Πλειάδα (μαθηματικά)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Για άλλες χρήσεις, δείτε: Πλειάδα.

Πλειάδα ή ν-άδα (αγγλικά: n-tuple) στα μαθηματικά είναι μια πεπερασμένη διατεταγμένη λίστα (ή ακολουθία) στοιχείων (elements), όπου είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος. Συμβολίζεται με τα στοιχεία της να περικλείονται μέσα σε απλές παρενθέσεις «» ή γωνιακές παρενθέσεις «». και να χωρίζονται με κόμμα «,». Για παράδειγμα μία -πλειάδα, της οποίας τα στοιχεία είναι , γράφεται πάντα με την συγκεκριμένη σειρά. Υπάρχει μόνο μία 0-πλειάδα, που είναι η κενή πλειάδα και γράφεται . Τα στοιχεία της μπορεί να είναι οτιδήποτε, αριθμοί, σύμβολα, αντικείμενα (υλικά ή άυλα, υπαρκτά ή ανύπαρκτα), σκέψεις, κλπ, όπως σε ένα σύνολο. Διαφέρει από το σύνολο κυρίως στο ό,τι τα στοιχεία της έχουν συγκεκριμένη σειρά και δεν είναι άπειρα. Το διάνυσμα είναι μία πλειάδα. Η πλειάδα δεν είναι διάνυσμα γιατί μπορεί να μην ανήκει σε ένα διανυσματικό χώρο (δεν έχει τις πράξεις της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού, κλπ).

Μαθηματική εκφώνηση: Μία πλειάδα στοιχείων εκφωνείται άδα[1] ή διατεταγμένη άδα.[2]

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η πλειάδα ορίζεται χρησιμοποιώντας την έννοια της συνάρτησης που μας επιτρέπει να αντιστοιχίσουμε τα στοιχεία ενός συνόλου (πεδίο ορισμού) στα στοιχεία ενός άλλου συνόλου (πεδίο τιμών). Για να ορίσουμε την πλειάδα , στοιχείων, αρκεί να πάρουμε το σύνολο των στοιχείων της (το οποίο επειδή είναι σύνολο δεν έχει διάταξη) και να ορίσουμε διάταξη. Θεωρούμε μία συνάρτηση , με πεδίο ορισμού το σύνολο , όπου τα στοιχεία του είναι φυσικοί αριθμοί, οι οποίοι έχουν την ιδιότητα της διάταξης: . Σαν πεδίο τιμών της συνάρτησης λαμβάνουμε το σύνολο των στοιχείων της πλειάδας που θέλουμε να ορίσουμε. Ορίζουμε την συνάρτηση , η οποία μας επιτρέπει να δώσουμε ορισμένη διάταξη στα στοιχεία του συνόλου και να ορισθεί η πλειάδα .

Με λιγότερο αυστηρούς όρους μπορούμε να γράψουμε: , όπου , και , όταν .

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η διάταξη των στοιχείων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μία από τίς ιδιότητες της πλειάδας που την διαφοροποιεί από την έννοια του συνόλου είναι η «θέση» που έχουν τα στοιχεία της:

(όπου το σύμβολο σημαίνει ικανή και αναγκαία συνθήκη)

Η ισότητα ισχύει όταν τα στοιχεία που βρίσκονται στην αντίστοιχη «θέση» είναι ίσα, ενώ στα σύνολα δεν υπάρχει συγκεκριμένη «θέση» για τα στοιχεία τους. Για παράδειγμα οι πλειάδες 3 στοιχείων: , είναι άνισες (διαφορετικές), ενώ τα σύνολα , , είναι ίσα ή πιό συγκεκριμένα είναι το ίδιο συνολο γραμμένο με διαφορετικό τρόπο.

