Ημίτονο

Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
$\mathbf{y} = f(x)$
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
$\mathbf{z} = f(x , y , , y_n)$
Βασικές έννοιες συναρτήσεων Μονοτονία συνάρτησης Κυρτότητα συνάρτησης Συμμετρία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Ασύμπτωτες συνάρτησης Όριο συνάρτησης Συνέχεια συνάρτησης Παραγώγιση συνάρτησης Ολοκλήρωση συνάρτησης
Κατηγορίες συναρτήσεων Άρτιες συναρτήσεις Περιττές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Σύνθετες συναρτήσεις Αντίστροφες συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Υπερβατικές συναρτήσεις
Αλγεβρικές συναρτήσεις Πολυωνυμική συνάρτηση $\mathbf{y} = ax^n + bx^{n-1} +...+ cx + d$ Ρητή συνάρτηση $\mathbf{y} = \frac{a_1 x^n + b_1 x^{n-1} +...+ c_1 x + d_1}{a_2x^m+ b_2 x^{m-1} +...+ c_2 x + d_2}$ Άρρητη συνάρτηση $\mathbf{y} = \sqrt[n]{ax^n + bx^{n-1} +...+ cx + d}$
Υπερβατικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση $\mathbf{y} = a^x$ Λογαριθμική συνάρτηση $\mathbf{y} = \log_a (x)$ Τριγωνομετρικές συναρτήσεις $\mathbf{y} = \eta \mu x$ $\mathbf{y} = \sigma \upsilon \nu x$ $\mathbf{y} = \epsilon \phi x$

Το ημίτονο είναι ένας σημαντικός τριγωνομετρικός αριθμός, συμβολίζεται με ημθ ή διεθνώς με sinθ. Υπάρχουν τρεις ορισμοί που αποδίδουν το ημίτονο, όπου ο ένας είναι γενίκευση του άλλου:

• Με βάση το ορθογώνιο τρίγωνο: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως ημίτονο μίας από τις οξείες γωνίες του τριγώνου το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς δια την υποτείνουσα. Το ημίτονο, όπως έχει οριστεί εδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός και μικρότερη του ενός. Η απέναντι πλευρά είναι πάντα μικρότερη της υποτείνουσας, άρα το κλάσμα πάντα μικρότερο του ενός. Το όνομα της συνάρτησης οφείλεται στο ημίτονο σε ένα πολύ σημαντικό ορθογώνιο τρίγωνο, το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 90, 60 και 30 μοιρών στις γωνίες. Το ημίτονο των 30 μοιρών είναι 1/2, δηλαδή η απέναντι πλευρά είναι το μισό του τόνου, όπου με τον όρο τόνος εννοείται το μήκος της υποτείνουσας.

• Με βάση τον τριγωνομετρικό κύκλο: sinθ=y, όπου y η τεταγμένη του σημείου τομής της πλευράς της γωνίας θ και του τριγωνομετρικού κύκλου

• Ως ανάπτυγμα σειράς Taylor: $sinx=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...$

Η συνάρτηση ημίτονο όπως ορίστηκε παραπάνω αναφέρεται στο κυκλικό ημίτονο. Το υπερβολικό ημίτονο είναι άλλη συνάρτηση. Το ημίτονο είναι μία μορφή της αρμονικής συνάρτησης.

Ως συνάρτηση το ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο Τ=2π και περιττή.

Χαρακτηριστικά της συνάρτησης ημίτονο

Πεδίο ορισμού

Συνήθως χρησιμοποιούμε το δεύτερο ορισμό με πεδίο οριμσού το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα

Η συνάρτηση ημίτονο είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της, όπως και παραγωγίσιμη. Επιπλέον, κάθε της παράγωγος είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει $(sinx)'=cosx=sin(x+\frac{\pi}{2})$, ενώ για τη νιοστή παράγωγο $(sinx)^{(\nu)}=sin(x-\frac{\nu\pi}{2})$.

Μονοτονία

Σε διάστημα μιας περιόδου (χρησιμοποιείται το τμήμα [0,2π) ως αντιπροσωπευτικό):

Στο [0,π/2] είναι γνησίως άυξουσα. Στο [π/2,3π/2] είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ στο [3π/2,2π] είναι γνησίως αύξουσα.

Ακρότατα-Ασύμπτωτες

Η συνάρτηση ημίτονο δεν έχει σύμπτωτες. Στο διάστημα μιας περιόδου εμφανίζει ένα ελάχιστο, στο 3π/2 το -1, και ένα μέγιστο, στο π/2 το 1.

