Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Στην γραμμική άλγεβρα , ένας πίνακας
A
{\displaystyle A}
μιγαδικές τιμές λέγεται αντιερμιτιανός (ή αντι-Ερμιτιανός ) αν είναι ίσος με τον αντίθετο του Ερμιτιανό συζηγή του,[1] :192 [2] :6 δηλαδή αν
A
=
−
A
H
{\displaystyle A=-A^{H}}
(
A
H
)
i
j
=
A
¯
j
i
,
{\displaystyle (A^{H})_{ij}={\overline {A}}_{ji},}
και
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
συζηγής του μιγαδικού αριθμού
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
Η γενική μορφή ενός αντιερμιτιανού πίνακα διαστάσεων
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
n
=
2
,
3
,
4
{\displaystyle n=2,3,4}
[
A
11
−
A
¯
12
A
12
A
22
]
⏟
2
×
2
[
A
11
−
A
¯
12
−
A
¯
13
A
12
A
22
−
A
¯
23
A
13
A
23
A
33
]
⏟
3
×
3
[
A
11
−
A
¯
12
−
A
¯
13
−
A
¯
14
A
12
A
22
−
A
¯
23
−
A
¯
24
A
13
A
23
A
33
−
A
¯
34
A
14
A
24
A
34
A
44
]
⏟
4
×
4
,
{\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&{\color {red}{-{\overline {A}}_{12}}}\\{\color {red}{A_{12}}}&A_{22}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&{\color {red}{-{\overline {A}}_{12}}}&{\color {blue}{-{\overline {A}}_{13}}}\\{\color {red}{A_{12}}}&A_{22}&{\color {green}{-{\overline {A}}_{23}}}\\{\color {blue}{A_{13}}}&{\color {green}{A_{23}}}&A_{33}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&{\color {red}{-{\overline {A}}_{12}}}&{\color {blue}{-{\overline {A}}_{13}}}&{\color {orange}{-{\overline {A}}_{14}}}\\{\color {red}{A_{12}}}&A_{22}&{\color {green}{-{\overline {A}}_{23}}}&{\color {purple}{-{\overline {A}}_{24}}}\\{\color {blue}{A_{13}}}&{\color {green}{A_{23}}}&A_{33}&{\color {magenta}{-{\overline {A}}_{34}}}\\{\color {orange}{A_{14}}}&{\color {purple}{A_{24}}}&{\color {magenta}{A_{34}}}&A_{44}\end{bmatrix}} _{4\times 4},}
όπου με ίδιο χρώμα (εκτός του μαύρου) είναι τα στοιχεία που πρέπει να σχετίζονται μεταξύ τους σε έναν αντιερμιτιανό πίνακα. Τα στοιχεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο . Τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου πρέπει να είναι φανταστικοί αριθμοί .
Η ονομασία είναι προς τιμήν του μαθηματικού Σαρλ Ερμίτ .
Μερικά παραδείγματα είναι τα εξής:
[
2
3
−
i
−
3
+
i
4
]
[
4
0.7
−
0.2
i
−
6
+
2
i
−
0.7
+
0.2
i
−
6.1
−
2.4
−
4
i
6
−
2
i
2.4
+
4
i
7.3
]
[
9
6
+
i
0
2.3
+
7
i
−
6
−
i
3
0.7
−
0.2
i
2.2
−
0.5
i
0
0.7
+
0.2
i
0
3
−
2
i
−
2.3
−
7
i
−
2.2
+
0.5
i
−
3
+
2
i
−
2
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&\color {red}{3-i}\\\color {red}{-3+i}&4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}4&\color {red}{0.7-0.2i}&\color {blue}{-6+2i}\\\color {red}{-0.7+0.2i}&-6.1&\color {green}{-2.4-4i}\\\color {blue}{6-2i}&\color {green}{2.4+4i}&7.3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}9&\color {red}{6+i}&\color {blue}{0}&\color {orange}{2.3+7i}\\\color {red}{-6-i}&3&\color {green}{0.7-0.2i}&\color {purple}{2.2-0.5i}\\\color {blue}{0}&\color {green}{0.7+0.2i}&0&\color {magenta}{3-2i}\\\color {orange}{-2.3-7i}&\color {purple}{-2.2+0.5i}&\color {magenta}{-3+2i}&-2\end{bmatrix}}.}
[
5
7
7
−
3
]
[
2
4.8
−
6
4.8
−
5.1
−
3.4
−
6
−
3.4
2.2
]
[
−
10
2.1
0
4.7
2.1
0
−
0.7
2.2
0
−
0.7
2
3.5
4.7
2.2
3.5
−
5
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&\color {red}{7}\\\color {red}{7}&-3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&\color {red}{4.8}&\color {blue}{-6}\\\color {red}{4.8}&-5.1&\color {green}{-3.4}\\\color {blue}{-6}&\color {green}{-3.4}&2.2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}-10&\color {red}{2.1}&\color {blue}{0}&\color {orange}{4.7}\\\color {red}{2.1}&0&\color {green}{-0.7}&\color {purple}{2.2}\\\color {blue}{0}&\color {green}{-0.7}&2&\color {magenta}{3.5}\\\color {orange}{4.7}&\color {purple}{2.2}&\color {magenta}{3.5}&-5\end{bmatrix}}.}
Επομένως, και ο μηδενικός πίνακας είναι αντιερμιτιανός.
