαία γωνιά.

Η ταυτότητα είναι μια ειδική περίπτωση της εξίσωσης του Όιλερ, σύμφωνα με την οποία

e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!

για κάθε πραγματικό αριθμό x. (οι μονάδες δίνονται σε ακτίνια.) Συγκεκριμένα, αν

x = \pi,\,\!

τότε

e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!

Αφού

 \cos\pi=-1  \ \ \ \kappa\alpha\iota \ \ \ \sin\pi=0

Συνεπώς,

e^{i \pi} = -1,\,\!

που δίνει την ταυτότητα

e^{i \pi} +1 = 0.\,\!

Όνομα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν και ο Όιλερ έγραψε για τη φόρμουλά του συνδέοντας το e με τους όρους ημίτονο και συνημίτονο, δεν υπάρχει πουθενά αναφορά ότι ο ίδιος απέδειξε την απλοποιημένη μορφή της ταυτότητας. Ακόμα η ίδια η φόρμουλα είναι πιθανό να ήταν γνωστή πριν από τον Όιλερ. Είναι λοιπόν αδύνατο να απαντηθεί το ερώτημα αν η ταυτότητα μπορεί να αποδοθεί στον Όιλερ.

Εξωτερικές συνδέσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Euler's identity της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).