Εικοσαδικό σύστημα αρίθμησης

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Το εικοσαδικό σύστημα αρίθμησης είναι θεσιακό σύστημα αρίθμησης το οποίο χρησιμοποιεί το 20 ως την αριθμητική βάση του.

Περιγραφή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ψηφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για την παράσταση των αριθμών κάτω του δέκα χρησιμοποιούνται τα κανονικά ψηφία του δεκαδικού συστήματος (0 έως 9), ενώ από το δέκα έως το δεκαεννέα χρησιμοποιούνται τα γράμματα του λατινικού αλφάβητου από A έως J κατά την κοινή σύμβαση με άλλα συστήματα τα οποία διαθέτουν αριθμητική βάση μεγαλύτερη του 10.

Γλώσσες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το αριθμητικό σύστημα του πολιτισμού των Μάγια ήταν εικοσαδικό.

Η πιο γνωστή ιστορική χρήση του συστήματος έγινε από τους πολιτισμούς των Μάγια και των Αζτέκων στην νότια Αμερική. Οι Μάγια διέθεταν ειδικές ονομασίες για τις τιμές οι οποίες ήταν πολλαπλάσιες του 20, όπως π.χ. καλ = 20, μπακ = 202 = 400, πικ = 203 = 8.000 κτλ, και χρησιμοποιούσαν το σύστημα αυτό στην γλώσσα τους και στο ημερολόγιο τους, ενώ το σύστημα έχει διατηρηθεί στην γλώσσα Ναουάτλ η οποία αποτελεί την εξέλιξη της αρχαίας γλώσσας των Μάγια. Παρομοίως οι Αζτέκοι διέθεταν τις δικές τους αντίστοιχες ονομασίες για τις ποσότητες οι οποίες ήταν πολλαπλάσιες του 20 όπως τσεμποαλλί (1 × 20), τσεντσόντλι (1 × 400), τσεντσικιμπίλι (1 × 8.000) κτλ.

Άλλες γλώσσες όπου γίνεται χρήση του εικοσαδικού συστήματος είναι η Ατόνγκ, στην επαρχία Μεγκαλάγια της βορειοανατολικής Ινδίας και τμήματα του δυτικού Μπανγκλαντές, και όπου η χρήση του εικοσαδικού συστήματος θεωρείται πεπαλαιωμένη.[1] Επίσης στην Ινδία, υπάρχουν στοιχεία του εικοσαδικού συστήματος σε άλλες γλώσσες, όπως η Σαντάλι της γλωσσικής οικογένειας Μούντα όπου το πενήντα εκφράζεται με την φράση μπαρ ισί γκελ / δύο είκοσι δέκα,[2] ενώ στην γλώσσα Ντιντέι της ίδιας οικογενείας οι σύνθετοι αριθμοί είναι δεκαδικοί έως το δεκαεννέα και δεκαδικοί-εικοσαδικοί (αριθμοί σε 2 τμήματα) έως το τριακόσια ενενήντα εννέα.[3]

Στην Ευρώπη το εικοσαδικό σύστημα χρησιμοποιείτε στην αλβανική γλώσσα, όπου π.χ. η λέξη για το 40 (ντυζέτ) σημαίνει 2 επί 20, ενώ η διάλεκτος Αρμπερές στην Ιταλία χρησιμοποιεί το τριζέτ ως 3 επί 20 για τον προσδιορισμό του 60. Οι Tσάμηδες στον ελλαδικό χώρο χρησιμοποιούσαν επίσης αντίστοιχες λέξεις για να προσδιορίσουν το 20 και τα πολλαπλάσια του. Η βασκική γλώσσα χρησιμοποιεί επίσης το 20 για τον προσδιορισμό πολλαπλασίων του 20 αλλά και για ενδιάμεσες τιμές, όπως π.χ. το 75 το οποίο καλείται χιρογκεΐτα χαμαμπόστ / τρία επί [είκοσι] και δέκα πέντε. Κατά τα τέλη του 19ου αιώνα είχε προταθεί η γενική αντικατάσταση του δεκαδικού συστήματος με το εικοσαδικό στις περιοχές των Βάσκων ώστε να συμβαδίζει η αρίθμηση με την γλώσσα,[4] ενώ στον αντίποδα είχε προταθεί να αναδιαμορφωθεί η γλώσσα ώστε οι ονομασίες των αριθμών να γίνουν δεκαδικές,[5] ωστόσο και οι 2 πρωτοβουλίες παραμερίστηκαν.[6]

