Κύβος (άλγεβρα)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
y = x3, 0 ≤ x ≤ 25
Ο κύβος του Ρούμπικ σχηματίζεται από 27 μικρότερους στερεούς κύβους. Συνεπώς ο αριθμός 27 είναι τέλειος κύβος.

Στα μαθηματικά κύβος ενός αριθμού π.χ. \alpha, ονομάζεται η τρίτη δύναμη του αριθμού αυτού, δηλαδή \alpha \times \alpha \times \alpha. Η ονομασία "κύβος" ή "κύβος αριθμού" λήφθηκε από το γεγονός ότι η τρίτη δύναμη ενός αριθμού παριστά και τον όγκο του κύβου που έχει ακμή (πλευρά) τον αριθμό αυτό.

Οι θετικοί κύβοι ή τέλειοι κύβοι μέχρι το 603 είναι (OEIS:A000578):

13 = 1 113 = 1331 213 = 9261 313 = 29,791 413 = 68,921 513 = 132,651
23 = 8 123 = 1728 223 = 10,648 323 = 32,768 423 = 74,088 523 = 140,608
33 = 27 133 = 2197 233 = 12,167 333 = 35,937 433 = 79,507 533 = 148,877
43 = 64 143 = 2744 243 = 13,824 343 = 39,304 443 = 85,184 543 = 157,464
53 = 125 153 = 3375 253 = 15,625 353 = 42,875 453 = 91,125 553 = 166,375
63 = 216 163 = 4096 263 = 17,576 363 = 46,656 463 = 97,336 563 = 175,616
73 = 343 173 = 4913 273 = 19,683 373 = 50,653 473 = 103,823 573 = 185,193
83 = 512 183 = 5832 283 = 21,952 383 = 54,872 483 = 110,592 583 = 195,112
93 = 729 193 = 6859 293 = 24,389 393 = 59,319 493 = 117,649 593 = 205,379
103 = 1000 203 = 8000 303 = 27,000 403 = 64,000 503 = 125,000 603 = 216,000

Σε γεωμετρικούς όρους, ένας θετικός αριθμός m είναι τέλειος κύβος αν και μόνο αν είναι δυνατόν να διαταχθούν m κύβοι (ενν. στερεά) με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίζουν ένα μεγαλύτερο κύβο. Για παράδειγμα 27 μικροί κύβοι μπορούν να διαταχθούν έτσι ώστε να σχηματίζουν έναν μεγαλύτερο (συγκεκριμένα με την μορφή ενός κύβου του Ρούμπικ), διότι 3 x 3 x 3 = 33 = 27.

Η διαφορά κύβων ανάμεσα σε διαδοχικούς ακεραίους μπορεί να εκφραστεί ως:

n3 − (n − 1)3 = 3(n − 1)n + 1.

ή

(n + 1)3n3 = 3(n + 1)n + 1.

Δεν υπάρχει ελάχιστος τέλειος κύβος διότι ο αρνητικός ακέραιος υψωμένος στην τρίτη είναι αρνητικός. Για παράδειγμα, (−4) × (−4) × (−4) = −64.

Στους ακεραίους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το πρόβλημα του Waring για κύβους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Πρόβλημα του Waring

Κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να γραφεί ως άθροισμα το πολύ εννέα θετικών κύβων. Το άνω φράγμα των εννέα κύβων δεν μπορεί να ελαττωθεί διότι, παραδείγματος χάριν, το 23 δεν είναι δυνατό να γραφεί ως άθροισμα λιγότερων από εννέα κύβων:

23 = 23 + 23 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13.

Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά για κύβους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η εξίσωση x3 + y3 = z3 δεν έχει λύσεις πέραν της τετριμένης (δηλ για xyz ≠ 0) στο σύνολο των ακεραίων. Για την ακρίβεια δεν έχει λύσεις στους ακεραίους Euler.[1][N 1]

Τα παραπάνω ισχύουν επίσης για την εξίσωση:[2] x3 + y3 = 3z3.

Άθροισμα των πρώτων n κύβων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το άθροισμα των πρώτων n κύβων είναι ο nστος τριγωνικός αριθμός[N 2] στο τετράγωνο:

1^3+2^3+\dots+n^3 = (1+2+\dots+n)^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.

Για παράδειγμα, το άθροισμα των πρώτων πέντε κύβων είναι το τετράγωνο του 5ου τριγωνικού αριθμό:

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3 = 15^2 \,


Παρόμοιο αποτέλεσμα δίδει και το άθροισμα των πρώτων y περιττών κύβων,

1^3+3^3+\dots+(2y-1)^3 = (xy)^2

όμως τα x και y πρέπει να είναι λύσεις της εξίσωσης x^2-2y^2 = -1.

