Διαχωρίσιμος μετρικός χώρος

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στην τοπολογία και άλλες σχετικές περιοχές στα μαθηματικά, ένας τοπολογικός χώρος καλείται διαχωρίσιμος (separable), αν περιέχει ένα αριθμήσιμο πυκνό σύνολο δηλαδή, ένα σύνολο με αριθμήσιμο πλήθος στοιχείων, του οποίου η κλειστότητα είναι ολόκληρος ο χώρος. Αυτή η συνθήκη είναι τυπική για χώρους που συναντώνται στην κλασσική ανάλυση και γεωμετρία. Με τον ίδιο τρόπο που κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να προσεγγιστεί με οσηδήποτε ακρίβεια από ρητούς αριθμούς, ένας διαχωρίσιμος χώρος περιέχει ένα αριθμήσιμο υποσύνολο του οποίου τα στοιχεία μπορούν να προσεγγιστούν, με την έννοια του ορίου.

Οι διαχωρίσιμοι χώροι είναι τοπολογικοί χώροι με ορισμένους περιορισμούς στο μέγεθός τους. Η ιδιότητα της διαχωρισιμότητας αναφέρεται συχνά ως ένα από τα αξιώματα της αριθμησιμότητας. Από την σκοπιά της αξιωματικής θεμελίωσης, η διαχωρισιμότητα ήταν μάλλον υποεκτιμημένη την περίοδο 1940 έως 1960 — όπου προηγουμένως ήταν έννοια βασική στην περιγραφική συνολοθεωρία. Αργότερα τα πράγματα άλλαξαν και συχνά τα συγγράμματα επίλεγαν να εισάγουν την διαχωρισιμότητα, αποδεικνύοντας λιγότερα γενικά θεωρήματα (Αυτή η στάση υιοθετήθηκε, για παράδειγμα, από τον Jean Dieudonné).

Η διαχωρισιμότητα είναι σημαντική έννοια στην αριθμητική ανάλυση και στα κατασκευαστικά μαθηματικά, εφόσον πολλά θεωρήματα στους μετρικούς χώρους έχουν κατασκευαστικές αποδείξεις μόνο για διαχωρίσιμους χώρους. Τέτοιες κατασκευαστικές αποδείξεις μπορούν να μετατραπούν σε αλγορίθμους για χρήση στην αριθμητική ανάλυση, και μάλιστα είναι και το μοναδικό είδος αποδείξεων που είναι αποδεκτό στην κατασκευαστική ανάλυση. Ένα διάσημο παράδειγμα τέτοιου θεωρήματος είναι το θεώρημα Hahn-Banach.