Ημίτονο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
\mathbf{y} = f(x)
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
\mathbf{z} = f(x , y , , y_n)

Το ημίτονο είναι ένας σημαντικός τριγωνομετρικός αριθμός, συμβολίζεται με ημθ ή διεθνώς με sinθ. Υπάρχουν τρεις ορισμοί που αποδίδουν το ημίτονο, όπου ο ένας είναι γενίκευση του άλλου:

  • Με βάση το ορθογώνιο τρίγωνο: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως ημίτονο μίας από τις οξείες γωνίες του τριγώνου το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς δια την υποτείνουσα. Το ημίτονο, όπως έχει οριστεί εδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός και μικρότερη του ενός. Η απέναντι πλευρά είναι πάντα μικρότερη της υποτείνουσας, άρα το κλάσμα πάντα μικρότερο του ενός. Το όνομα της συνάρτησης οφείλεται στο ημίτονο σε ένα πολύ σημαντικό ορθογώνιο τρίγωνο, το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 90, 60 και 30 μοιρών στις γωνίες. Το ημίτονο των 30 μοιρών είναι 1/2, δηλαδή η απέναντι πλευρά είναι το μισό του τόνου, όπου με τον όρο τόνος εννοείται το μήκος της υποτείνουσας.

Η συνάρτηση ημίτονο όπως ορίστηκε παραπάνω αναφέρεται στο κυκλικό ημίτονο. Το υπερβολικό ημίτονο είναι άλλη συνάρτηση. Το ημίτονο είναι μία μορφή της αρμονικής συνάρτησης.

Ως συνάρτηση το ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο Τ=2π και περιττή.

Χαρακτηριστικά της συνάρτησης ημίτονο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πεδίο ορισμού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Συνήθως χρησιμοποιούμε το δεύτερο ορισμό με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η συνάρτηση ημίτονο είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της, όπως και παραγωγίσιμη. Επιπλέον, κάθε της παράγωγος είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει (sinx)'=cosx=sin(x+\frac{\pi}{2}), ενώ για τη νιοστή παράγωγο (sinx)^{(\nu)}=sin(x-\frac{\nu\pi}{2}).

Μονοτονία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε διάστημα μιας περιόδου (χρησιμοποιείται το τμήμα [0,2π) ως αντιπροσωπευτικό):

Στο [0,π/2] είναι γνησίως άυξουσα. Στο [π/2,3π/2] είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ στο [3π/2,2π] είναι γνησίως αύξουσα.

Ακρότατα-Ασύμπτωτες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η συνάρτηση ημίτονο δεν έχει σύμπτωτες. Στο διάστημα μιας περιόδου εμφανίζει ένα ελάχιστο, στο 3π/2 το -1, και ένα μέγιστο, στο π/2 το 1.

Σύνολο τιμών-Γνωστές τιμές-Ρίζες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το σύνολο τιμών της εκθετικής συνάρτησης είναι το [-1,1]. Αυτό συνήθως συμβολίζεται από τους μαθηματικούς με |sinx|\le 1, αν και αυτός ο τύπος φράζει τη συνάρτηση χωρίς να προσδιορίζει ακριβώς το σύνολο τιμών. Η συνάρτηση ημίτονο έχει άπειρες ρίζες της μορφής κπ, όπου κ ακέραιος αριθμός.

Κοιλοκυρτότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η συνάρτηση ημίτονο είναι κοίλη στο [0,π] και κυρτή στο [π,2π]. Παρουσιάζει σημείο καμπής στα 0, π, 2π.

Συμμετρίες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η συνάρτηση ημίτονο είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Όμως, όπως αρμονική συνάρτηση έχει άπειρους κατακόρυφους άξονες συμμετρίας και σημεία συμμετρίας, τις ρίζες τις.

Άλλες συναρτήσεις που σχετίζονται με τη συνάρτηση ημίτονο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μετασχηματισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η συνάρτηση ημίτονο μπορεί να μετασχηματιστεί με βάση τον εψιλοτικό μετασχηματισμό, δηλαδή τη μιγαδική σχέση sinx=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.

Σχέσεις με τη συνάρτηση ημίτονο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ανισοτικές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για κάθε πραγματικούς αριθμούς x, x0, y ισχύει:

διάταξη ορισμάτων-συνάρτησης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • |\eta\mu x|\le 1 με το ίσον να ισχύει αν υπάρχει ακέραιος κ τέτοιος, ώστε x=\kappa\pi+\frac{\pi}{2}
  • αν υπάρχει κ ακέραιος τέτοιος, ώστε x,y\in[2\kappa\pi+\frac{\pi}{2},2\kappa\pi+\frac{3\pi}{2}], τότε
x>y <=> \eta\mu x<\eta\mu y
  • αν υπάρχει κ ακέραιος τέτοιος, ώστε x,y\in[2\kappa\pi-\frac{\pi}{2},2\kappa\pi+\frac{\pi}{2}], τότε
x>y <=> \eta\mu x>\eta\mu y

ανισοτική σχέση με συνημίτονο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σίγουρα υπάρχει ακέραιος αριθμός κ τέτοιος, ώστε να ισχύει ένα μόνο από τα τρία:

  • x\in(2\kappa\pi+\frac{\pi}{4},2\kappa\pi+\frac{5\pi}{4}), οπότε
ημx<συνx
  • x\in([2\kappa\pi-\frac{3\pi}{4},2\kappa\pi+\frac{\pi}{4}), οπότε
ημx>συνx
  • x=\kappa\pi+\frac{\pi}{4}, οπότε
ημx=συνx

βασική σχέση ημιτόνου ταυτοτικής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αναπαράσταση των δύο συναρτήσεων, όπου φαίνεται η ανισότητα.
  • |\eta\mu x|\le x με το ίσον να ισχύει αν x=0

Ταυτότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για κάθε πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει:

  • \eta\mu x=\eta\mu y \Leftrightarrow  x=y+2\kappa\pi, \acute{\eta} x=\pi-y+2\kappa\pi , όπου κ ακέραιος αριθμός
  • \eta\mu x=\eta\mu (\pi-x)
  • \eta\mu (-x)=-\eta\mu x
  • \eta\mu (x+y)=\eta\mu x\sigma\upsilon y+\eta\mu y\sigma\upsilon x
  • sin(arcsinx)=x
  • arc sin(sinx)=x+2κπ, όπου κ ακέραιος
  • ημ2x+συν2x=1 (βασική τριγωνομετρική ταυτότητα)

Απειροστικός λογισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η συνάρτηση ημίτονο είναι αρμονική συνάρτηση και έχει τη σημαντική ιδιότητα να είναι παράγωγος και ένα αόριστο ολοκλήρωμα αρμονικής συνάρτησης, όπως η συνάρτηση συνημίτονο και η εκθετική. Ισχύει ότι (ημx)'=συνx.

Επίσης ισχύoυν οι εξής σχέσεις για τα ολοκληρώματα:

\int \eta\mu x\,dx=-\sigma\upsilon\nu x+c
\int \sigma\upsilon\nu x\,dx=\eta\mu x+c

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πηγή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Wiktionary logo
Το Βικιλεξικό έχει λήμμα που έχει σχέση με το λήμμα:
  • Το άρθρο βασίστηκε στη διαδικασία της μαθηματικής ανάλυσης συνάρτησης που αναγράφεται στο βιβλίο Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης, ISBN 960-06-0703-6 ΟΕΔΒ εκδόσεις 2008, παράγραφος 2.10, σελίδα 287