Ο Παπανικολάου ξεκίνησε να παίζει μπάσκετ σε μικρή ηλικία με τις εφηβικές ομάδες του Πρωτέα Γρεβενών και του Άρη και έκανε το ντεμπούτο του στο Ελληνικό Πρωτάθλημα Α1 με τον Άρη στη Θεσσαλονίκη τη σεζόν 2008-09. Πήρε τον τίτλο του Πολυτιμότερου Παίκτη Της Ελλάδας κάτω των 22 χρόνων το 2009. Το 2009 πήρε μετεγγραφή για τον Ολυμπιακό.
Την σεζόν 2011-12 κατακτά με τον Ολυμπιακό την Ευρωλίγκα στην Κωνσταντινούπολη, όπου αναδείχθηκε πολυτιμότερος παίκτης του τελικού, καθώς και το Πρωτάθλημα Ελλάδας, νικώντας στους τελικούς τον Παναθηναϊκό με συνολικό σκορ νικών 3-2. Την επόμενη χρονιά κατέκτησε με τον Ολυμπιακό την Ευρωλίγκα, για 2η συνεχόμενη φορά.
Ο Παπανικολάου επιλέχθηκε στο νούμερο 48 του 2012 NBA Draft από τους Νιου Γιορκ Νικς. Ωστόσο, λίγο καιρό αργότερα τα δικαιώματά του παραχωρήθηκαν στους Πόρτλαντ Τρέιλ Μπλέιζερς. Την 1η Ιουλίου του 2013 τα δικαιώματα του Κώστα Παπανικολάου απέκτησαν οι Χιούστον Ρόκετς μαζί με 2 μελλοντικά ντραφτ πικ σε μια ανταλλαγή που έστειλε τον Thomas Robinson στους Πόρτλαντ Τρέιλ Μπλέιζερς[1].
Τον Ιούλιο 2013 πήρε μεταγραφή στην ισπανική Μπαρτσελόνα[2] ενώ το 2014 μετακόμισε στους Χιούστον Ρόκετς. Το 2015 μετακόμισε στους Ντένβερ Νάγκετς όπου αγωνίστηκε μέχρι τις αρχές του 2016.
Τον Αύγουστο του 2009, έκανε το ντεμπούτο του με την Εθνική Ανδρών σε ένα φιλικό αγώνα. Το 2010 κέρδισε το αργυρό μετάλλιο στο Ευρωπαϊκό Πρωτάθλημα με την Εθνική Νέων, όπου κατατάχθηκε στην καλύτερη ομάδα του τουρνουά.
Το 2011, πήρε θέση στην Εθνική Ανδρών, με την οποία συμμετείχε στο Ευρωμπάσκετ 2011 της Λιθουανίας, στο οποίο η Ελλάδα κατέκτησε την 6η θέση.
Φ.Ο. Πρωτέας Γρεβενών
