Πίνακας μετατόπισης

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας μετατόπισης είναι ένας δυαδικός πίνακας με μονάδες μόνο στην υπερδιαγώνιο ή υποδιαγώνιο και μηδενικά αλλού. Ένας πίνακας μετατόπισης U με μονάδες στην υπερδιαγώνιο είναι ένας άνω πίνακας μετατόπισης. Ο εναλλακτικός υποδιαγώνιος πίνακας L είναι αναπάντεχα γνωστός ως κάτω πίνακας μετατόπισης. Η (i, j )η συνιστώσα των U και L είναι

$U_{ij}=\delta _{i+1,j},\quad L_{ij}=\delta _{i,j+1},$

όπου $\delta _{ij}$ είναι το σύμβολο δέλτα Κρόνεκερ.

Παραδείγματος χάριν, οι πίνακες μετατόπισης 5 × 5 είναι

$U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad L_{5}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.$

Προφανώς, η αντιστροφή ενός κάτω πίνακα μετατόπισης είναι ένας άνω πίνακας μετατόπισης και αντίστροφα.

Ως γραμμικός μετασχηματισμός, ένας πίνακας κάτω μετατόπισης μετατοπίζει τις συνιστώσες ενός διανύσματος στήλης κατά μία θέση προς τα κάτω, με ένα μηδέν να εμφανίζεται στην πρώτη θέση. Ένας άνω πίνακας μετατόπισης μετατοπίζει τις συνιστώσες ενός διανύσματος στήλης κατά μία θέση προς τα πάνω, με ένα μηδέν να εμφανίζεται στην τελευταία θέση .

Ο προπολλαπλασιασμός ενός πίνακα Α με έναν κατώτερο πίνακα μετατόπισης έχει ως αποτέλεσμα τα στοιχεία του Α να μετατοπίζονται προς τα κάτω κατά μία θέση, με τα μηδενικά να εμφανίζονται στην επάνω σειρά. Ο μεταπολλαπλασιασμός με έναν κατώτερο πίνακα μετατόπισης έχει ως αποτέλεσμα μια μετατόπιση προς τα αριστερά. Παρόμοιες πράξεις με έναν άνω πίνακα μετατόπισης έχουν ως αποτέλεσμα την αντίθετη μετατόπιση.

Είναι σαφές ότι όλοι οι πίνακες μετατόπισης πεπερασμένων διαστάσεων είναι Μηδενοδύναμοί- ένας πίνακας μετατόπισης n × n S γίνεται μηδενικός πίνακας όταν ανυψώνεται στη δύναμη της διάστασής του n.

Οι πίνακες μετατόπισης δρουν σε χώρους μετατόπισης. Οι άπειρης διάστασης πίνακες μετατόπισης είναι ιδιαίτερα σημαντικοί για τη μελέτη των εργοδικών συστημάτων. Σημαντικά παραδείγματα απειροδιάστατων μετατοπίσεων είναι η μετατόπιση Μπερνούλι, η οποία δρα ως μετατόπιση στο χώρο Κάντορ, και ο χάρτης Γκάους, ο οποίος δρα ως μετατόπιση στο χώρο των συνεχιζόμενων κλασμάτων (δηλαδή στο χώρο Μπαίρ).

Ιδιότητες

Έστω L και U οι n × n πίνακες κάτω και άνω μετατόπισης, αντίστοιχα. Οι ακόλουθες ιδιότητες ισχύουν τόσο για τον U όσο και για τον L. Ας παραθέσουμε επομένως μόνο τις ιδιότητες για το U:

• det(U) = 0
• tr(U) = 0
• rank(U) = n − 1
• Τα χαρακτηριστικά πολυώνυμα του U είναι

  $p_{U}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}.$

• Uⁿ = 0. Αυτό προκύπτει από την προηγούμενη ιδιότητα μέσω του θεωρήματος Κέιλι-Χάμιλτον.
• Το μόνιμο του U είναι 0.

