Συναρτησιακή ανάλυση

Ένας από τους πιθανούς τρόπους δόνησης μιας εξιδανικευμένης κεφαλής κυκλικού τυμπάνου. Αυτοί οι τρόποι είναι ιδιοσυναρτήσεις ενός γραμμικού τελεστή σε μία συνάρτηση στο χώρο, μια σύνηθης κατασκευή στην συναρτησιακή ανάλυση.

Η συναρτησιακή ανάλυση είναι ένας κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης, που ασχολείται κυρίως με τη μελέτη των διανυσματικών χώρων μαζί με κάποιο είδος ορίου που σχετίζεται με τη δομή (π.χ. εσωτερικό γινόμενο, νόρμα ή τοπολογία) και των γραμμικών τελεστών που ενεργούν σε αυτούς τους χώρους και με σεβασμό σε αυτές τις δομές με μία κατάλληλη έννοια. Οι ιστορικές ρίζες της συναρτησιακής ανάλυσης βρίσκονται στη μελέτη των συναρτησιακών χώρων και τη διατύπωση των ιδιοτήτων των συναρτησιακών μετασχηματισμών, όπως ο μετασχηματισμός Φουριέ, ως συνεχών μετασχηματισμών μεταξύ συναρτησιακών χώρων. Αυτή η άποψη αποδείχθηκε ιδιαίτερα χρήσιμη για την μελέτη των διαφορικών εξισώσεων και των ολοκληρωτικών εξισώσεων.

Η χρήση της λέξης συνάρτησιακή πηγαίνει πίσω στον λογισμό των μεταβολών, που αναφέρεται σε μία συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι επίσης συνάρτηση. Το όνομα χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά στο βιβλίο του Ανταμάρ το 1910 πάνω σε αυτό το θέμα. Ωστόσο, η γενική έννοια της συνάρτησης είχε προηγουμένως εισαχθεί το 1887 από τον Ιταλό μαθηματικό και φυσικό Βίτο Βολτέρρα. Η μη γραμμική συναρτησιακή ανάλυση συνεχίστηκε από τους μαθητές του Ανταμάρ, συγκεκριμένα τους Fréchet και Lévy. Ο Ανταμάρ επίσης ίδρυσε τη σύγχρονη σχολή της γραμμικής συναρτησιακής ανάλυσης  που αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Ρης και την ομάδα Πολωνών μαθηματικών του Στέφαν Μπάναχ.

Στα σύγχρονα εισαγωγικά κείμενα για τη συναρτησιακή ανάλυση, το θέμα θεωρείται ως η μελέτη των διανυσματικών χώρων εφοδιασμένο με μία τοπολογία, συγκεκριμένα τους άπειρο-διάστατους χώρους. Αντίθετα, η γραμμική άλγεβρα ασχολείται κυρίως με πεπερασμένων διαστάσεων χώρους, και δεν χρησιμοποιεί τοπολογία. Ένα σημαντικό μέρος της συναρτησιακής ανάλυσης είναι η επέκταση της θεωρίας θεωρίας, ολοκλήρωσης, και πιθανοτήτων σε άπειρο-διάστατους χώρους, επίσης γνωστή ως άπειρο-διαστατική ανάλυση.

Κανονικοί διανυσματικοί χώροι

Η βασική και ιστορικά πρώτη τάξη των χώρων που μελετήθηκε στη συναρτησιακή ανάλυση είναι οι [[Πλήρης μετρικός χώρος |πλήρεις κανονικοί διανυσματικοί χώροι]] στους πραγματικούς ή τους μιγαδικούς αριθμούς. Οι χώροι αυτοί ονομάζονται χώροι Μπάναχ. Ένα σημαντικό παράδειγμα είναι ένας χώρος Χίλμπερτ, όπου η νόρμα προκύπτει από το εσωτερικό γινόμενο. Οι χώροι αυτοί είναι θεμελιώδους σημασίας για πολλούς τομείς, όπως η Κβαντική μηχανική.

Γενικότερα, η συναρτησιακή ανάλυση περιλαμβάνει τη μελέτη των χώρων Fréchet και άλλων τοπολογικών διανυσματικών χώρων που δεν είναι εφοδιασμένοι με μία νόρμα.

