Μπενουά Μάντελμπροτ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Μπενουά Μάντελμπροτ
Mandelbrot p1130861.jpg
Γέννηση
Βαρσοβία
Θάνατος
Κέιμπριτζ
Αιτία θανάτου Καρκίνος στο πάγκρεας
Υπηκοότητα Πολωνία, Γαλλία και Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής
Ιδιότητα μαθηματικός, οικονομολόγος, καθηγητής, επιστήμονας και συγγραφέας
Βραβεύσεις Αξιωματικός της Λεγεώνας της Τιμής, IBM Fellow, βραβείο επιστημονικού επιτεύγματος Ουίλιαμ Πρόκτερ, Βραβείο Φυσικής Γούλφ (), Μετάλλιο Φράνκλιν (), Βραβείο Χάρβεϊ (), John Scott Medal () και βραβείο της Ιαπωνίας ()
Σχολές Φοίτησης Lycée du Parc (), Πολυτεχνική Σχολή του Παρισιού (), Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Καλιφόρνιας () και Πανεπιστήμιο του Παρισιού ()
Εργοδότης IBM, Πανεπιστήμιο Γέιλ (), Ινστιτούτου Προηγμένων Μελετών, πανεπιστήμιο της Λιλ και Εθνικό Κέντρο Επιστημονικών Ερευνών της Γαλλίας
Σημαντικά έργα The Fractal Geometry of Nature
Μπενουά Μάντελμπροτ στο IMDb
Commons page Πολυμέσα σχετικά με το θέμα
Εικόνα ενός φράκταλ

Ο Μπενουά Μάντελμπροτ[σημ. 1] (Benoît B. Mandelbrot, 20 Νοεμβρίου 1924 - 14 Οκτωβρίου 2010) ήταν Γαλλοαμερικανός μαθηματικός γεννημένος στην Πολωνία. Ο Μάντελμπροτ εργάστηκε σε ευρύ φάσμα πεδίων των μαθηματικών, ανάμεσα στα οποία συναντούμε τα μαθηματικά φυσικών επιστημών και την ποσοτική χρηματοοικονομική. Ωστόσο έγινε περισσότερο γνωστός από την ενασχόληση του με την «τέχνη της τραχύτητας», όπως ο ίδιος την αποκάλεσε, των φυσικών φαινομένων και των «ακανόνιστων στοιχείων» στην ζωή. Θεωρείται ο «πατέρας» της μορφοκλασματικής γεωμετρίας, της γεωμετρίας των φράκταλ, όπως αλλιώς ονομάζεται. Ο ίδιος καθιέρωσε τον όρο «φράκταλ» για να περιγράψει μια κατηγορία μαθηματικών αντικειμένων με ακανόνιστα περιγράμματα, τα οποία μιμούνται τα ακανόνιστα σχήματα που απαντώνται στη φύση (αυτο-ομοιότητα).[1]

Το 1936, ενώ ήταν ένα παιδί, η οικογένεια του Μάντελμπροτ μετανάστευσε στη Γαλλία. Μετά το τέλος του Δεύτερου Παγκοσμίου Πολέμου, ο Μάντελμπροτ σπούδασε μαθηματικά και φοίτησε σε πανεπιστήμια στο Παρίσι και τις Ηνωμένες Πολιτείες και απέκτησε μεταπτυχιακό δίπλωμα στον τομέα της αεροναυπηγικής από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνια. Πέρασε μεγάλο μέρος της ζωής του διαμένοντας και δουλεύοντας στις Ηνωμένες Πολιτείες και στην Γαλλία, αποκτώντας διπλή γαλλική και αμερικανική υπηκοότητα. Το 1958, άρχισε μια καριέρα 35 ετών στην IBM, όπου έγινε Ομότιμος Εταίρος της και περιοδικά δίδασκε στο Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ. Μετά τη δημοσίευση της μελέτης του για την αγορά του πρωτογενούς τομέα στην Αμερική σε σύγκριση με τις προθεσμιακές επενδύσεις στον τομέα του βαμβακιού, δίδαξε Οικονομικά και εφαρμοσμένες επιστήμες στο Χάρβαρντ.