Οι ακόλουθες ιδιότητες δείχνουν πώς σχετίζονται τα U και L:

• L^T = U; U^T = L
• Οι μηδενικοί χώροι U και L είναι

  $N(U)=\operatorname {span} \left\{(1,0,\ldots ,0)^{\mathsf {T}}\right\},$

  $N(L)=\operatorname {span} \left\{(0,\ldots ,0,1)^{\mathsf {T}}\right\}.$

• Το φάσμα των U και L είναι $\{0\}$.Η αλγεβρική πολλαπλότητα του 0 είναι n, και η γεωμετρική πολλαπλότητα είναι 1. Από τις εκφράσεις για τους μηδενικούς χώρους, προκύπτει ότι (μέχρι μια κλιμάκωση) το μόνο ιδιοδιάνυσμα για το U είναι $(1,0,\ldots ,0)^{\mathsf {T}}$, και το μοναδικό ιδιοδιάνυσμα για το L είναι $(0,\ldots ,0,1)^{\mathsf {T}}$.
• Για LU και UL έχουμε
  $UL=I-\operatorname {diag} (0,\ldots ,0,1),$
  $LU=I-\operatorname {diag} (1,0,\ldots ,0).$
  Αυτοί οι πίνακες είναι και οι δύο ταυτοδύμαμοι, συμμετρικοί και έχουν τον ίδιο βαθμό με τους U και L.
• L^n−aU^n−a + L^aU^a = U^n−aL^n−a + U^aL^a = I (ο πίνακας ταυτότητας), για κάθε ακέραιο α μεταξύ 0 και n συμπεριλαμβανομένου.

Αν ο Ν είναι οποιοσδήποτε μηδενικός πίνακας, τότε ο Ν είναι παρόμοιος με έναν σύνθετο διαγώνιο πίνακα της μορφής

${\begin{pmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{pmatrix}}$

όπου καθένα από τα σύνθετα S₁, S₂, ..., S_r είναι ένας πίνακας μετατόπισης (ενδεχομένως διαφορετικών μεγεθών).

Παραδείγματα

$S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}};\quad A={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.$

Τότε,

$SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}};\quad AS={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}.$

Προφανώς υπάρχουν πολλές πιθανές μεταθέσεις. Για παράδειγμα, $S^{\mathsf {T}}AS$ ισούται με τον πίνακα A μετατοπισμένο προς τα πάνω και αριστερά κατά μήκος της κύριας διαγωνίου.

$S^{\mathsf {T}}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.$

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Τριγωνικός πίνακας
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Δυναμικό σύστημα
• Διωνυμικός συντελεστής
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
• Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Integral Matrices
• An Introduction to Computational Physics
• Control Theory Methods in Economics
• Numerical Fourier Analysis
• Compositions of Quadratic Forms, Τόμος 33
• Symmetrical Analysis Techniques for Genetic Systems and Bioinformatics ...
• Fundamentals of Matrix Analysis with Applications.

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 
• Sylvester, J. (1884). «Sur l'equations en matrices $px=xq$». :C. R. Acad. Sci. Paris 99 (2): 67–71, 115–116. 
• Seberry, J.; Wysocki, B.; Wysocki, T. (2005). «On some applications of Hadamard matrices». Metrika 62 (2–3): 221–239. doi:10.1007/s00184-005-0415-y. https://ro.uow.edu.au/infopapers/595. 
• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd έκδοση). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (2004). Handbook of Mathematics (4th έκδοση). New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43491-7. 
• Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Finite-Dimensional Vector Spaces (2nd έκδοση). Springer. ISBN 0-387-90093-4. 
• Horn, Roger A.· Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (Second έκδοση). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83940-2. 
• Katznelson, Yitzhak· Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduction to Linear Algebra. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9. 

Παραπομπές

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X, https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau 
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016 
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6