Ένα σημαντικό αντικείμενο μελέτης στη συναρτησιακή ανάλυση είναι η συνεχείς γραμμικοί τελεστές που ορίζονται στους χώρους Μπάναχ και Χίλμπερτ. Αυτοί αφορούν τον ορισμό των C*-αλγεβρών και άλλων φορέων αλγεβρών.

Χώροι Χίλμπερτ

Οι χώροι Χίλμπερτ μπορεί να είναι εντελώς ταξινομημένοι: υπάρχει ένας μοναδικός (ως προς ισομορφισμό) χώρος Χίλμπερτ για κάθε πληθικότητα της ορθοκανονικής βάσης. Οι Χίλμπερτ χώροι πεπερασμένων διαστάσεων, είναι πλήρως κατανοητοί στη γραμμική άλγεβρα, και οι άπειρο-διάστατοι διαχωρήσιμοι Χίλμπερτ χώροι είναι ισομορφικοί με το $\ell ^{\,2}(\aleph _{0})\,$. Με τη διαχωρισημότητα να είναι σημαντική για τις εφαρμογές, η συναρτησιακή ανάλυση των χώρων Χίλμπερτ, ασχολείται ως επί το πλείστον με αυτόν τον χώρο. Ένα από τα ανοιχτά προβλήματα στη συναρτησιακή ανάλυση είναι αν κάθε φραγμένος γραμμικός τελεστής σε έναν χώρο Χίλμπερτ έχει ένα (μη-τετριμμένο)  αμετάβλητο υποχώρο. Πολλές ειδικές περιπτώσεις του προβλήματος αμετάβλητου υποχώρου έχουν ήδη αποδειχθεί.

Χώροι Μπάναχ

Οι γενικοί χώροι Μπάναχ είναι πιο περίπλοκοι από τους, χώρους Χίλμπερτ, και δεν μπορούν να κατηγοριοποιηθούν με ένα τόσο απλό τρόπο. Ειδικότερα, πολλοί χώροι Μπάναχ στερούνται μιας ιδέας ανάλογης με μια ορθοκανονικη βαση.

Παραδείγματα χώρων Μπάναχ είναι οι χώροι $L^{\,p}$ για κάθε πραγματικό αριθμό $p\geq 1$. Δοσμένου επιπλέον ενός μέτρου $\mu$ στο σύνολο $X$, το $L^{\,p}(X)$ (συβολίζεται και ως $L^{\,p}(X,\mu )$ ή $L^{\,p}(\mu )$) έχει ως διανύσματα τις κλάσεις ισοδυναμίας $[\,f\,]$ μετρήσιμων συναρτήσεων των οποίων η απόλυτη τιμή της $p$-οστής δύναμης έχει πεπερασμένο ολοκλήρωμα, δηλαδή οι συναρτήσεις $f$ για τις οποίες ισχύει

$\int _{X}\left|f(x)\right|^{p}\,d\mu (x)<\infty$.

Αν $\mu$ είναι το μέτρο αρίθμησης, τότε το ολοκλήρωμα μπορεί να αντικατασταθεί από ένα άθροισμα, δηλαδή

$\sum _{x\in X}\left|f(x)\right|^{p}<\infty$.

Τότε δεν είναι απαραίτητο να ασχοληθούμε με κλάσεις ισοδυναμίας, και ο χώρος συμβολίζεται $\ell ^{p}(X)$, που γράφεται πιο απλά $\,\ell ^{\,p\ }$ σε περίπτωση που $X$ είναι το σύνολο των μη-αρνητικών ακεραίων.

Ένα μεγάλο μέρος της μελέτης των χώρων Μπάναχ περιλαμβάνει τον δυικό χώρο: ο χώρος όλων των συνεχών γραμμικών συναρτήσεων από το χώρο στο υποκείμενο πεδίο, το λεγόμενο συναρτησιακό. Ένας χώρος Μπάναχ μπορεί να ταυτοποιηθεί κανονικά με ένα υποδιάστημα του bidual, το οποίο είναι το διπλό τoυ διπλού χώρου. Ο αντίστοιχος χάρτη είναι μια ισομετρία , αλλά σε γενικές γραμμές δεν είναι επάνω. Ένας γενικός χώρος Μπάναχ και ο δεύτερος δυικός του δεν χρειάζεται καν να είναι ισομετρικά ισομορφικός με οποιοδήποτε τρόπο, σε αντίθεση με την περίπτωση των πεπερασμένων διαστάσεων. Αυτό εξηγείται στο άρθρο για τους δυικούς χώρους.