Πίνακες τιμών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αντιστοίχιση με δεκαδικό σύστημα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε κάποιες περιπτώσεις το γράμμα I παραλείπεται για τον αριθμό 18 έτσι ώστε να μην υπάρχει σύγχυση με τον αριθμό 1, έτσι χρησιμοποιείται το J20 για 18 και το αμέσως επόμενο K20 ως 19.

Δεκαδικό Δωδεκαδικό
010 020
110 120
210 220
310 320
410 420
510 520
610 620
710 720
810 820
910 920
1010 A20
1110 B20
1210 C20
1310 D20
1410 E20
1510 F20
1610 G20
1710 H20
1810 I20 J20
1910 J20 K20

Πίνακας πολλαπλασιασμού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10
2 4 6 8 A C E G I 10 12 14 16 18 1A 1C 1E 1G 1I 20
3 6 9 C F I 11 14 17 1A 1D 1G 1J 22 25 28 2B 2E 2H 30
4 8 C G 10 14 18 1C 1G 20 24 28 2C 2G 30 34 38 3C 3G 40
5 A F 10 15 1A 1F 20 25 2A 2F 30 35 3A 3F 40 45 4A 4F 50
6 C I 14 1A 1G 22 28 2E 30 36 3C 3I 44 4A 4G 52 58 5E 60
7 E 11 18 1F 22 29 2G 33 3A 3H 44 4B 4I 55 5C 5J 66 6D 70
8 G 14 1C 20 28 2G 34 3C 40 48 4G 54 5C 60 68 6G 74 7C 80
9 I 17 1G 25 2E 33 3C 41 4A 4J 58 5H 66 6F 74 7D 82 8B 90
A 10 1A 20 2A 30 3A 40 4A 50 5A 60 6A 70 7A 80 8A 90 9A A0
B 12 1D 24 2F 36 3H 48 4J 5A 61 6C 73 7E 85 8G 97 9I A9 B0
C 14 1G 28 30 3C 44 4G 58 60 6C 74 7G 88 90 9C A4 AG B8 C0
D 16 1J 2C 35 3I 4B 54 5H 6A 73 7G 89 92 9F A8 B1 BE C7 D0
E 18 22 2G 3A 44 4I 5C 66 70 7E 88 92 9G AA B4 BI CC D6 E0
F 1A 25 30 3F 4A 55 60 6F 7A 85 90 9F AA B5 C0 CF DA E5 F0
G 1C 28 34 40 4G 5C 68 74 80 8G 9C A8 B4 C0 CG DC E8 F4 G0
H 1E 2B 38 45 52 5J 6G 7D 8A 97 A4 B1 BI CF DC E9 F6 G3 H0
I 1G 2E 3C 4A 58 66 74 82 90 9I AG BE CC DA E8 F6 G4 H2 I0
J 1I 2H 3G 4F 5E 6D 7C 8B 9A A9 B8 C7 D6 E5 F4 G3 H2 I1 J0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 C0 D0 E0 F0 G0 H0 I0 J0 100

Κλάσματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δεκαδική βάση
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί της βάσης:: 2, 5
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός κάτω από την βάση: 3
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός πάνω από την βάση: 11
Δωδεκαδική βάση
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί της βάσης: 2, 5
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός κάτω από την βάση: J
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός πάνω από την βάση: 3, 7
Κλάσμα Παράγοντες πρώτοι αριθμοί παρονομαστή Θεσιακή αναπαράσταση Θεσιακή αναπαράσταση Παράγοντες πρώτοι αριθμοί παρονομαστή Κλάσμα
1/2 2 0,5 0,A 2 1/2
1/3 3 0,3333,,, = 0,3 0,6D6D,,, = 0,6D 3 1/3
1/4 2 0,25 0,5 2 1/4
1/5 5 0,2 0,4 5 1/5
1/6 2, 3 0,16 0,36D 2, 3 1/6
1/7 7 0,142857 0,2H 7 1/7
1/8 2 0,125 0,2A 2 1/8
1/9 3 0,1 0,248HFB 3 1/9
1/10 2, 5 0,1 0,2 2, 5 1/A
1/11 11 0,09 0,1G759 B 1/B
1/12 2, 3 0,083 0,1D6 2, 3 1/C
1/13 13 0,076923 0,1AF7DGI94C63 D 1/D
1/14 2, 7 0,0714285 0,18B 2, 7 1/E
1/15 3, 5 0,06 0,16D 3, 5 1/F
1/16 2 0,0625 0,15 2 1/G
1/17 17 0,0588235294117647 0,13ABF5HCIG984E27 H 1/H
1/18 2, 3 0,05 0,1248HFB 2, 3 1/I
1/19 19 0,052631578947368421 0,1 J 1/J
1/20 2, 5 0,05 0,1 2, 5 1/10

Άρρητοι αριθμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αλγεβρικοί άρρητοι αριθμοί Δεκαδικό σύστημα Δωδεκαδικό σύστημα
√2 (το μήκος της διαγωνίου τετραγώνου 1x1) 1,41421356237309,,, 1,85DE37JGF09H6,,,
√3 (το μήκος της διαγωνίου του κύβου, ή το διπλάσιο του ύψους ενός ισόπλευρου τριγώνου) 1,73205080756887,,, 1,ECG82BDDF5617,,,
√5 (το μήκος της διαγωνίου σε ορθογώνιο 1×2) 2,2360679774997,,, 2,4E8AHAB3JHGIB,,,
φ (η χρυσή τομή = ) 1,6180339887498,,, 1,C7458F5BJII95,,,
Υπερβατικοί άρρητοι αριθμοί Δεκαδικό σύστημα Δωδεκαδικό σύστημα
π (αναλογία της περιφέρειας προς την διάμετρο) 3,14159265358979,,, 3,2GCEG9GBHJ9D2,,,
e (η βάση του φυσικού λογάριθμου) 2,7182818284590452,,, 2,E7651H08B0C95,,,
γ (η διαφορά μεταξύ της αρμονικής σειράς και του φυσικού λογάριθμου) 0,5772156649015328606,,, 0,BAHEA2B19BDIBI,,,

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. van Breugel, Seino. A grammar of Atong. Leiden, Boston: Brill. Chapter 11
  2. Gvozdanović, Jadranka. Numeral Types and Changes Worldwide (1999), p.223.
  3. Chatterjee, Suhas. 1963. On Didei nouns, pronouns, numerals, and demonstratives. Chicago: mimeo., 1963. (cf. Munda Bibliography at the University of Hawaii Department of Linguistics)
  4. Artículos publicados en la 1.ª época de "Euzkadi" : revista de Ciencias, Bellas Artes y Letras de Bilbao por Arana-Goiri´taŕ Sabin: 1901, Artículos publicados en la 1 época de "Euskadi" : revista de Ciencias, Bellas Artes y Letras de Bilbao por Arana-Goiri´ttarr Sabin : 1901, Sabino Arana, 1908, Bilbao, Eléxpuru Hermanos. 102–112
  5. Artículos ..., Sabino Arana, 112–118
  6. Efemérides Vascas y Reforma d ela Numeración Euzkérica, Sabino Arana, Biblioteca de la Gran Enciclopedia Vasca, Bilbao, 1969. Euskal-Erria, 1880 - 1881.

Σχετική βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Karl Menninger: Number words and number symbols: a cultural history of numbers; translated by Paul Broneer from the revised German edition. Cambridge, Mass.: M.I.T. Press, 1969 (also available in paperback: New York: Dover, 1992
  • Levi Leonard Conant: The Number Concept: Its Origin and Development; New York, New York: MacMillon & Co, 1931. Project Gutenberg