Μετάβαση στο περιεχόμενο

Προσεταιριστική ιδιότητα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στα μαθηματικά, η προσεταιριστική ιδιότητα είναι μία ιδιότητα που ικανοποιεί μία δυαδική πράξη, που λέει ότι η σειρά με την οποία εφαρμόζεται η πράξη δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. Η πιο γνωστή τέτοια πράξη είναι η πρόσθεση στους φυσικούς αριθμούς, όπου για κάθε , ισχύει ότι

.

Για παράδειγμα, οι παρενθέσεις στις παρακάτω πράξεις δεν επηρεάζουν το τελικό αποτέλεσμα:

(5+2)+1 = 7 + 1 = 8
5+(2+1) = 5 + 3 = 8

Η ισότητα αυτή δεν εξαρτάται από τις συγκεκριμένες τιμές 5, 2 και 1 του παραδείγματος, αλλά ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς (και πιο γενικά για όλους τους πραγματικούς αριθμούς). Επομένως, λέμε ότι "η πρόσθεση πραγματικών αριθμών έχει την προσεταιριστική ιδιότητα". Αντίστοιχα, και ο πολλαπλασιασμός ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα, αλλά όχι η διαίρεση και η ύψωση σε δύναμη.

Πιο γενικά, για ένα σύνολο μία δυαδική πράξη ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα αν για κάθε στοιχεία ισχύει ότι

.
  • Η διαίρεση δεν ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα,
, ενώ .
  • Η ύψωση σε δύναμη δεν ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα,
, ενώ .

Πρακτικά αυτό εξυπηρετεί μερικές φορές π.χ. για να προσθέσουμε νοητά τους αριθμούς 5 + 4 + 5 + 10 + 2 με μεγαλύτερη ευκολία. Μπορούμε να σκεφτούμε «5 συν 5 συν 10 ίσον είκοσι» και «4 συν 2 ίσον έξι» επομένως το σύνολο είναι είκοσι έξι, αντί να μπλεχτούμε με πράξεις όπως 5 συν 4 ίσον 9 συν 5 ίσον 14 κλπ.

Στην πληροφορική, κάποιοι αλγόριθμοι εκμεταλλεύονται την προσεταιριστική ιδιότητα και αλλάζουν την σειρά των πράξεων ώστε να γίνει πιο αποτελεσματικά η εκτέλεσή τους. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι ο αλγόριθμος για τον πολλαπλασιασμό αλληλουχίας πινάκων.[4]

  1. Χαραλάμπους, Χαρά Μυρτώ Αγάπη· Φωτιάδης, Ανέστης. Μια εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα. ISBN 978-960-603-273-8. 
  2. Θεοχάρη Αποστολίδου, Θεοδώρα. Εισαγωγή στη θεωρία ομάδων. ISBN 978-960-603-334-6. 
  3. Ασημάκης, Νικόλαος· Αδάμ, Μαρία. Σήματα και Συστήματα. σελ. 84. ISBN 978-960-603-116-8. 
  4. Ιωάννης Τόλλης. «Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: Δυναμικός Προγραμματισμός» (PDF). Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών, Πανεπιστήμιο Κρήτης.