Λόγω της πρόσβασης του σε υπολογιστές της IBM,ο Μάντελμπροτ ήταν ένας από τους πρώτους που χρησιμοποίησαν γραφικά υπολογιστών για να δημιουργήσει και να εμφανίσει γεωμετρικά αντικείμενα μορφοκλασματικής μορφής, τα φράκταλ και έτσι έφτασε το 1979 να ανακαλύψει το λεγόμενο «Σύνολο Μάντελμπροτ».Έδειξε πώς η οπτική πολυπλοκότητα μπορεί να δημιουργηθεί από απλούς κανόνες. Είπε ότι τα πράγματα που συνήθως θεωρούνται ότι είναι "τραχεία" ή "χαοτικά", όπως τα σύννεφα ή οι ακτές, στην πραγματικότητα έχουν «βαθμούς τάξης». Η επικεντρωμένη στα μαθηματικά και την γεωμετρία έρευνα του προσέφερε σε τομείς όπως η στατιστική φυσική, μετεωρολογία, υδρολογία, γεωμορφολογία, ανατομία, νευρολογία, γλωσσολογία, τεχνολογία πληροφοριών, γραφικά υπολογιστών, οικονομία, γεωλογία, ιατρική, κοσμολογία, μηχανική, θεωρία του χάους, μεταλλουργία και στις κοινωνικές επιστήμες. [1]

Προς το τέλος της καριέρας του, έφτασε στην υψηλότερη ακαδημαϊκή βαθμίδα του Πανεπιστημίου του Γέιλ (Sterling Professor of Mathematical Sciences) και έγινε ο γηραιότερος καθηγητής με έδρα στην ιστορία του Γέιλ. Επίσης ο Μάντελμπροτ κατείχε θέσεις στα παρακάτω ιδρύματα: Pacific Northwest National Laboratory, Université Lille Nord de France, Institute for Advanced Study και στο Centre National de la Recherche Scientifique. Κατά την διάρκεια της καριέρας του έλαβε πάνω από 15 τιμητικά διδακτορικά ως αναγνώριση της συμβολής του στην επιστήμη, πολλά βραβεία και επίσης συμμετείχε στην συγγραφή πολλών επιστημονικών περιοδικών. Η αυτοβιογραφία του, The Fractalist: Memoir of a Scientific Maverick, δημοσιεύτηκε το 2012.

Πρώτα Χρόνια[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Μάντελμπροτ γεννήθηκε στη Βαρσοβία κατά τη διάρκεια της Δεύτερης Δημοκρατίας της Πολωνίας. Η οικογένειά του ήταν εβραϊκής καταγωγής. Αν και ο πατέρας του για τα προς το ζην ασχολούνταν με το εμπόριο ρούχων, η οικογένεια του είχε μια ισχυρή ακαδημαϊκή παράδοση και η μητέρα του ήταν χειρουργός οδοντίατρος.[2] Για πρώτη φορά μυήθηκε στα μαθηματικά από δύο θείους του, ο ένας από τους οποίους, ο Szolem Mandelbrot, ήταν μαθηματικός που κατοικούσε στο Παρίσι. Σύμφωνα με την αυτοβιογραφία του Μάντελμπροτ, «η αγάπη του [Szolem] ήταν τα μαθηματικά».[3]:16

Οικογενειακώς μετανάστευσαν από την Πολωνία στη Γαλλία το 1936, όταν ήταν 11. Σύμφωνα με τα γραφόμενα του «Το γεγονός ότι οι γονείς μου, ως οικονομικοί και πολιτικοί πρόσφυγες, βρήκαν και έζησαν με τον Szolem στη Γαλλία έσωσε τη ζωή μας».[3]:17[4] Ο Μάντελμπροτ φόιτησε στο Lycée Rolin στο Παρίσι μέχρι την έναρξη του Β' Παγκοσμίου Πολέμου, έως ότου η οικογένεια του μετακόμισε στην Tulle της Γαλλίας. Βοηθήθηκε από το Ραβίνο David Feuerwerker, τον Ραβίνο της Μπριβ - Λα - Γκαγιάρντ, για να συνεχίσει τις σπουδές του. Μεγάλο μέρος της Γαλλίας είχε καταληφθεί από τους Ναζί εκείνη την περίοδο[5][3]:62-63 και Mandelbrot υπενθυμίζει αυτή την περίοδο:

