Ολόμορφη συνάρτηση

Ένα ορθογώνιο πλέγμα (κορυφή) και η εικόνα  του κάτω από μία σύμμορφη απεικόνιση f (κάτω).

Στα μαθηματικά, οι ολόμορφες συναρτήσεις είναι τα βασικά αντικείμενα μελέτης στην μιγαδική ανάλυση. Μια ολόμορφη συνάρτηση είναι μια μιγαδική συνάρτηση μιας ή περισσότερων μιγαδικών μεταβλητών που είναι μιγαδικά παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο μιας περιοχής του πεδίου ορισμού της. Η ύπαρξη μιας μιγαδικής παραγώγου σε μια περιοχή τιμών είναι πολύ σημαντική,  γιατί υποδηλώνει ότι κάθε ολόμορφη συνάρτηση είναι στην πραγματικότητα απείρως διαφορίσιμη και ίση με τη δική της σειρά Taylor.

Ο όρος αναλυτική συνάρτηση συχνά χρησιμοποιείται αντί του "ολόμορφη συνάρτηση", αν και ο όρος "αναλυτική" χρησιμοποιείται επίσης με την ευρύτερη έννοια για να περιγράψει οποιαδήποτε συνάρτηση (πραγματική, μιγαδική, ή πιο γενικού τύπου) που μπορεί να γραφτεί ως συγκλίνουσα δυναμοσειρά γύρω από κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Το γεγονός ότι όλες οι ολόμορφες συναρτήσεις είναι μιγαδικές αναλυτικές συναρτήσεις, και αντιστρόφως, είναι ένα σημαντικό θεώρημα στη μιγαδική ανάλυση.

Οι ολόμορφες συναρτήσεις αναφέρονται επίσης, μερικές φορές, ως αναλυτικές συναρτήσεις ή ως σύμορφη απεικόνιση. Μία ολόμορφη συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι όλο το μιγαδικό επίπεδο ονομάζεται μια ακέραια συνάρτηση. Η φράση "ολόμορφη σε ένα σημείο z₀" σημαίνει όχι μόνο παραγωγήσιμη στο z₀, αλλά παραγωγίσιμη παντού μέσα σε κάποια περιοχή του z₀ στο μιγαδικό επίπεδο.

Ορισμός

Έστω μια μιγαδική συνάρτηση f μιας μιγαδικής μεταβλητής, η παράγωγος της f στο σημείο z₀ του πεδίου ορισμού της ορίζεται από το όριο

$f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.$

Η συνάρτηση $f(z)={\bar {z}}$ δεν είναι μιγαδικά παραγωγίσημη στο μηδέν, γιατί όπως φαίνεται παραπάνω, η τιμή $f(z)-f(0) \over z-0$ μεταβάλλεται ανάλογα με την πλευρά που προσεγγίζεται το μηδέν. Κατά μήκος του πραγματικού άξονα, η f ισούται με τη συνάρτηση g(z) = z και το όριο είναι 1, ενώ κατά μήκος του φανταστικού άξονα, η f ισούται με h(z) = −z και το όριο είναι −1. Άλλες κατευθύνσεις δίνουν άλλα όρια.

Η παραπάνω σχέση είναι ίδια με τον ορισμό της παραγώγου πραγματικών συναρτήσεων, με την διαφορά ότι όλες οι ποσότητες είναι μιγαδικές. Ειδικότερα, το όριο λαμβάνεται καθώς ο μιγαδικός αριθμός z πλησιάζει το z₀, και πρέπει να έχει την ίδια τιμή για κάθε ακολουθία μιγαδικών τιμών του z που προσεγγίζουν το z₀ στο μιγαδικό επίπεδο. Αν το όριο υπάρχει, λέμε ότι η f είναι μιγαδικά-διαφορίσιμη

(μιγαδικά-παραγωγίσιμη) στο σημείο z₀. Αυτή η έννοια της μιγαδικής παραγώγησης παρουσιάζει διάφορες ιδιότητες κοινές με την πραγματική παραγώγισιμότητα: είναι γραμμική και ακολουθεί τον κανόνα του γινομένου, τον κανόνα του πηλίκου και τον κανόνα της αλυσίδας.

Αν η f είναι μιγαδικά παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο z₀ ενός ανοιχτού συνόλου U, τότε η f είναι ολόμορφη στο U. Λέμε ότι η f είναι ολόμορφη στο σημείο z₀ αν είναι ολόμορφη σε κάποια περιοχή του z₀. Λέμε ότι η f είναι ολόμορφη σε κάποιο μη-ανοιχτό σύνολο A αν είναι ολόμορφη σε ένα ανοικτό σύνολο που περιέχει το Α.