Σύνολο τιμών-Γνωστές τιμές-Ρίζες

Το σύνολο τιμών της εκθετικής συνάρτησης είναι το [-1,1]. Αυτό συνήθως συμβολίζεται από τους μαθηματικούς με $|sinx|\le 1$, αν και αυτός ο τύπος φράζει τη συνάρτηση χωρίς να προσδιορίζει ακριβώς το σύνολο τιμών. Η συνάρτηση ημίτονο έχει άπειρες ρίζες της μορφής κπ, όπου κ ακέραιος αριθμός.

Κοιλοκυρτότητα

Η συνάρτηση ημίτονο είναι κοίλη στο [0,π] και κυρτή στο [π,2π]. Παρουσιάζει σημείο καμπής στα 0, π, 2π.

Συμμετρίες

Η συνάρτηση ημίτονο είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Όμως, όπως αρμονική συνάρτηση έχει άπειρους κατακόρυφους άξονες συμμετρίας και σημεία συμμετρίας, τις ρίζες τις.

Άλλες συναρτήσεις που σχετίζονται με τη συνάρτηση ημίτονο

• υπερβολικό ημίτονο
• τόξο ημιτόνου (είναι η αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου)
• συνημίτονο

Μετασχηματισμοί

Η συνάρτηση ημίτονο μπορεί να μετασχηματιστεί με βάση τον εψιλοτικό μετασχηματισμό, δηλαδή τη μιγαδική σχέση $sinx=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$.

Σχέσεις με τη συνάρτηση ημίτονο

Ανισοτικές

Για κάθε πραγματικούς αριθμούς x, x₀, y ισχύει:

διάταξη ορισμάτων-συνάρτησης

• $|\eta\mu x|\le 1$ με το ίσον να ισχύει αν υπάρχει ακέραιος κ τέτοιος, ώστε $x=\kappa\pi+\frac{\pi}{2}$
• αν υπάρχει κ ακέραιος τέτοιος, ώστε $x,y\in[2\kappa\pi+\frac{\pi}{2},2\kappa\pi+\frac{3\pi}{2}]$, τότε

x>y <=> $\eta\mu x<\eta\mu y$

• αν υπάρχει κ ακέραιος τέτοιος, ώστε $x,y\in[2\kappa\pi-\frac{\pi}{2},2\kappa\pi+\frac{\pi}{2}]$, τότε

x>y <=> $\eta\mu x>\eta\mu y$

ανισοτική σχέση με συνημίτονο

Σίγουρα υπάρχει ακέραιος αριθμός κ τέτοιος, ώστε να ισχύει ένα μόνο από τα τρία:

• $x\in(2\kappa\pi+\frac{\pi}{4},2\kappa\pi+\frac{5\pi}{4})$, οπότε

ημx<συνx

• $x\in([2\kappa\pi-\frac{3\pi}{4},2\kappa\pi+\frac{\pi}{4})$, οπότε

ημx>συνx

• $x=\kappa\pi+\frac{\pi}{4}$, οπότε

ημx=συνx

βασική σχέση ημιτόνου ταυτοτικής

Αναπαράσταση των δύο συναρτήσεων, όπου φαίνεται η ανισότητα.

• $|\eta\mu x|\le x$ με το ίσον να ισχύει αν x=0

Ταυτότητες

Για κάθε πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει:

• $\eta\mu x=\eta\mu y \Leftrightarrow x=y+2\kappa\pi, \acute{\eta} x=\pi-y+2\kappa\pi$, όπου κ ακέραιος αριθμός
• $\eta\mu x=\eta\mu (\pi-x)$
• $\eta\mu (-x)=-\eta\mu x$
• $\eta\mu (x+y)=\eta\mu x\sigma\upsilon y+\eta\mu y\sigma\upsilon x$
• sin(arcsinx)=x
• arc sin(sinx)=x+2κπ, όπου κ ακέραιος
• ημ²x+συν²x=1 (βασική τριγωνομετρική ταυτότητα)

Απειροστικός λογισμός

Η συνάρτηση ημίτονο είναι αρμονική συνάρτηση και έχει τη σημαντική ιδιότητα να είναι παράγωγος και ένα αόριστο ολοκλήρωμα αρμονικής συνάρτησης, όπως η συνάρτηση συνημίτονο και η εκθετική. Ισχύει ότι (ημx)'=συνx.

Επίσης ισχύoυν οι εξή σχέσεις για τα ολοκληρώματα:

$\int \eta\mu x\,dx=-\sigma\upsilon\nu x+c$

$\int \sigma\upsilon\nu x\,dx=\eta\mu x+c$

Το άρθρο βασίστηκε στη διαδικασία της μαθηματικής ανάλυσης συνάρτησης που αναγράφεται στο βιβλίο Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης, ISBN 960-06-0703-6 ΟΕΔΒ εκδόσεις 2008, παράγραφος 2.10, σελίδα 287