Πολλαπλά ίδια στοιχεία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε μια πλειάδα ενδέχεται να ισχύει για δύο στοιχεία της , όπου . Δηλαδή ένα ή περισσότερα στοιχεία της μπορούν να είναι τα ίδια, ενώ στα σύνολα δεν επιτρέπεται εξ΄ορισμού. Για παράδειγμα, ενώ η πλειάδα είναι σωστά γραμμένη, το σύνολο είναι λάθος με την σωστή του γραφή να είναι .

Πεπερασμένος αριθμός στοιχείων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε μιά πλειάδα ο αριθμός των στοιχείων είναι πεπερασμένος, ενώ σε ένα σύνολο μπορεί να είναι άπειρος, όπως στο μη πεπερασμένο σύνολο των φυσικών αριθμών .

Καρτεσιανό γινόμενο συνόλων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το καρτεσιανό γινόμενο πεπερασμένων συνόλων, είναι ένα σύνολο που τα στοιχεία του είναι πλειάδες των στοιχείων. Αν , είναι πεπερασμένα σύνολα τότε το καρτεσιανό γινόμενό τους είναι:

,

τα στοιχεία του οποίου είναι διατεταγμένες άδες.[3][4] Γιά παράδειγμα αν έχουμε τα σύνολα: , , τότε το καρτεσιανό γινόμενό τους είναι: , σύνολο με στοιχεία, τα οποία είναι διατεταγμένες άδες, οι οποίες επειδή αποτελούνται από 2 στοιχεία, είναι ειδική περίπτωση πλειάδων και ονομάζονται διατεταγμένα ζεύγη.

Γλώσσες προγραμματισμού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στις γλώσσες προγραμματισμού, οι πλειάδες αποτελούν μία από τις βασικές δομές δεδομένων όπως οι συμβολοσειρές (strings), οι λίστες (lists) και τα λεξικά (dictionaries).[5]

  • Python - Οι πλειάδες παριστάνονται με παρενθέσεις, οι οποίες αν το επιτρέπουν τα συμφραζόμενα μπορούν να παραλειφθούν. Διαφέρουν από τις λίστες, οι οποίες παριστάνονται με τις τετραγωνισμένες αγκύλες «», στο ότι δεν μπορούν να τροποποιηθούν μετά την δημιουργία τους, όπως και οι συμβολοσειρές. Το αποτέλεσμα της πράξης της «πρόσθεσης», στις πλειάδες όπως και στις λίστες, είναι συνένωση (concatenation), ακριβώς όπως στις συμβολοσειρές. Παράδειγμα: .[6][7][8]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. «Λεξικό μαθηματικών όρων» από blogs.sch.gr. Αρχειοθετήθηκε 29/03/2018. Ανακτήθηκε 05/10//2018.
  2. Καλογεροπούλου Αριάδνη (Αθήνα 1992). «Αγγλοελληνικό λεξικό μαθηματικών όρων», εκδόσεις Τροχαλία. ISBN: 960-7022-33-5. Σελ. 91
  3. Κολουντζάκης, Μ., Παπαχριστόδουλος, Χ., 2015. Διακριτά μαθηματικά. Αθήνα:Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών. σελ. 14. Αρχειοθετήθηκε 05/10/2018. Ανακτήθηκε 05/10//2018.
  4. «3.3 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-Βασική Αρχή Απαρίθμησης» από ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ. Αρχειοθετήθηκε 29/12/2017. Ανακτήθηκε 05/10//2018.
  5. Μαγκούτης, Κ., Νικολάου, Χ. σελ. 102
  6. Ρίζος Ι. (Ιωάννινα 2015) «Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές. Σημειώσεις Μαθήματος» από ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ, σελ 17. Δημοσιεύθηκε 11/05/2015. Αρχειοθετήθηκε 11/12/2015. Ανακτήθηκε 05/10//2018.
  7. Μαγκούτης, Κ., Νικολάου, Χ. σελ. 1146-155
  8. Μιχάλης Πλεξουσάκης, 2016. «Πλειάδες (tuples)» από Σημειώσεις Python. Αρχειοθετήθηκε 20/04/2019. Ανακτήθηκε 21/04/2019.

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]