Η σχέση μεταξύ της πραγματικής παραγωγισιμότητας και μιγαδικής παραγωγισιμότητας είναι η εξής. Αν μια μιγαδική συνάρτηση f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) είναι ολόμορφη, τότε τα u και v έχουν μερική πρώτη παράγωγο ως προς x και y, και ικανοποιούν τις εξισώσεις Cauchy–Riemann:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,$

ή, αντίστοιχα, η Wirtinger παράγωγος της f ως προς τον μιγαδικό συζυγή του z είναι μηδέν:

${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,$

με βάση το οποίο, σε γενικές γραμμές μπορούμε να πούμε ότι  η f είναι λειτουργικά ανεξάρτητη από τον μιγαδικό συζυγή  του z.

Αν η συνέχεια δεν είναι ένα δεδομένη, το αντίθετο δεν ισχύει απαραίτητα. Ένα απλό παράδειγμα σχετικά με το αντίθετο είναι ότι αν οι u και v έχουν συνεχείς μερικές πρώτες παραγώγους και ικανοποιούν τις εξισώσεις  Cauchy–Riemann, τότε η f είναι ολόμορφη. Ένας πιο σύνθετος αντίθετος ισχυρισμός, που είναι πολύ πιο δύσκολο να αποδειχθεί, είναι το θεώρημα Looman–Menchoff: αν η f είναι συνεχής, τα u και v έχουν μερικές  πρώτες παραγώγους (όχι απαραίτητα συνεχείς) και ικανοποιούν τις εξισώσεις Cauchy–Riemann, τότε η f είναι ολόμορφη.

Ορολογία

Η λέξη "ολόμορφος" εισήχθη από δύο μαθητές του Cauchy, τον Briot (1817–1882) και τον Bouquet (1819–1895), και προέρχεται από τις ελληνικές λέξεις ὅλος και  μορφή που σημαίνει "εμφάνιση".

Στις μέρες μας, ο όρος "ολόμορφη συνάρτηση" κάποιες φορές χρησιμοποιείται αντί του "αναλυτική συνάρτηση", καθώς ο δεύτερος είναι πιο γενικός. Και επίσης λόγω του ότι ένα πολύ σημαντικο συμπέρασμα στην μιγαδική ανάλυση είναι ότι κάθε ολόμορφη συνάρτηση είναι μιγαδικά αναλυτική κάτι που δεν προκύπτει άμεσα από τους ορισμούς. Ο όρος "αναλυτική", ωστόσο έχει ευρεία χρήση.

Ιδιότητες

Λόγω του ότι η μιγαδική παραγώγιση είναι γραμμική και ακολουθεί τους κανόνες του γινομένου, του πηλίκου και της αλυσίδας; τα αθροίσματα, τα γινόμενα και οι συνθέσεις των ολόμορφων συναρτήσεων είναι ολόμορφα. Επίσης το πηλίκο δύο ολόμορφων συναρτήσεων είναι ολόμορφο όταν ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν.

Αν κάποιος ταυτίσει το C με το R², τότε οι ολόμορφες συναρτήσεις ταυτίζονται με εκείνες τις συναρτήσεις δύο πραγματικών μεταβλητών με συνεχείς πρώτες παράγωγους που ικανοποιούν τις εξισώσεις Cauchy–Riemann, ένα σύνολο δύο εξισώσεων μερικών παραγώγων.

Κάθε ολόμορφη συνάρτηση μπορεί να χωριστεί στο πραγματικό της μέρος και στο φανταστικό της μέρος, και κάθε ένα από αυτά αποτελεί την λύση της εξίσωσης Laplace στο R². Με άλλα λόγια, αν εκφράσουμε μια ολόμορφη συνάρτηση f(z) ως u(x, y) + i v(x, y), τα u και v είναι αρμονικές συναρτήσεις, όπου το v είναι ο αρμονικός συζυγής του u και αντιστρόφως.

Το θεώρημα ολοκλήρωσης του Cauchy υποδηλώνει ότι το γραμμικό ολοκλήρωμα κάθε ολόμορφης συνάρτησης κατά μήκος ενός βρόχου μηδενίζεται:

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.$

Όπου γ είναι μια καμπύλη σε ένα ανοιχτό υποσύνολο U του μιγαδικού επιπέδου C που το αρχικό του σημείο ταυτίζεται με το τελικό, και f : U → C είναι μια ολόμορφη συνάρτηση.