Ο μόνιμος φόβος μας ήταν ότι ένας αρκετά αποφασισμένος εχθρός μας μπορεί να μας αναφέρει στις αρχές και αυτό να μας οδηγήσει στον θάνατο. Αυτό συνέβη σε έναν στενό μας φίλο από το Παρίσι, τον Zina Morhange, ο οποίος ήταν ένας γιατρός από κοντινή επαρχεία. Ένας άλλος ιατρός τον κατήγγειλε απλά για να εξαλείψει τον ανταγωνισμό. Εμείς ξεφύγαμε από αυτή τη μοίρα. Ποιος ξέρει γιατί; [3]:49

Το 1944, ο Μάντελμπροτ επέστρεψε στο Παρίσι, σπούδασε στο Lycée du Parc στη Λυών, και το 1945 - 1947 φοίτησε στην Πολυτεχνική Σχολή του Παρισιού (École Polytechnique), όπου σπούδασε με καθηγητές τους Γκαστόν Τζούλια (Gaston Julia) και Πωλ Λεβί (Paul Lévy). Την περίοδο 1947 - 1949 σπούδασε στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνια, όπου απέκτησε μεταπτυχιακό τίτλο στον τομέα της αεροναυπηγικής.[6] Επιστρέφοντας στη Γαλλία, το 1952, απέκτησε το διδακτορικό του στις Μαθηματικές Επιστήμες στο Πανεπιστήμιο του Παρισιού.[2]

Ερευνητικό Έργο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Από το 1949 έως το 1958, ο Μάντελμπροτ ήταν μέλος του μεγαλύτερου ερευνητικού κέντρου της Γαλλίας, του Centre National de la Recherche Scientifique. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου πέρασε ένα χρόνο στο Institute for Advanced Study στο Πρίνστον, στο Νιου Τζέρσεϊ, υπό την χορηγία του Τζον φον Νόιμαν. Το 1955 παντρεύτηκε την Aliette Kagan και μετακόμισε στη Γενεύη στην Ελβετία, και αργότερα στο Πανεπιστήμιο Université Lille Nord de France. Το 1958 το ζευγάρι μετακόμισε στις Ηνωμένες Πολιτείες, όπου ο Μάντελμπροτ εντάχθηκε στο ερευνητικό προσωπικό του κέντρου Τόμας Γουότσον (Thomas J. Watson Research Center) της IBM στο Yorktown Heights της Νέας Υόρκης. Παρέμεινε στην IBM για 35 χρόνια, έγινε αρχικά IBM Fellow, και αργότερα Ομότιμος Έταιρος.

Από το 1951 και μετά, ο Μάντελμπροτ ασχολήθηκε όχι μόνο τον τομέα των μαθηματικών αλλά και με άλλους τομείς εφαρμοσμένων επιστημών όπως τα οικονομικά, η θεωρία της πληροφορίας και η ρευστομηχανική.

Καταστάσεις τυχαιότητας και χρηματοπιστωτικές αγορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Μάντελμπροτ διαπίστωσε ότι οι μεταβολές των τιμών στις χρηματοπιστωτικές αγορές δεν ακολουθούν μια κανονική κατανομή (γνωστή και ως Γκαουσιανή κατανομή), αλλά μάλλον τις σταθερές κατανομές του Λεβί έχοντας θεωρητικά άπειρη διακύμανση. Βρήκε, για παράδειγμα, ότι οι τιμές του βαμβακιού ακολουθούσαν σταθερή κατανομή Λεβί με την παράμετρο α ίση με 1,7 και όχι 2, όπως σε μία κατανομή Γκάους. Οι "σταθερές" κατανομές έχουν την ιδιότητα ότι το άθροισμα πολλών περιπτώσεων μιας τυχαίας μεταβλητής ακολουθεί την ίδια κατανομή, αλλά με μια παράμετρο μεγαλύτερης κλίμακας.[7]

Ο Μάντελμπροτ εξηγεί το Σύνολο Μάντελμπροτ, κατά την διάρκεια της ομιλίας αποδοχής του ως μέλος του Τάγματος της Λεγεώνας της Τιμής το 2006.