Επίσης, η έννοια της παραγώγου μπορεί να επεκταθεί σε αυθαίρετες συναρτήσεις μεταξύ χώρων Μπάναχ. Δείτε, για παράδειγμα, το άρθρο της παραγώγου Frechet.

Σημαντικά και θεμελιώδη αποτελέσματα

Σημαντικά αποτελέσματα της συναρτησιακής ανάλυσης περιλαμβάνουν:

Αρχή ομοιόμορφου φράγματος

Η αρχή του ομοιόμορφου φράγματος ή θεώρημα Μπάναχ-Στάινχαους είναι ένα από τα θεμελιώδη αποτελέσματα στην συναρτησιακή ανάλυση. Μαζί με το θεώρημα Χαν-Μπάναχ και το θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης, θεωρείται ένας από τους ακρογωνιαίους λίθους του κλάδου. Στην βασική του μορφή, ισχυρίζεται ότι για μια οικογένεια συνεχών γραμμικών τελεστών (και έτσι φραγμένων τελεστών) της οποίας το πεδίο είναι χώρος Μπάναχ, φραγμένη κατά σημείο είναι ισοδύναμη με ομοιόμορφα φραγμένη στο κανόνα του τελεστή.

Το θεώρημα δημοσιεύθηκε για πρώτη φορά το 1927 από τους Στέφαν Μπάναχ και Χιούγκο Στάινχαους, αλλά το είχε ήδη αποδείξει ανεξάρτητα ο Χανς Χαν.

Θεώρημα —  Έστω $X$ ένας χώρος Μπάναχ, $Y$ ένας διανυσματικός χώρος με νόρμα και $F$ είναι ένα σύνολο από συνεχείς γραμμικούς τελεστές από το $X$ στο $Y$. Αν για κάθε $x$ στο $X$ ισχύει ότι

$\sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty$,

τότε

$\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty$.

Φασματικό θεώρημα

Υπάρχουν πολλά θεωρήματα που είναι γνωστά ως φασματικό θεώρημα, αλλά το παρακάτω συγκεκριμένα έχει πολλές εφαρμογές στη συναρτησιακή ανάλυση. 

Θεώρημα (Φασματικό θεώρημα) — Έστω $A$ ένας φραγμένος αυτοσυζυγής τελεστής σε έναν χώρο Χίλμπερτ $H$. Τότε, υπάρχει ένας μετρικός χώρος $(X,\Sigma ,\mu )$ και μία ουσιωδώς φραγμένη συνάρτηση $f:X\to \mathbb {R}$ και ένας μοναδιαίος τελεστής $U:H\to L_{\mu }^{2}(X)$ τέτοιος ώστε

$U^{*}TU=A$

όπου $T$ είναι ένας πολλαπλασιαστικός τελεστής:

$[T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x)$,

και $\|T\|=\|f\|_{\infty }$.

Υπάρχει επίσης ένα ανάλογο φασματικό θεώρημα για φραγμένους κανονικούς τελεστές σε χώρους Χίλμπερτ. Η μόνη διαφορά με το συμπέρασμα είναι ότι τώρα η $f$ μπορεί να είναι συνάρτηση με μιγαδικές τιμές.

Θεώρημα Χαν-Μπάναχ

Το Θεώρημα Χαν-Μπάναχ είναι ένα κεντρικό εργαλείο στη συναρτησιακή ανάλυση. Επιτρέπει την επέκταση μίας φραγμένης γραμμικής συναρτήσης που ορίζεται σε έναν υποχώρο κάποιου διανυσματικού χώρου, σε ολόκληρο το χώρο. Δείχνει, επίσης, ότι υπάρχουν "αρκετές" συνεχείς γραμμικές συναρτήσεις που ορίζονται σε κάθε διανυσματικό χώρο με νόρμα καθιστώντας τη μελέτη του δυϊκού χώρου "ενδιαφέρουσα".