Ο κανόνας ολοκλήρωσης του Cauchy αναφέρει ότι κάθε συνάρτηση που είναι ολόμορφη μέσα σ' έναν δίσκο ορίζεται πλήρως από τις τιμές της στα όρια του δίσκου.

Επιπλέον: Έστω U ένα ανοιχτό υποσύνολο του C, f : U → C μια ολόμορφη συνάρτηση και ο κλειστός δίσκος D = {z : | z − z₀ | ≤ r} περιέχεται πλήρως στο U. Έστω γ ο κύκλος που σχηματίζει το όριο D. Τότε για κάθε a στο εσωτερικό του D:

$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$

όπου το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα λαμβάνεται με δεξιόστροφο προσανατολισμό.

Η παράγωγος f′(a) μπορεί να γραφεί ως ένα επικαμπύλιο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο παραγώγισης του Cauchy:

$f'(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{2}}\,dz,$

για κάθε απλό βρόχο που στρέφεται κατά τη θετική φορά μια φορά γύρω από το a, και

$f'(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)d{\bar {z}},$

για απειροελάχιστους βρόχους γ, θετικά περιστρεφόμενους γύρω από το a.

Σε περιοχές όπου η πρώτη παράγωγος δεν είναι μηδέν, οι ολόμορφες συναρτήσεις είναι σύμορφες με την έννοια ότι διατηρούν τις γωνίες και την μορφή (όχι όμως και το μέγεθος) των μικρών σχημάτων.

Κάθε ολόμορφη συνάρτηση είναι αναλυτική. Δηλαδή, μια ολόμορφη συνάρτηση f έχει παραγώγους κάθε τάξης σε κάθε σημείο a του πεδίου ορισμού της, και συμπίπτει με την δική της Σειρά Taylor στο a σε μια περιοχή του a. Στην πραγματικότητα, η f ταυτίζεται με τη δική της σειρά Taylor στο a σε κάθε δίσκο με κέντρο αυτό το σημείο που βρίσκεται στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Από την πλευρά της άλγεβρας, το σύνολο των ολόμορφων συναρτήσεων σε ένα ανοιχτό σύνολο είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος και ένας διανυσματικός χώρος. Στην πραγματικότητα, είναι ενας τοπικά κυρτός διανυσματικός χώρος, με τις ημινόρμες (seminorms) να αποτελούν το άνω φράγμα στα συμπαγή υποσύνολα (compact subsets).

Από γεωμετρική σκοπιά, μια συνάρτηση f είναι ολόμορφη στο z₀ αν και μόνον αν η εξωτερική της παράγωγος df σε μια περιοχή U του z₀ ισούται με f′(z) dz για κάποια συνεχή συνάρτηση f′. Προκύπτει από

$\textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=df^{\prime }\wedge dz$

όπου df′ είναι επίσης ανάλογη με το dz, υποδηλώνοντας ότι η παράγωγος f' είναι η ίδια ολόμορφη και γι' αυτό η f είναι απείρως διαφορίσιμη. Αντίστοιχα, το γεγονός ότι d(f dz) = f′ dz ∧ dz = 0 υποδηλώνει ότι κάθε συνάρτηση f που είναι ολόμορφη σε simply-connected περιοχή U είναι επίσης ολοκληρώσιμη στο U. (Για μια διαδρομή γ από το z₀ στο z που βρίσκεται εξολοκλήρου στο U, ορίζουμε

$\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }fdz$;

υπό το πρίσμα του θεωρήματος της καμπύλης Jordan και του γενικευμένου θεωρήματος Stokes, η F_γ(z) είναι ανεξάρτητη από την επιλογή μιας συγκεκριμένης διαδρομής γ, και γι' αυτό η F(z) είναι μια καλά ορισμένη συνάρτηση στο U για την οποία ισχύει F(z₀) = F₀ και dF = f dz.)

Παραδείγματα

Όλες οι πολυωνυμικές συναρτήσεις στο z με μιγαδικούς συντελεστές είναι ολόμορφες στο C, και το ίδιο είναι το ημίτονο, το συνημίτονο και η εκθετική συνάρτηση. (Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις στην πραγματικότητα συνδέονται στενά και μπορούν να οριστούν μέσω στης εκθετικής συνάρτησης χρησιμοποιώντας τον Τύπο του Euler). Η κύρια υποκατηγορία της μιγαδικής λογαριθμικής συνάρτησης είναι ολόμορφη στο σύνολο C ∖ {z ∈ R : z ≤ 0}. Η συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας μπορεί να οριστεί ως

${\sqrt {z}}=e^{{\frac {1}{2}}\log z}$

και γι' αυτό είναι ολόμορφη όπου είναι και ο λογάριθμος log(z). Η συνάρτηση 1/z είναι ολόμορφη στο {z : z ≠ 0}.