Tο 1975, o Μάντελμπροτ επινόησε τον όρο φράκταλ για να περιγράψει αυτές τις δομές και αρχικά δημοσίευσε για πρώτη φορά τις ιδέες του, και αργότερα μετέφρασε, το Fractals: Form, Chance and Dimension.[8] Σύμφωνα με τον επιστήμονα Στίβεν Γούλφραμ, το βιβλίο ήταν μια "επανάσταση" για τον Μάντελμπροτ, όπου μέχρι τότε «εφάρμοζε σχετικά απλά μαθηματικά σε τομείς στους οποίους "σοβαρά" μαθηματικά δεν είχαν εφαρμοστεί στο παρελθόν».[9] Ο Γούλφραμ προσθέτει ότι ως αποτέλεσμα αυτής της νέας του έρευνας, δεν ήταν πλέον ένας «περιπλανόμενος επιστήμονας», και αργότερα τον αποκάλεσε «ο πατέρας των fractals» :

Ο Μάντελμπροτ κατέληξε να εντοπίσει μια πολύ ισχυρότερη και θεμελιώδη ιδέα - με απλά λόγια, κατέληξε στο ότι υπάρχουν ορισμένα γεωμετρικά σχήματα, τα οποία ονόμασε "φράκταλ", που είναι εξίσου "τραχεία" σε όλες τις κλίμακες. Όσο κοντά και αν τα κοιτάξεις, ποτέ δεν γίνονται απλούστερα, όπως και το τμήμα μιας βραχώδους ακτογραμμής το βλέπουμε στα πόδια μας ακριβώς τόσο οδοντωτό όσο και από το διάστημα.[9]

O Γούλφραμ περιγράφει εν συντομία τα φράκταλς ως μια μορφή γεωμετρικής επανάληψης, «στην οποία όλο και μικρότερα αντίγραφα ενός μοτίβου εμφωλεύονται διαδοχικά το ένα μέσα στο άλλο, έτσι ώστε να εμφανίζονται τα ίδια περίπλοκα σχήματα όσο και αν μεγεθύνονται. Τα φύλλα της φτέρης φύλλα και το μπρόκολο είναι δύο παραδείγματα από τη φύση».[9] Επισημαίνει επίσης ένα απροσδόκητο συμπέρασμα:

Κάποιος θα φανταζόταν ότι μια τέτοια απλή και θεμελιώδης μορφή κανονικότητας θα είχε μελετηθεί για τις εκατοντάδες, αν όχι χιλιάδες χρόνια. Αλλά αυτό δεν ήταν αλήθεια. Στην πραγματικότητα, ήρθε στο προσκήνιο μόνο τα τελευταία 30 περίπου χρόνια, σχεδόν εξ ολοκλήρου μέσα από τις προσπάθειες ενός ανθρώπου, του μαθηματικού Μπενουά Μάντελμπροτ. [9]

O Μάντελμπροτ χρησιμοποίησε τον όρο «φράκταλ», ο οποίος προέρχεται από τη λατινική λέξη "fractus", που ορίζεται ως σπασμένο ή κερματισμένο γυαλί. Έχοντας στην διάθεση του τους προσφάτως ανεπτυγμένους υπολογιστές της IBM, ο Μάντελμπροτ ήταν σε θέση να δημιουργήσει εικόνες φράκταλ χρησιμοποιώντας γραφικά δημιουργούμενα με κώδικα υπολογιστή. Τις εικόνες αυτές ένας ερευνητής τις παρομοιάζει με «τον ξέφρενο ενθουσιασμό της ψυχεδελικής τέχνης της δεκαετίας του 1960 με μορφές που θυμίζουν την φύση και το ανθρώπινο σώμα.» Επίσης, είδε τον εαυτό του ως «επίδοξο Κέπλερ», μετά τον επιστήμονα του 17ου αιώνα Γιοχάνες Κέπλερ, ο οποίος υπολόγισε και περιέγραψε τις τροχιές των πλανητών.[10]

O Μάντελμπροτ, όμως, ποτέ δεν αισθάνθηκε ότι είχε εφεύρει μια νέα ιδέα. Ο ίδιος περιγράφει τα συναισθήματά του σε ένα ντοκιμαντέρ με τον συγγραφέα Άρθουρ Κλαρκ:

Η εξερεύνηση αυτού του συνόλου σίγουρα δεν είχε ποτέ την αίσθηση της εφεύρεσης. Ποτέ δεν είχα την αίσθηση ότι η φαντασία μου ήταν αρκετά πλούσια για να εφεύρει όλα αυτά τα εκπληκτικά πράγματα όταν ανακαλύφθηκαν. Ήταν εκεί, ακόμα κι αν κανείς δεν τα είχε δει πριν. Είναι υπέροχο, μια πολύ απλή φόρμουλα εξηγεί όλα αυτά τα πολύ περίπλοκα πράγματα. Έτσι, ο στόχος της επιστήμης είναι αρχίζοντας από ένα χάος, να το εξηγεί με έναν απλό μαθηματικό τύπο, ένα είδος όνειρο για την επιστήμη. [11]

Σύμφωνα με τον Κλάρκ, "το Σύνολο Μάντελμπροτ είναι πράγματι μία από τις πιο εκπληκτικές ανακαλύψεις σε ολόκληρη την ιστορία των μαθηματικών. Ποιος θα μπορούσε να ονειρευτεί ότι μια τέτοια απίστευτα απλή εξίσωση θα μπορούσε να δημιουργεί εικόνες κυριολεκτικά άπειρης πολυπλοκότητας;". Ο Κλάρκ σημειώνει επίσης μια «περίεργη σύμπτωση»: "για το όνομα του Mandelbrot, και την λέξη «μάνταλα» - θρησκευτικό σύμβολο, το οποίο είμαι βέβαιος ότι είναι μια καθαρή σύμπτωση, αλλά πράγματι το σύνολο Μάντελμπροτ φαίνεται να περιέχει έναν τεράστιο αριθμό μάνταλα."[21]

Ο Μάντελμπροτ αποχώρησε από την IBM το 1987, μετά από 35 χρόνια και 12 ημέρες, όταν η IBM αποφάσισε να τερματίσει την έρευνα στο τμήμα του.[12] Εντάχθηκε στο Τμήμα Μαθηματικών στο Γέιλ και έλαβε την πρώτη έδρα το 1999, στην ηλικία των 75.[13] Όταν αποσύρθηκε, το 2005, τελείωσε την καριέρα του ως καθηγητής με έδρα Στέρλινγκ.

Φράκταλς και η "Θεωρία της Τραχύτητας"[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Μάντελμπροτ δημιούργησε την πρώτη "θεωρία της τραχύτητας", και είδε "τραχύτητα" στα σχήματα των βουνών, των ακτών και των λεκανών απορροής ποταμών, των δομών των φυτών, των αιμοφόρων αγγείων, των πνευμόνων και στην ομαδοποίηση των γαλαξιών. Η προσωπική του αναζήτηση ήταν να δημιουργήσει έναν μαθηματικό τύπο για τη μέτρηση της συνολικής «τραχύτητα» των εν λόγω αντικειμένων στην φύση. Άρχισε ρωτώντας τον εαυτό διάφορα είδη ερωτήσεων που σχετίζονται με τη φύση:

Μπορεί η γεωμετρία να προσφέρει αυτό που η ελληνική ρίζα της λέξης υπόσχεται, δηλαδή αξιόπιστη μέτρηση όχι μόνον των καλλιεργημένων χωραφιών κατά μήκος του ποταμού Νείλου, αλλά και της αδάμαστης γης?

Can geometry deliver what the Greek root of its name [geo-] seemed to promise—truthful measurement, not only of cultivated fields along the Nile River but also of untamed Earth?[3]:xii

Can geometry deliver what the Greek root of its name [geo-] seemed to promise—truthful measurement, not only of cultivated fields along the Nile River but also of untamed Earth?[3]:xii
section of a Mandelbrot set

Το γνωστότερο από αυτά, που ονομάστηκε προς τιμήν του, έχει εκτυπωθυεί σε αφίσες, λευκώματα, ακόμη και σε μπλουζάκια.[14] Ο ίδιος φρόντισε για τη διάδοση των ευρημάτων του στο ευρύ κοινό, γράφοντας βιβλία και δίδοντας πολλές διαλέξεις.

Ο Μάντελμπροτ πέρασε το μεγαλύτερο μέρος της καριέρας του στο Thomas J. Watson Research Center της IBM ως Ομότιμος Έταιρος.[14] Αργότερα έλαβε την έδρα Sterling των Μαθηματικών Επιστημών του Πανεπιστημίου του Γέιλ. Διατηρούσε επίσης θέσεις στα ιδρύματα: Pacific Northwest National Laboratory, Université Lille Nord de France, Institute for Advanced Study και Centre National de la Recherche Scientifique.

