Δέλτα του Κρόνεκερ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στα Μαθηματικά, το δέλτα του Κρόνεκερ (ή αλλιώς σύμβολο του Κρόνεκερ) είναι η διακριτή εκδοχή της συνάρτησης δέλτα του Ντιράκ.

Αυστηρότερα, το δέλτα του Κρόνεκερ ορίζεται με τον εξής τρόπο:

 \delta_{ij}=\begin{cases} 0, \ i\ne j \\ 1, \ i=j \end{cases}

Μιγαδική ανάλυση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στα πλαίσια της μιγαδικής ανάλυσης, το δέλτα του Κρόνεκερ μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή του παρακάτω ολοκληρώματος βρόχου:

 \delta_{mn}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}z^{m-n-1}dz

όπου m,n ακέραιοι και i η φανταστική μονάδα. Ο βρόχος C ταυτίζεται με τον μοναδιαίο κύκλο.

Γραμμική άλγεβρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στα πλαίσια της γραμμικής άλγεβρας, το δέλτα του Κρόνεκερ μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή ενός συμμετρικού πίνακα διάστασης N×N όπου Ν είναι ο συνολικός αριθμός των (θετικών) ακεραίων τιμών που μπορούν να πάρουν οι δείκτες.

Συγκεκριμένα, αν i,j=1,2,3 τότε το δέλτα του Κρόνεκερ μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή ενός 3×3 πίνακα:

 \delta_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Στην αναπαράσταση πίνακα λοιπόν, το δέλτα του Κρόνεκερ ταυτίζεται με τον μοναδιαίο πίνακα.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε τρεις διαστάσεις (i,j=1,2,3) το δέλτα του Κρόνεκερ παρουσιάζει τις παρακάτω ιδιότητες:

  • \delta_{ii}=3 \ \ \
  • \delta_{ij}\epsilon_{ijk}=0
  • \epsilon_{ipq}\epsilon_{jpq}=2\delta_{ij}
  • \epsilon_{ijk}\epsilon_{pqk}=\delta_{ip}\delta_{jq}-\delta_{iq}\delta_{jp}

όπου εijk το σύμβολο μετάθεσης. Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις έγινε χρήση της σύμβασης άθροισης του Αϊνστάιν.

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Wolfram Mathworld. «Kronecker Delta». http://mathworld.wolfram.com/KroneckerDelta.html.