Σαν αποτέλεσμα των εξισώσεων Cauchy–Riemann, μια πραγματικής ολόμορφη συνάρτηση πρέπει να είνια σταθερή. Γι' αυτό, η απόλυτη τιμή του z, το όρισμα του z, το πραγματικό μέρος του z και το φανταστικό μέρος του z δεν είναι ολόμορφα. Ένα ακόμη τυπικό παράδειγμα μιας συνεχούς συνάρτησης που δεν είναι ολόμορφη είναι ο μιγαδικός συζυγής zz που σχηματίζεται με μιγαδική σύζευξη.

Πολλές μεταβλητές

Ο ορισμός μιας ολόμορφης συνάρτησης γενικεύεται άμεσα ώστε να αφορά πολλές μιγαδικές μεταβλητές. Έστω D είναι ένα ανοιχτό υποσύνολο του Cⁿ, και έστω f : D → C. Η συνάρτηση f είναι αναλυτική σε ένα σημείο p του D αν υπάρχει μια ανοιχτή περιοχή του p στην οποία η f ισούται με μια συγκλίνουσα δυναμοσειρά με n μιγαδικές μεταβλητές. Ορίζουμε ότι η f είναι ολόμορφη αν είναι αναλυτική σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Το λήμμα του Osgood δείχνει (χρησιμοποιώντας τον τύπο ολοκλήρωσης πολλών μεταβλητών του Cauchy) ότι, για μια συνεχή συνάρτηση f, αυτό είναι ισοδύναμο με το ότι η f είναι ολόμορφη ως προς κάθε μεταβλητή ξεχωριστά (δηλ. αν κάποιες n − 1 συντεταγμένες είναι σταθερές, τότε η περιορισμένη μορφή της f είναι μια ολόμορφη συνάρτηση της συντεταγμένης που απομένει). Με το πιο σύνθετο θεώρημα του Hartogs αποδεικνύεται ότι η υπόθεση συνέχειας είναι περιττή: η f είναι ολόμορφη αν και μόνον αν είναι ολόμορφη ως προς κάθε μεταβλητή ξεχωριστά.

Γενικότερα, μια συνάρτηση πολλών μιγαδικών μεταβλητών που είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη σε ένα συμπαγές υποσύνολο του πεδίου ορισμού της είναι αναλυτική αν και μόνον αν ικανοποιεί τις εξισώσεις Cauchy–Riemann σε σχέση με τις κατανομές.

Οι συναρτήσεις πολλών μιγαδικών μεταβλητών είναι κατα βάση πιο σύνθετες από τις συναρτήσεις μιας μιγαδικης μεταβλητής. Για παράδειγμα, η περιοχή σύγκλισης μιας δυναμοσειράς δεν είναι απαραίτητα μια ανοιχτή σφαίρα. Αυτές οι περιοχές ονομάζονται πεδία Reinhardt, το απλούστερο παράδειγμα των οποιων είναι ένα polydisc (polydisk) Ωστόσο, παρουσιάζουν επίσης κάποιους βασικούς περιορισμούς. Σε αντίθεση με τις συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής, τα πιθανά πεδία στα οποία υπάρχουν ολόμορφες συναρτήσεις που δεν μπορούν να επεκταθουν σε μεγαλύτερα πεδία, είνα εξαιρετικά περιορισμένα. Ένα τετοιο σύνολο ονομάζεται πεδίο ολομορφίας (domain of holomorphy)

Επέκταση στην ανάλυση συναρτήσεων

Η έννοια της ολόμορφης συνάρτησης μπορεί να εκφραστεί σε χώρους απείρων διαστάσεων της ανάλυσης συναρτήσεων. Για παράδειγμα, η παράγωγος Fréchet ή Gâteaux μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να οριστεί η έννοια μιας ολόμορφης συνάρτησης σε έναν Banach στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών.

Δείτε επίσης

• Αντιπαράγωγος (μιγαδική ανάλυση)
• Αντι-ολόμορφη συνάρτηση
• Biholomorphy
• Μερομορφική συνάρτηση
• Quadrature domains
• Αρμονικές απεικονίσεις
• Αρμονικοί μορφισμοί

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Analytic function», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/a012240