Παραδείγματα:

Για y = 5 έχουμε:

1^3+3^3+\dots+9^3 = (7\cdot 5)^2 \,

και για 29,

1^3+3^3+\dots+57^3 = (41\cdot 29)^2


Κάθε άρτιος τέλειος αριθμός, εκτός από τον πρώτο, επίσης είναι άθροισμα των πρώτων 2(p−1)/2 περιττών κύβων:

28 = 2^2(2^3-1) = 1^3+3^3

Άθροισμα κύβων αριθμών σε αριθμητική πρόοδο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχουν παραδείγματα κύβων αριθμών σε αριθμητική πρόοδο, το άθροισμα των οποίων είναι κύβος:

3^3+4^3+5^3 = 6^3
11^3+12^3+13^3+14^3 = 20^3
31^3+33^3+35^3+37^3+39^3+41^3 = 66^3

Οι κύβοι ως αθροίσματα διαδοχικών περιττών ακεραίων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην ακολουθία περιττών ακεραίων 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., το 1 είναι κύβος (1 = 13), το άθροισμα των επόμενων δύο αριθμών είναι ο επόμενος κύβος (3+5 = 23), το άθροισμα των επόμενων τριών είναι αμέσως επόμενος κύβος (7+9+11 = 33) και ούτω καθεξής.

Στους ρητούς[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κάθε θετικός ρητός αριθμός είναι άθροισμα τριών θετικών ρητών κύβων,[3] ενώ υπάρχουν ρητοί που δεν είναι άθροισμα δύο ρητών κύβων.[4]

Στους πραγματικούς αριθμούς[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Γραφική παράσταση της f(x) = x³ στο καρτεσιανό επίπεδο

Η συνάρτηση f(x) = x3 είναι γνησίως αύξουσα και έχει πεδίο ορισμού καθώς και σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η πρώτη παράγωγός της είναι 3x2.

Ιστορικό[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πολλοί αρχαίοι πολιτισμοί ασχολήθηκαν με την εύρεση των κύβων μεγάλων αριθμών. Μαθηματικοί της αρχαίας Μεσοποταμίας είχαν πίνακες για των υπολογισμό κύβων και κυβικών ριζών ήδη από την Πρώτη Βαβυλωνιακή Δυναστεία (20ος - 16ος αιώνας π.Χ)[5][6] ενώ ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Διόφαντος ασχολήθηκε με την επίλυση κυβικών εξισώσεων.[7] Ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς ανέπτυξε μέθοδο εύρεσης των κυβικών ριζών.[8]

Μέθοδοι επιλύσεως κυβικών εξισώσεων αναφέρονται στο έργο Τα Εννέα Κεφάλαια της Μαθηματικής Τέχνης, ένα κινεζικό εγχειρίδιο μαθηματικών του 2ου αιώνα π.Χ., το οποίο σώζεται με τον σχολιασμό του Liu Hui από τον 3ο αιώνα μ.Χ.[9] Ο Ινδός μαθηματικός Aryabhata έγραψε ερμηνεία των κύβων στο έργο του Aryabhatiya. Το 2010 ο Alberto Zanoni ανέπτυξε νέο ταχύτερο αλγόριθμο για τον υπολογισμό του κύβου ενός μεγάλου ακεραίου σε καθορισμένο εύρος.new algorithm[10]

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Γνωστοί και ως ακέραιοι Eisenstein
  2. Ο nοστός τριγωνικός αριθμός είναι: T_n= \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2} Για παράδειγμα T_3 = 1+2+3 = 6

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Hardy & Wright, Thm. 227
  2. Hardy & Wright, Thm. 232
  3. Hardy & Wright, Thm. 234
  4. Hardy & Wright, Thm. 233
  5. Cooke, Roger (8 November 2012). The History of Mathematics. John Wiley & Sons. σελ. 63. ISBN 978-1-118-46029-0. 
  6. Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia. Greenwood Publishing Group. σελ. 306. ISBN 978-0-313-29497-6. 
  7. Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5
  8. Smyly, J. Gilbart (1920). «Heron's Formula for Cube Root». Hermathena (Trinity College Dublin) 19 (42): 64–67. 
  9. Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. σελ. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0. 
  10. http://www.springerlink.com/content/q1k57pr4853g1513/


Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Cube (algebra) (έκδοση 667340810) της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).