Ο Μάντελμπροτ τιμήθηκε με πολυάριθμες διακρίσεις, μεταξύ των οποίων το ιαπωνικό Βραβείο Επιστήμης και Τεχνολογίας και το Βραβείο Βολφ για τη Φυσική, επειδή «μετέβαλε τη θεώρησή μας για τη φύση».[14]

Απεβίωσε στο Κέιμπριτζ της Μασαχουσέτης από καρκίνο στο πάγκρεας στις 14 Οκτωβρίου 2010.[1]

Εργογραφία στα ελληνικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Το Benoît προφέρεται [bənwa] στα γαλλικά. Η αγγλική προφορά της λέξης "Mandelbrot", που είναι γερμανική και γίντις λέξη που σημαίνει "αμυγδαλένιο ψωμί", δίνεται με πολλούς τρόπους στα λεξικά. Μιλώντας γαλλικά, ο Μάντελμπροτ πρόφερε το όνομά του ως [mɑ̃dɛlbʁot]. Στην ελληνική βιβλιογραφία έχει επικρατήσει η γραφή Μάντελμπροτ.

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 «Πέθανε ο μαθηματικός Μπενουά Μαντελμπρό, πατέρας των φράκταλ». Ιστότοπος in.gr. 17 Οκτωβρίου 2010. http://news.in.gr/science-technology/article/?aid=1231063638. 
  2. 2,0 2,1 Mandelbrot, Benoît (2002). The Wolf Prizes for Physics, A Maverick's Apprenticeship. Imperial College Press. http://users.math.yale.edu/~bbm3/web_pdfs/mavericksApprenticeship.pdf. 
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 Mandelbrot, Benoit (2012). The Fractalist: Memoir of a Scientific Maverick, Pantheon Books. ISBN 978-0-307-38991-6.
  4. «BBC News – 'Fractal' mathematician Benoît Mandelbrot dies aged 85». BBC Online. 17 October 2010. http://www.bbc.co.uk/news/world-europe-11560101. Ανακτήθηκε στις 17 October 2010. 
  5. Hemenway P. (2005) Divine proportion: Phi in art, nature and science. Psychology Press. ISBN 0-415-34495-6
  6. Lesmoir-Gordon, Nigel (17 October 2010). «Benoît Mandelbrot obituary». The Guardian (London). http://www.guardian.co.uk/science/2010/oct/17/benoit-mandelbrot-obituary. Ανακτήθηκε στις 17 October 2010. 
  7. «''New Scientist'', 19 April 1997». Newscientist.com. 19 April 1997. http://www.newscientist.com/article/mg15420784.700-flight-over-wall-st.html. Ανακτήθηκε στις 17 October 2010. 
  8. Fractals: Form, Chance and Dimension, by Benoît Mandelbrot; W H Freeman and Co, 1977; ISBN 0-7167-0473-0
  9. 9,0 9,1 9,2 9,3 Wolfram, Stephen. "The Father of Fractals", Wall Street Journal, 22 November 2012
  10. Ivry, Benjamin. "Benoit Mandelbrot Influenced Art and Mathematics", Forward, 17 November 2012
  11. "Arthur C Clarke – Fractals – The Colors Of Infinity", video interviews, 54 min.
  12. Mandelbrot, Benoît; Bernard Sapoval; Daniel Zajdenweber (May 1998). «Web of Stories • Benoît Mandelbrot • IBM: background and policies». Web of Stories. http://www.webofstories.com/play/10483. Ανακτήθηκε στις 17 October 2010. 
  13. Tenner, Edward (16 October 2010). «Benoît Mandelbrot the Maverick, 1924–2010». The Atlantic. http://www.theatlantic.com/technology/archive/2010/10/benoit-mandelbrot-the-maverick-1924-2010/64684/. Ανακτήθηκε στις 16 October 2010. 
  14. 14,0 14,1 14,2 «Mandelbrot, Benoit B.». Ιστότοπος Βιβλιονέτ (ΕΚΕΒΙ). http://www.biblionet.gr/main.asp?page=showauthor&personsid=60998. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Commons logo
Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα



Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Benoît Mandelbrot της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).