Θεώρημα (Θεώρημα Χαν-Μπάναχ) —  Έστω $p:V\to \mathbb {R}$ μία υπογραμμική συνάρτηση, και $\varphi :U\to \mathbb {R}$ ένας γραμμικός τελεστής σε έναν γραμμικό υποχώρο $U\subseteq V$ που κυριαρχείται από το $p$ στο $U$, δηλαδή

$\varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U$,

τότε υπάρχει μία γραμμική επέκταση $\psi :V\to \mathbb {R}$ του $\varphi$ σε ολόκληρο τον χώρο $V$ που κυριαρχείται από το $p$ στο $V$, δηλαδή υπάρχει ένας γραμμικός τελεστής $\psi$ τέτοιος ώστε

${\begin{aligned}\psi (x)&=\varphi (x)&\forall x\in U,\\\psi (x)&\leq p(x)&\forall x\in V.\end{aligned}}$

Θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης

Το θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης, επίσης γνωστό ως το θεώρημα Banach–Schauder (πήρε το όνομά του από τον Στέφαν Μπάναχ και Γιούλιους Σάουντερ), είναι ένα θεμελιώδες αποτέλεσμα, το οποίο αναφέρει ότι αν ένας συνεχής γραμμικός τελεστής μεταξύ των χώρων Μπάναχ είναι επί, τότε είναι μια ανοιχτή απεικόνιση. Πιο συγκεκριμένα:

Θεώρημα —  Έστω $X$ και $Y$ χώροι Μπάναχ και $A:X\to Y$ ένας γραμμικός τελεστής επί. Τότε, ο $A$ είναι ανοιχτή απεικόνιση (δηλαδή, αν $U$ είναι ένα ανοιχτό σύνολο στο $X$, τότε $A(U)$ είναι ανοιχτό στο $Y$).

Η απόδειξη χρησιμοποιεί το θεώρημα κατηγορίας του Baire και η πληρότητα των X και Y είναι απαραίτητη στο θεώρημα. Η πρόταση του θεωρήματος παύει να ισχύει αν υποθέσουμε ότι ο χώρος είναι απλά κανονικός, αλλά ισχύει αν X και Y είναι χώροι Fréchet.

Θεώρημα κλειστού γραφήματος

Το θεώρημα κλειστού γραφήματος αναφέρει τα εξής: Αν X είναι ένας τοπολογικός χώρος και Y είναι συμπαγής χώρος Χάουσντορφ, τότε η γραφική παράσταση μιας γραμμικής απεικόνισης T από X σε Y είναι κλειστή αν και μόνο αν T είναι συνεχής.

Θεμέλια των μαθηματικών σκέψεων

Οι περισσότεροι χώροι θεωρούνται ότι στη συναρτησιακη ανάλυση έχουν άπειρη διάσταση. Για να δείξουμε την ύπαρξη μιας βάσης διανυσματικού χώρου, για αυτούς τους χώρους μπορεί να χρειαστεί το Λήμμα του Τσορν. Ωστόσο, μια κάπως διαφορετική έννοια, βάση Σάουντερ, είναι συνήθως πιο σχετική προς τη συναρτησιακή ανάλυση. Πολλά σημαντικά θεωρήματα χρειάζονται το θεώρημα Χαν-Μπάναχ, συνήθως αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας το αξίωμα της επιλογής, αν και το αυστηρά ασθενέστερο θεώρημα πρωταρχικού ιδεώδους του Boole αρκεί. Το θεώρημα κατηγορίας του Baire, που χρειάζεται για να αποδείξει πολλά σημαντικά θεωρήματα, απαιτεί επίσης μια μορφή του αξιώματος της επιλογής.

Διαφορετικές οπτικές

• Αφηρημένη ανάλυση. Μια προσέγγιση για την ανάλυση με βάση τοπολογικές ομάδες, τοπολογικούς δαχτυλίους, και τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.
• Η Γεωμετρία των χώρων Μπάναχ περιέχει πολλά θέματα. Το ένα είναι η συνδυαστική προσέγγιση που συνδέεται με τον Ζαν Μπουργκέν, άλλη είναι ένας χαρακτηρισμός των χώρων Μπάναχ και διάφορες μορφές του νόμου των μεγάλων αριθμών.
• Μη ευκλείδια γεωμετρία. Αναπτύχθηκε από τον Αλέν Κον, που εν μέρει βοήθησε στο να αναπτυχθούν προηγούμενες έννοιες, όπως η προσέγγιση του Τζορτζ Μάκι για την εργοδική θεωρία.
• Σύνδεση με την κβαντική μηχανική. Είτε στενά ορισμένη όπως στην μαθηματική φυσική, είτε ευρέως ερμηνευμένη από, π.χ. τον Ισραήλ Τζέλφαντ, περιλαμβάνουν τα περισσότερα είδη της θεωρίας αναπαραστάσεων.