Απόδειξη
Θέτοντας
i
=
j
{\displaystyle i=j}
A
i
i
=
(
A
H
)
i
i
=
A
¯
i
i
{\displaystyle A_{ii}=(A^{H})_{ii}={\overline {A}}_{ii}}
και επομένως
A
i
i
{\displaystyle A_{ii}}
Η ορίζουσα ενός Ερμιτιανού πίνακα είναι φανταστικός αριθμός.[1] : 203
Απόδειξη
Από τον ορισμό της ορίζουσας, έχουμε ότι
d
e
t
(
A
)
=
d
e
t
(
−
A
H
)
=
−
∏
σ
∈
S
n
ϵ
σ
(
1
)
…
σ
(
n
)
A
¯
1
σ
(
1
)
⋅
…
⋅
A
¯
n
σ
(
n
)
=
−
∏
σ
∈
S
n
ϵ
σ
(
1
)
…
σ
(
n
)
A
1
σ
(
1
)
⋅
…
⋅
A
n
σ
(
n
)
¯
=
−
∏
σ
∈
S
n
ϵ
σ
(
1
)
…
σ
(
n
)
A
1
σ
(
1
)
⋅
…
⋅
A
n
σ
(
n
)
¯
=
−
d
e
t
(
A
)
¯
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {det} (A)=\mathrm {det} (-A^{H})&=-\prod _{\sigma \in S_{n}}\epsilon _{\sigma (1)\ldots \sigma (n)}{\overline {A}}_{1\sigma (1)}\cdot \ldots \cdot {\overline {A}}_{n\sigma (n)}\\&=-\prod _{\sigma \in S_{n}}\epsilon _{\sigma (1)\ldots \sigma (n)}{\overline {A_{1\sigma (1)}\cdot \ldots \cdot A_{n\sigma (n)}}}\\&=-{\overline {\prod _{\sigma \in S_{n}}\epsilon _{\sigma (1)\ldots \sigma (n)}A_{1\sigma (1)}\cdot \ldots \cdot A_{n\sigma (n)}}}\\&=-{\overline {\mathrm {det} (A)}},\end{aligned}}}
επομένως
d
e
t
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {det} (A)}
Το άθροισμα δύο αντιερμιτιανών πινάκων είναι αντιερμιτιανός.
Απόδειξη
Από τις ιδιότητες του Ερμιτιανού συζυγή, έχουμε ότι
(
A
+
B
)
H
=
A
H
+
B
H
=
−
A
+
(
−
B
)
=
−
(
A
+
B
)
{\displaystyle (A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}=-A+(-B)=-(A+B)}
Ο αντίστροφος ενός αντιερμιτιανού πίνακα είναι αντιερμιτιανός.
Απόδειξη
Από τις ιδιότητες του Ερμιτιανού συζυγή και του αντιστρόφου, έχουμε ότι
(
A
−
1
)
H
=
(
A
H
)
−
1
=
−
A
−
1
{\displaystyle (A^{-1})^{H}=(A^{H})^{-1}=-A^{-1}}
Για κάθε διάνυσμα
v
∈
C
{\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} }
v
H
A
v
{\displaystyle \mathbf {v} ^{H}A\mathbf {v} }
Απόδειξη
(
v
H
A
v
)
H
=
v
H
A
H
v
=
−
v
H
A
v
{\displaystyle (\mathbf {v} ^{H}A\mathbf {v} )^{H}=\mathbf {v} ^{H}A^{H}\mathbf {v} =-\mathbf {v} ^{H}A\mathbf {v} }
