Εργοδικότητα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Δυναμικά Συστήματα
Ταξινόμηση
Dewey 519
MSC2010 37Axx

Στα μαθηματικά, ο όρος εργοδικό χρησιμοποιείται για να περιγράψει ένα δυναμικό σύστημα, το οποίο, σε γενικές γραμμές, έχει την ίδια συμπεριφορά με μέσο όρο το χρόνο, καθώς και κατά μέσο όρο το χώρο. Στην φυσική, ο όρος χρησιμοποιείται για να σημαίνει ότι το σύστημα πληροί την εργοδική υπόθεση της θερμοδυναμικής.

Ετυμολογία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η λέξη εργοδικό προέρχεται από τις ελληνικές λέξεις έργον και οδός, το έργο και η πορεία. Αυτό επιλέχθηκε από τον Λούντβιχ Μπόλτσμαν, ενώ εργαζόταν πάνω σε ένα πρόβλημα στην στατιστική μηχανική.

Επίσημος ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ας είναι (X,\; \Sigma ,\; \mu\,) ένας χώρος πιθανοτήτων, και έστω T:X \to X ένας μετασχηματισμός που διατηρεί το μέτρο. Λέμε ότι ο Τ είναι εργοδικός σε σχέση με το \mu (ή, εναλλακτικά, ότι το \mu είναι εργοδικό σε σχέση με το Τ ' »), εάν ένα από τα ακόλουθα είναι αλήθεια:

  • Για κάθε  E \in \Sigma με T^{-1}(E)=E\, είτε \mu(E)=0\, ή \mu(E)=1\,.
  • Για κάθε  E \in \Sigma με \mu(T^{-1}(E)\bigtriangleup E)=0, είτε \mu(E)=0\, ή \mu(E)=1\, (όπου \bigtriangleup δηλώνει την συμμετρική διαφορά).
  • Για κάθε  E \in \Sigma με θετικό μέτρο έχουμε \mu(\cup_{n=1}^\infty T^{-n}E) = 1 .
  • Για κάθε δύο σύνολαΕκαιΗ θετικού μέτρου, υπάρχει μιαn> 0 τέτοιο ώστε \mu(T^{-n}E\cap H)>0.

Μετρήσιμες ροές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι ορισμοί αυτοί έχουν φυσικά ανάλογα και στην περίπτωση των μετρήσιμων ροών και, γενικότερα, σε πράξεις ημιομάδων που αφήνουν αναλλοίωτο το μέτρο. Ας είναι {Tt} μια μετρήσιμη ροή στο (X, Σ, μ). Ένα στοιχείοΑτηςΣείναι αναλλοίωτο mod 0 υπό {Tt} αν

\mu(T^{t}(A)\bigtriangleup A)=0

για κάθε tR. Μετρήσιμα σύνολα αναλλοίωτα mod 0 υπό μια ροή ή μιας δράσης ημιομάδας σχηματίζουν αναλλοίωτη υποάλγεβρα της Σ, και το αντίστοιχο δυναμικό σύστημα που διατηρεί το μέτρο είναι εργοδικό αν η αναλλοίωτη υποάλγεβρα είναι η τετριμμένη σ-άλγεβρα που αποτελούνται από τα σύνολα με μέτρο 0 και τα συμπληρώματα αυτών στο Χ.

Μαρκοβιανές Αλυσίδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε μια Μαρκοβιανή Αλυσίδα, η κατάσταση i λέγεται ότι είναι εργοδική αν είναι απεριοδική και θετικά επαναλαμβανόμενη. Εάν όλες οι καταστάσεις σε μια Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι εργοδικές, τότε η αλυσίδα λέγεται ότι είναι εργοδική.

Εργοδική αποσύνθεση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εννοιολογικά, εργοδικότητα ενός δυναμικού συστήματος είναι μια ορισμένη αμειωτική ιδιότητα, παρόμοια με τις έννοιες της αμείωτης εκπροσώπησης στην άλγεβρα και του πρώτου αριθμού στην αριθμητική. Ένα γενικό μετασχηματισμός διατήρησης μέτρου ή μια ροή σε ένα χώρο Lebesgue λαμβάνει μια κανονική αποσύνθεση και έτσι αναλύεται σε εργοδικές συνιστώσες, καθεμιά από τις οποίες είναι εργοδική.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Walters, Peter (1982), An Introduction to Ergodic Theory, Springer, ISBN 0387951520 
  • Brin, Michael; Garrett, Stuck (2002), Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, ISBN 0521808413 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Wiktionary logo
Το Βικιλεξικό έχει λήμμα που έχει σχέση με το λήμμα: